曾瑾言第四课后习题

1、第二章：函数与波动方程将方程式左边加减相等的量C:得:d2'-dx22mm E C-V(x) CQ =oP69当势能V(r)改变一常量否？C时,即V(r)_； V(r) c ,粒子的波函数与时间无关部分变否？能量本征值变(解)设原来的薛定谔方程式是將 EVgL =0dx这两个方程式从数学形式上来说完全相同，因此它们有相同的解' (x),从能量本征值来说，后者比前者增加了Co设粒子势能的极小值是Vmin证明En >V(证)先求粒子在某一状态中的平均值能量E一舟2E in *2 V(r) d3x 2m其中动能平均值一定为正：2T： ii"(2)'-d3x2m

2、-2 * *=i汐” ”d2m一2 * 一2 * =_：f )d '-d .2m2m2'2'2用高斯定理:TC ) ds*d. =*2m B2m 2m、？中间一式的第一项是零，因为假定满足平方可积条件，因而T 0因此 T V V ,能让能量平均值V Vmin 因此 E Vmin 令 S n (本征态)则E=En而En Vmin得证2.1设一维自由粒子的初态' x,0二eiP0,求* x,t o解:i- x,t =e屮(x,t©(p)e#2 二'p=':px_Ei)d p(1)这是一维波包的通用表示法，是一种福里哀变换，上式若令'

3、 (x,0)e'Pxd pt = 0应有（2）但按题意，此式等于 ； （x）。但我们知道一维:.函数一种表示是:dk(3)将（2）（ 3）二式比较：知道£，并且求得（p;2 -，是（1）成为 (x,t)- (px -Ei)edp(4)p，能量是E,为了，其波函数：这是符合初条件的波函数，但p, E之间尚有约束条件2p（因为是自由粒子，总能量等于动能），2m代入（4）1O0(x-t2-p.：px_P i)2m(5)将此式变形成高斯积分，容易得到所需结果:imx25）二丄mxithSp p 二利用积分rd =-=0' (x,t)二2m 二it22.2对于一维自由运动粒子，

4、设屮（x,0）=6（x）求|屮（X,t）。（解）题给条件太简单，可以假设一些合理的条件，既然是自由运动，可设粒子动量是 能代表一种最普遍的一维自由运动，可以认为粒子的波函数是个波包（许多平面波的叠加）写出共轭函数（前一式(x,t)二 1i变号)：2 1 -it' (x,t)x(2 二')2 m 心. m本题也可以用Fresnel积分表示，为此可将（6）式积分改为:3 21-(罟dp-i_si n0(mX)2dp2mt2mimx2屮（x t） 1用课本公式得 *（Vi）屮（x,t）2兀衣:"e 21，两者相乘，可得相同的结果。t22.2设一维自由粒子的初态 屮（X,0）

5、=5（X ），求屮（X,tj）。-be-be提示：利用积分公式cos 2 d sin 2 d=二 2-beexpl- 2 d =. exp i : 4】。解：作Fourier变换:1 誌j.乙0二2一 pp， 1 ,p =r 'x,0e-(x)eJpx dx=12m2：'.rxz： Wp-:edp =1-boimx2 2 te-J exp -it2mp2 2m)mx fl p tdpmx 2 ” r p_ t ，则eimx2 2 帝2m2m2 teimx2滋.J7es/4 =兀4m.expiYlmxx,宀m2.3设一维自由粒子初态为 屮（x,0），证明在足够长时间后屮（x,t

6、）= #罟expi兀/4】exp/mx卉i/4e.x。1 乂式中 k - x,0 e±kxdx是'-：x,0的Fourier变换。提示：利用12兀证：根据平面波的时间变化规律eikx，eikx",任意时刻的波函数为, 1屮(x,t)=W=k eikx-k2t/2mdk1 imx2/2 k=2- e-He| 斑，Zdk®(k)exp|i - 2m(1)当时间足够长后（所谓 t ：），上式被积函数中的指数函数具有-函数的性质，取(2)参照本题的解题提示，即得' x,t ：1_ eimx22t2 二聲e®4陥(kk mX dkt./4 imx

