信号与线性系统分析吴大正习题答案

1、专业课习题解析课程第2讲第一章信号与系统(二)1-1画出下列各信号的波形【式中二/)为斜升函数。(2) /(/) = e s/ 1-9已知信号的波形如1-11所示，分别画出了和*的波形。-2024 图解:1T1知，/(3T)的波形如12(a)所示(/(3一)波形是由对/(3 2。的波形展宽为原来的两倍而得)。将“3-。的波形反转而得到/(，+ 3)的波形, 172(b)所示。再将/ + 3)的波形右移3个单位，就得到了/，如图172(c)所示。华的波形如 at1T2(d)所示。“3，)(b)(c)Cd)图 1-121-10计算下列各题。(1) jQcosr + sin)以 dr(8)(1 -

2、xSx)dx00广8y7/ j_xr+sin(-)5(r + 2)Jrr2解(1) cost + sin(2r)e(r)Atsinr + 2cos(2)(1)十 二cost + sin(2/)13(f)J=由( sin2 + 2cos(2r)_e(z) +()=_ cost 4sin(2/)_e(/) + _ sin? + 2cos(2/) 5(+ S(力=_ cos? 4sin(2r)_e(r)+ 2f(r) +6(r)(2) (1-r) f飞一为”) dt-首先求，先-分13+-/=台+*+3)=*(2)这里注意 =y(f) 十里则(1 = 1) 公(力=，&)+a(t)这里注意 6d)=

3、贫1)(5 ) _/+sin()8(，+ 2)&=_/ + sa(F)_ =3 J -8441=-2(8) I (1 M)*(i)d7 一8=I ，() 一( 1)5(7)dw = y (z)dz -p I 3(1)也 2 2J -8. R=6 e(r)1-12 如1T3所示的电路，写出(1)以。为响应的微分方程。(2)以“为响应的微分方程。m+ L A +MIO R U C丰收解 由 KVL 可得 （1） = %,（1） +”c。） 由 KCL 可得 iL（t） = iR（t） + ic（t） 各元件端电流和端电压的关系为uL(t) = R，r =),小) C 2c （1）选定以Mr）为晌应

4、，联立以上各式消去其余中间参量得2 L dLC/女丁瓦不 C稍加整理得以 ）为响应的微分方程请浏览后下我，资料供参考，期待您的好评与关注!心“（广）+春;（/（）+=亲s（Z）（2）选定以/L（z）为响应，联立各式消去其余中间参量可得LC L ) + ( Z)= C稍加整理得以年 为响应的微分方程1RLCU1-20写出图1T8各系统的微分或差分方程。（C）图M8解（a系统框图中含有两个积分器，则该系统是二阶系统,设最下方积分器输出才（。，则各积分器输入为左方加法器的输出为/(f) =/ - 2tz 一 31即/+3才+21=f(t)由右方加法器的输出，得y(n = Z(Z)-2/(，由上式得/

5、(/) = /(力了 一 2，(才)了3jJ=3h(D=一213父(？)二2y(t) = _2xt)_ 22x (.t)_将以上三式相加，得y +3()+ 2?”)= +3/ +2i了一20“ +3/ + 2才了考虑到 /=%d) + 3/a)+2，上式右端等于考- 21(力，故得 /(,)十3()+2了&)= /“)一 2/&)此即为系统的微分方程。 = 户幻+2（归1）41（ 2）即工（）一2工（/一1）+2） = f（k）右方加法器的输出为）必）=2r（ 1）一父（无2）由上式移位可得2yH 1） = 2121U 2，一 21 3 4j（A-2） = 24工4 3） 口一 4r（右-4）

