三角函数与平面向量(解析版)

1、三角函数与平面向量.知识汇总*经典提炼三角函数的图象与性质基本问题定义任意角的终边与单位圆交于点P(x,y)时,siny,cosx,tan.x同角三角函数关系.22.sin.sincos1,tan.cos诱导公式360,180,90,270,奇变象限三角函数的性质与图象值域周期单调区间奇偶性对称中央对称轴ysinx(xR)1,12k增一2k,2k223减一2k=2k22奇函数(k,0)xk一2ycosx(xR)1,12k增2k,2k减2k,2k偶函数(kT0)xkytanx(xk-)2Rk增一k,1k22奇函数9无图象变换平移变换上卜平移yf(x)图象平移k(得yf(x)k图象,k0向上,k0

2、向卜.左右干移yf(x)图象平移得yf(x)图象,0向左,0向右.伸缩变换x轴方向yf(x)图象各点把横坐标变为原来倍得yf(x)的图象.y轴方向yf(x)图象各点纵坐标变为原来的A倍得yAf(x)的图象.对称变换中央对称yf(x)图象关于点(a,b)对称图象的解析式是y2bf(2ax)轴对称yf(x)图象关于直线xa对称图象的解析式是yf(2ax).变换公式正弦和差角公式倍角公式2tansin221tan21tan2cos221 tan2 1cos2sin221cos2cos2sin()sincoscossinsin22sincos余弦cos()coscosmsinsin22cos2coss

3、in222cos2112sin2正切,、tantantan()1mtantan2tantan221tan2三角恒等变换与解三角形正弦定理定理_a_c_osinAsinBsinC射影定理：abcosCccosBbacosCccosAcacosBbcosA变形a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC(R外接圆半径).回三角形两边和一边对角、三角形两角与一边.余弦定理定理2,22-,222c22,2八,八abc2bccosA,bac2accosB,cab2abcosC.变形222、22bca(bc)a小cosA1等.2bc2bc回两边及一角(一角为夹角时直接使用、一角为一边对角时列方程)、三边

4、.面积公式根本公式1i11八11S-aha-bhb-clabsinC-bcsinA一acsinB.222222导出公式abc_1一一.S(R外接圆半径)；S-(abc)r(r内切圆半径).4R2实际应用根本思想把要求解的量归入到可解二角形中.在实际问题中,往往涉及到多个二角形,只要根据逐次把求解目标归入到一个可解三角形中.常用术语仰角视线在水平线以上时,在视线所在的垂直平面内,视线与水平线所成的角.俯角视线在水平线以下时,在视线所在的垂直平面内,视线与水平线所成的角.方向角方向角一般是指以观测者的位置为中央,将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角一般是锐角,如北偏西30.方位角

5、某点的指北方向线起,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角.平面向量重要概念向量既有大小又有方向的量,表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模.r0向量长度为0,方向任意的向量.r10与任一非零向量共线】平行向量方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量,也叫共线向量.向量夹角rrrr起点放在一点的两向量所成的角,范围是0,.a,b的夹角记为a,b.投影rrra,b,brrcos叫做b在a方向上的投影.【注意：投影是数量】重要法那么定理根本定理rrei,e2不共线,存在唯一的实数对上的单位止交向量,就是向量rrrrr,),使ae1e2.假设ei,e2为x,y轴r:a的坐标.坐标表小向量坐标上卜文

6、理解共线条件rrrra,b(b0共线存在唯一实数,rrab(xi,yi)(X2,y2)x1y2x2%垂直条件rrrrabago0.Xiyix2y20.各种运算加法运算法那么rrab的平行四边形法那么、三角形法那么.rrab(xx2,yiy?).算律rrrrrrrrrrabba,(ab)ca(bc)与加法运算有同样的坐标表示.减法运算法那么rrab的三角形法那么.rrab(xix2,yi分解uuuiruuiruuuurMNONOM.uuurMNXxm,yNVm).数乘运算概念ra为向量,0与r0与a方向相反,ra方向ai相0,ra.ra(x,y).算律*(a)()a,()aaa,(ab)ab与数