7、e(3)(4)x处的主要成分为 k = mx t，即mx物理意义：在足够长时间后，各不同k值的分波已经互相分离，波群在2X = kt/m，强度乂 I®（k由，因子m/A描述整个波包的扩散，波包强度2 2设整个波包中最强的动量成分为衆0，即k=ko时I®（时最大，由（4）式可见，当t足够大以后，卩|的最大值出现在 mx t二k0处，即x二k0t m处，这表明波包中心处波群的主要成分为k0。2.4 1.72.5设质量为m的粒子在势场 V（r）中运动。（a）证明粒子的能量平均值为-2w =（能量密度）2m（b）证明能量守恒公式:W2R s = 0, s =-.:t2m屮+竺_京屮

8、ct（能流密度）证：（a）粒子的能量平均值为（设已归一化）2皿宀V(1)d3r *Vd3r *2' d3rI" 1 匚"2m2m(2)其中T的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为因此Tdi* 2m(3)结合式（1）、（ 2）和（3），可知能量密度w7 ,2m(4)且能量平均值E = d 3r w。(b) 由( 4)式，得cw克2:t -( *)亠；" 2m |L trJ竺V屮+V空ct+ :t一22m-V-V-t灯屮+£_v屮ct一宀-t-V :t*V-:t二 2 V ,2m：t:tcPt屮.t（二：几率密度）22 V 2m（定态

9、波函数，几率密度t不随时间改变）w粒子满足含时间薛定谔方程及其共轭方程式:所以.:tJ"2m.:t2 * 弓2m则有22m ；:ts.?t.：t ；：t ；：t公式得证。2.6考虑单粒子的Schr?dinger 方程2i r,t - ；t2 r,t V. r iV2 rr,t（ 1）2mV与v2为实函数。(a )证明粒子的几率(粒子数)不守恒。(b)证明粒子在空间体积.内的几率随时间的变化为i i'H*2im s- 2V_屮帝屮* )dS+才仃Jd3r屮*屮证：(玄)式(1)取复共轭,i :t(2),得'22V. -iV2 *2mh22_:* . 2：*V2*V 2m

10、j:t此即几率不守恒的微分表达式。rft*= _ *l :t2im0,心厂些八一：（2）+2iV” V（3）利用高斯定理将右方第一项变形:J© 心3xQP*hi-'、（汀t门 2mi（3）（V *vr -rvr *）-ds 2 弓*V，d3x-2mi（）- - o> 0，因而（3）式(4)如果粒子的运动范围是无限的，并且符合平方可积条件，则在无限远处 的面积分等于0。:p 2匚二？*V2（xFd3xft 7 ,这证明总几率P -?*?d3x不守恒，因为-0。J J JQ渔（3式（3）对空间体积.积分，得ho列沪沙）一乔叮ww3"祀cm*Q*仰伴屮屮可屮)dS+

11、£出d3rV2屮屮 2im s"上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积.的几率（=jdS ），而第二项代表体积.中"产 生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。2.7 1.82.8在非定域势中粒子的薛定谔方程式是：i 心x，t =ix，t V x,x Px，t d3x（ 1）：t2mx求几率守恒对非定域势的要求。此时，只依赖于波函数？在空间一点的几率波是否存在？解按题意，是要求写出几率守恒的条件，从这个条件寻出V x, x应当遵守的要求。几率守恒的条件是：UfP9d3x = 0亠*冈 讯*、 3 ”或川甲+甲d3X =0（2 ）Old d 丿与13

12、题类似，可写出1的共轭方程式：.- _ ：2 _ _ _ _专V（x, t=V2¥*（x, tm，x 紧 *（x，, w （3 ）:t2mx- -将1和3中的 和想等同的式子代入到2式中去，就得到如下的条件:V * d3x2mi ,；i*- - *-*-33川* (x, t)川V(x, x¥(x x, t)屮(x, t)川 V (x, x护(xH, t)d3x d3x 丄 0Q -""_将前式等号左方第一项变成面积分高斯定理，第二项变成六重积分：氏 * u -1I审一八汀 ds -(4 )*33tv x, x ? x； t d x d x =02mi s

13、iniiiiTf * x，tv x，xF x； t x，门x前式等号左方第一项由于波函数平方可积条件(7* > 0, 7 x > 0当x时)可消去，因？ x, t和? x , t形式相同，xx对易，X-; x',x'； x对易：111111* x, t V x, V* x', X 中 x', t d3x d3x = 0(5)Q xH这积分式定积分，它等于零的可能性要求被积函数为零，即：V x, x =V* x, x因此V x, x 必须是x, x 实函数。2.9设N个粒子的哈密顿量为：N - 2N冷一E ° 口吃VP 巧im 2mi二?(叩