6、 将以上三式相加得3小）一2）必一D+4） 2）2x（.k 1） 2xk 2）+4不（% 3）二 （ 2）2Mk 3） 4M（归 4）2考虑到式2文凌一1） -4才叁- 2） = /（/）及其迟延项，可得 y0）-2y（h-l） +4yG - 2） = 2义k-l 一 f - 2）此即为征图中系统的差分方程。(cl)系统框图中有两个迟延单兀，因而该系统为二阶系统。设上方迟延单元的输人为 则各个迟延单元的输出为以4-1)1*一2)左方加法器输出为 f(k) 2x( k 2)即公冷一21(k-2) = /()右方加法器输出为了(4)=2x(k) 3Mk 1) 4( 2)由上式移位得2y( 2) =

7、 22修一2)1 + 32*4 3)： 一记-2*4 4)将以上两式相加得y(k) 2)( 2)=2xCk) 2xk 2)二 + 3(41) 2戈(左一3) 2) 2(笈-4)_考虑到式W(A)2H( 2) =/1)及其迟延项，可得y(k) -2y(k-2) = 2/() + 3f(k - 1) - 4/( i - 2)此即为框图中系统的差分方程。各系统的全响应y()与激励和初始状1-23设系统的初始状态为光，激励为了(.), 态的关系如下，试分析各系统是否是线性的。(1) )，(，)= /40) + sinxf(x)dx(2)，(，)=+ M = sinRO) + /aMx(4) y伏)=(

8、0.5)G(0) + %)/_ 2)(%)= Z*O) + Z/(J)；=0请浏览后卜.载，资料供参考，期待您的好评与关注!解 用力a)表示零输入响应，？/(力)表示零状态响应。(1) 17r (1) = e-;x (0) 9 j, ； (f) = sino/ (x)da J 0则W)=/+yf满足可分解性a又弘. 分别满足零输入线性和零状态线性，则系统是线性系统。(2)由系统表示式可知了工=0,y (7) = f(w)dz J o叮得y# 3工+“因此系统不是线性系统(3)由系统表示式可知= sinLa(O) 丹= /(i)dK Jo可得 3= (，)+(，)，系统满足分解特性。但 %(，)

9、+ .2 羊 sin二(W (0) + q(0) t即以口)不满足零输入线性，因此系统不是线性系统。（4）由系统表示式可知= （1）（0）=八8 f（k 2）可得y=%（4）+丁“）满足可分解特性但 yfi（k）y/2（k） 手左）+九（公1 力（-2）+%1 2）即以8）不满足零状态线性，因此系统不是线性系统。（5）由系统表示式可知kyx（k） =红（0）,山（） = 2/（；）7=0可得y（k） = yx（k） +）（4）,系统满足可分解特性又有/二（k）十也（k）=虹.（0） +.（0）口ye一履（心=夕二力。）+力（，）二则以（心，3/晨）分别满足零输入线性和零状态线性，因此系统为线性

10、系统。1-25设激励为/(.),时不变的、因果的、稳定的?下列是各系统的零状态响应以() y) = f(t)(5)y式k) = f(k)于(k 1)O判断各系统是否是线性的、(3) %(，)= /(，)cos(2m)(6) 丫式k) = (k-2)f(k) %(%)=!(/)六0解 (1)系统满足齐次线性和可加性，则系统为线性系统 %(7 fd)= 方(Id),系统为时不变系统.当f V力时仙)=0,则此时有以(力=y =0,则系统为因果系统。当J(t)=E(f)时，3k()=(?(，)“ =。时，I Ms( f)| f 8 ,则系统为不稳定系统。(2)* +%)=力 +力 # 力U)力(r)

11、 I，系统为非线性系统。3r) = Jt id) I ,系统为时不变系统。当 vt0时1yx力=。，有)(，)= I /(力I 。，则系统为因果系统。若 /|OC,有1. =1 /(?)8,则系统为稳定系统。(3)系统满足齐次和可加性，则系统为线性系统，zs (f ) = f(t td )cos2二(才一小)_ f h )cos(27：t)则系统为时变系统。当时，/=0,则此时有3=/(ncos(2) =0,则系统为因果系统若 /(f) 8,有yzs(t) | = | f(t)cosC2nt) - Zo时。=fD =。，因此 系统为非因果系统。若 f8则有|九()=八一，)8,因此系统为稳定系