7、乘运算有同样的坐标表示.数量积运算概念rra8(rabrrcosa,brra,中2%丫2.主要性质rrragaa2rrrraaab.rjaJxy,2222乂佟必丫21vx1%vx2y2算律rrrragbbga,rr(a)gorrrrrr(ab)gcagcbgc,rrrragb)(agD)°与上面的数量积、数乘等具有同样的坐标表示方法.核心解读*方法重温1.三角函数值是一个比值,是实数,这个实数的大小和点P(x,y)在终边上的位置无关,只由角的终边位置决定.回扣问题1角的终边为射线y=2x(x>Q)那么cos2在cos有解析a的终边为射线y=2x(x>0)15-35不妨在射

8、线上取点P(1,2),那么cos肝弱,cos2好cos即2cos2a1+cos答案5r352 .求函数f(x)=Asin(3去.的单调区间时,要注意A与的符号,当<0寸,需把的符号化为正值后再求解.兀一,、,、一、,.,、一、一一回扣问题2函数y=sin3-2x的单倜递减区间是.一,一一兀人_5555解析y=sin2x3,令2kTt-<2x-gw2k+2,kCZ,得knx<k-丽兀,kCZ.Tt.5答案k%-,kTt+万兀(kCZ).一.、.一一.一.一一.一.".一口3 .二角函数图象变换中,汪息由y=sin的图象变换得到y=sin(设e的图象时,平移重为Q,而不

9、().回扣问题3要得到函数y=sin4x3的图象,只需将函数y=sin4x的图象()A.向左平移卷个单位长度B.向右平移卷个单位长度C.向左平移J个单位长度3D.向右平移J个单位长度3解析7t7t-y=sin4x3=sin4x一逐,要得到y=sin4xj的图象,只需将函数y=sin4x的图象向右平移/个单位长度.答案B4 .运用二次函数求三角函数最值时,要注意三角函数取值范围L兀.回扣问题4假设函数f(x)=3sin(2x+.升cos(2x+0)(0<.的尉象关于点,0对称,那么函数f(x)在?上的最小值是46沁fr-L、%解析f(x)=3sin(2x+.升cos(2x+.42sin2x

10、+0+g,那么由题意知,f=2sin兀+升g=0,又由于0<9<g所以亲叶叶京拶,所以兀+叶52兀,所以0=56,所以f(x)=2sin2x.上兀兀.r兀兀由一x乐知-<2x音4623,当2x=3,即x=6B时,f(x)取到最小值f6=2sin尹-3.答案一35.三角形两边及一边对角,利用正弦定理解三角形时,注意解的个数讨论,可能有一解、两解或无解.在AABC中,A>BsinA>sinB.回扣问题5在AABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,假设B=g,c=2V3,b=24UC=解析一cb由正弦定理得砧=金卫sinC=csinBb,B=6,c=213,b

11、=2,.1r-.兀也sinC=2.Z3-s铲2又b<c,-.0=隶2.答案扣2f6 .在三角函数求值中,无视隐含条件的制约导致增解回扣问题6cos第7,sln(片3A447t,0<a<2,0<37t；贝Ucos的解析-.10<acos后；<cos=2732兀兀一兀兀1工,又.寸5,3<"+3<,兀又sin(#34号g<,'-三之a+3<兀.11cos(od-BA-1sin(a+=14)cos即cos(#3Aa1=cos(计3)cos也sin(+3)sin=%答案27 .活用平面向量运算的几何意义,灵活选择坐标运算与几

12、何运算回扣问题7(1)向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|a+b|=R3,那么a作(2)"BC是边长为2的正三角形,点P为平面内一点,且10P|=43,那么PCAPB)的取值范围是()A.0,123B.0,2C.0,6D.0,3解析(1) .|a|=1,|b|=2,|a+b|=3由平行四边形法那么及勾股定理,得a±(a+b),a,(ab)=0,故a扣一a2=一1.(2)如图,以点B为坐标原点,BC所在直线为x轴,过点B与BC垂直的直线为y轴,建立平面直角坐标系,那么B(0,0),A(1,$),0(2,0),设P(x,v),由于|年|=m,所以P点轨迹为(x-2)2+y2