14、2N,t)是它的任一态函数，定义：珥")八(r,t)j(r,t)八 j(,t)：i(ri,t)d'ad'a d'rN?*?-_ hji(ri,t)d'Md3rNem?*)2im求证：j = 0-:t证明按定义：+=4f(r,t) 瞇ct i=11i.ms d3忙=送jdl-dl/d'gd3m(0 甞+斗甲)it t多粒子的体系的状态？（汀2m,t）应当满足多粒子薛定谔方程式，写出这个方程式和其共轭方程式:-tk 2mjk(6a)八(-kv k2m尸JjFjk(6b)将前二式等式右方的式子代替左方的-jt，代进式.:tii 、kC2 -八簽厂)2

15、im.9匕d3rid3ri，一丄（？*Vjk宇jk In3333丹*22*:-i '' i d rf d d ri 1 d r（宇 ' k k ?）k 2Im3333办*=一（Jdld3r/3rMd£送；;代 J普一甲可岀）k 2im又待证的公式的等号左方第二项是： j 八 'i ' ji（i,t）弋1 J J ）ji（Gtji（i,t）ii=1 ji（ri,t） 2 j2（D,t）' i ji（ri,t）、i ji（i,t）id'r,dU dZ ,i fF*"W*）2im ifP fPA八.dl-djdli-d%,k

16、 （*7F*）t i t ik 2im将式两个求和合一，注意到i = k的项不存在，因而等值异号。2.10*设在曲线坐标（q1q2q3）中线元ds表为ds gikdqidqk，写出这曲线坐标中的薛定谔方程式，写出球面坐标系中的薛定谔方程式。q的上标改成下标。）（解）dx-dq! dq dq3同样关于y,z有类似的二式。（这里为书写方便qiq q(1)* 参看 Amer.J.Phys.Vol.41.1973-11|_®2 丿L匚 L匚,1.L、 L、2 X 3 z Zdqdq2IL： qi q ：q ：q ：q qX :x :y :y :z :z2dq2dq3q ：q ：q 3823L

17、、-L、-dqsdqq3 :qi:q3 :q2 ：x :x :y :y :z :z q ：q令gik = '（ 'XX）为坐标变换系数：xyz為i动k设沿曲线坐标等势面的单位矢量是a（, a2， a3则grad宇八吋- cP -=i j k:x：y ;z印汀a2Ca3、g11 ： q1g22 :92g33 ： q31gug 22g 33a1922933?q'、2- -div gradl= 1二g22g33 " jgng22g33 匂gn呦+ 占g33gn o* +& gng22/sL/-s Jj-. Lj. J J-'q2g 22:92：3 g

18、33 ：勺3代入直角坐标薛定谔方程式:(2)i qqzqst = .t衣28g22g33 6空+ © giig33 sf2mgiig22g33 ：qgii：q ：q §22：-giig22 _. V q1q2q3 汶 iq1q2q3t-q3 g33:? qiqzqst -?xqiq2q3 , yqgqs , zqq? , tV =Vxqq2q3在球坐标情形 x = r sin rcos'-：, y = rsin r sin'-：, z = rcosr式正交坐标系giiS2g 22I = r®丿g33代入后得Ids/cr 丿 c9sin亠. 拠)si

19、n，Ksin 二、 胡J2.11写出动量表象中的不含时Schr?dinger方程。解：经典能量方程-Jdp在动量表象中，只要作变换p； P， r一所以在动量表象中，Schr?dinger为:2m叫嗚川p“（p卜2.11写出动量表象中的薛定谔方程式。解：本题可有二种：A :含时间薛定谔方程式, A :写出含时间薛氏方程式：B：定态薛定谔方程式。.t(1)为将前式变换成动量表象，可写出含时间的表象变换式:为了能用（3）变换（1 ）式，将（P，X,1）式遍乘teipx/ d3pteJpx/ d3x(3)2二- 3/"卩，对空间积分:1(2曲 3/2-ip x/ 一 .3e d x :t22m12 3/2宀V x n左方变形1/2t 2/2 r ” A等号右方第一积分是可以用三重积分的分部积分来变形的，这式写成标量:-22m：2-2y-2G+r 2 j-z，阳护 pyy PzZ / dxdydz计算(5)ezy x x的x部分分部积分法:ipxx pyy pzZ/ dxdydz二d 工 eiPxx pyy PzZ/ dydzzyx H=ei(Pxx