13、=3,x=2+3cos,0令y=3sin,0那么PA=(1V3cos8M3V?sinPB=(-2-ll3cos9,/3sinQ)PC=(3cos83sin那么比.描南=6当cos142sin=6+6cos计6,1_兀,1由一6w6cos0+66,40W/6cos答案(1)1(2)A8.设两个非零向量a,b,其夹角为以当.为锐角时,ab>0且a,b不同向；故ab>星.为锐角的必要不充分条件；当.为钝角时,ab<0且a,b不反向,故a-b<01.为钝角的必要不充分条件回扣问题8向量a=(2,1),b=(入1),入CR,设a与b的夹角为.假设.为锐角,入的取值范围解析由于.为

14、锐角,所以0<cos0<1.又由于cos生所以c2入+10<厂rv<1,45"猿+1所以2计1>0,2计1<丫另7淤+1,解得入w,2所以入的取值范围是入12,且入关2答案1入"2,且入W29.切忌混淆三角形四心,注意不同的向量表示形式回扣问题9假设O是"BC所在平面内一点,且满足I(Ob-(oC|=|(Ob+(OC-2OA|,那么那BC的形状为解析|Ob-Oc|=|(Ob+Oc-2OA|,|CB|=|AB+A&I,即|苑AC|=|苑+AC|.故以AB,AC为邻边的平行四边形为矩形.因此AABC是以A为直角顶点的直角三角

15、形.答案直角三角形三.新题好题*保持手感1. 2021天津市武清区杨村第一中学高三三模要得到函数y273cos2xsin2xJ3的图象,只需将函数y2sin2x的图象A.向左平移一个单位3c.向左平移至个单位【答案】cB.向右平移一个单位3D.向右平移个单位6【解析】依题意y2,3cos2xsin2x32sin2x3一兀一一一,一一2sin2x一,故只需将函数6y2sin2x的图象向左平移一个单位.所以选C.62. 2021四川省泸县第四中学高三三模函数fxsin2x一的图象向右平移一个单位后关26于原点对称,那么函数一,0上的最大值为2【解析】函数fxsin2x一的图象向右平移一个单位后,2

16、6-二万得到函数ysin2x6一厅sin2x-|的图象,3|再根据所得图象关于原点对称,可得sin2x,3由题意x一,024冗冗T,3,花2x3,函数fxsin在区间,.23.2021四川省双流中学高三开学测试ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,cJ31,b2,3A.4【答案】B.C.一4【解析】Qc.3,由余弦定理可得：1ib2,A3aZb2c22b80sA43122.31上由正弦定理可得:bsinB一sinA2.6Qba,B为锐角,4.2021武威第六中学高三三模sinV,sin,10,10均为锐角,那么A.512B.C.D.【解析】由题意,可得a,3均为锐角,一一a3一.又s

17、in以3升一cos0.1010又sin.sin族sin以a3=sinacos-俎-cosasin邓愿3闻_2卡加企5.2021天津市咸水沽第二中学高三二模在等腰梯形ABCD中,AB/CD,BAD60,AB8,CD4.假设M为线段BC的中点,uuuu山u>E为线段CD上一点,且AMAE皿umnULU27,那么DMDEB.10D.5A.15【答案】D【解析】过点D作DFAB于点F,由于四边形ABCD为等腰梯形,且AB8,CD4,所以AF2,又BAD60,所以ADAFcos60那么由uurAEuuuAMuuirADuurAEuurDE27得uuirAD3uuu-AB4工21一2UUUAB,uu

18、uADuuirADtuuu-AB227,即3uur-AB4UULTAD3t8uuuAB212uurAD2tuur-AD4uuuAB27即3844cos603t8641216工448cos602,解得：t1一；4uuuiruur所以DMDEUUUUAMuuirAD18uurAB34uurAB1uur-AD2uuirAD18uuuAB由于M为线段BC的中点,UUUU1LUUUUUI1uuuuJLTuuiT1uuuuur1uur3uuu1uur所以AMABACABADDCABADAB-ABAD,222242又E为线段CD上一点,所以存在tR,使得uurDEuurtDC,3uuu-AB1uur-AD1uuu-AB3uuuAB21uurADuuuABcos603641184一428321632162应选：D.6.(2021重庆南开中学高三三模)vVvV一一.一向量v(2,t