12、统(5)系统不满足可加性，则系统为非线性系统.T0,/a d)1 = f(k-k,)f(k-kA-n = 一(4 一口)，则系统为时不变系 统。若及时=0,则此时加a)= /)/& -1)=0,则系统为因果系统。若 /( k ) 8,则| 乂式)=| /(6) f(k 1) 8则系统为稳定系统。（6）系统满足齐次线性和可加性，则系统为线性系统。= 1-2）/（一 储）手（一储一2）八:Q） =一 七）,则系统为时变系统。若kk.时，/ =0,则此时有. = 2）户出）=0,则系统为因果系 统。若 fg 8,则当归一 8时小/公=3 2）/（4）不一定为有限大，则系 统为不稳定系统。（7）系统满

13、足齐次线性和可加性，系统为线性系统。k*一笃T0f（j h力W /（/）=3”一心），则系统为时变系/ = 0/=0统。 k 若及VE。时J（A）=。，则此时有.（A） = 0,则系统为因果系统n = Q k若fg =电（）则以其发）=/）= a一1）N妨，则当片-8时，尸0I 31(R)f 8,则系统为不稳定系统，C8)系统满足齐次线性和可加性，系统为线性系统。丁0一比打=户1 一欠一如)关骁一Q)= f(i 一十七)，则系统为 时变系统n若归际时于 =0,则1一4V题，即比A 1 一即时，%(A) =0,则系统为非因果系统。若 f(k) X,则当4f 8时，% (4) = /(I E) V

14、 8,则系统为稳定系统。已知当激励为双外时，其全响应1-28某一阶LTI离散系统，其初始状态为N。)。若初始状态不变，当激励为-/时，其全响应为y2() = 2(0.5/-1)若初始状态为2x(0),当激励为时，求其全响应。解 设初始状态下系统的零输入响应为激励为/Q)时，系统的零状态响应为“ a),则由系统的可分解特性可得v (4) = /(出)十%(归)=N4)当初始状态不变，激励为八力时,根据系统的齐次线性可知系统的全响应为 r 1 . _M (左)=),(k) 丫9)=_2( ) 联立以上两式可解得丫/公=1一(4)打)根据LTI系统的特性可知当初始状态为2H0),激励为出时，系统的全

15、响应为M/)= 2%()+4工及)=4 2(；)口晨)第二章2-1已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其零输入响应。(1) )(/) + 5/(0 + 6刈=/(/), y(0) = 1, /(0.) = -1(4)，”0) + y(r) = /,y(0) = 2,y(0.) = 0解 (1)已知方程的特征方程为 A2 + 5A + 6 = 0 其特征根为储=2九=3。微分方程的齐次解为口=Ci e-2r + C2 e-3由于(0_) =1,且激励为零.故有%(。十)=%(。-)=) 0(4)已知方程的特征方程为2+1 = 0其特征根为Q = 不=j。微分方程的齐次解为乂=CicosZ

16、+ Cgsin/由于激励为零，故有/ Q)=%(0_) = 2J工(0 十)=50_) = y(O-) = 0即3，(0-)= G = 2y、(0_) = C2 = 0则系统的零输入响应为 /=2cos2-2已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其。+值)+)和)，(。+)。(2)广 + 6)/ + 8) = r(t), y(0,) = 1, y(0.) = l,/(r)=河)(4) y-S+4y (f) + 5y(r) = ft y(0_) = l(0_) = 2 J(r) = e2,s(t解：（2）ya）+6yd）+8y（Q =80设/=妨（r） +，（，）+ 屯（工）+ %（r）则有

17、 y 0 = aS（t） + bQQt） + 7i r）力（r） =（w（r） + | 九（r）ch， J so同理 =妨（Z） + %（，）兀（f）=生（，）+?! （r）dzv1 -K整理得 心气力十（6a+（8。+ 6+c）6C）十872（） 6/j r） +7：j（0 = （，）ru = 12 = 1，J 6a 十 =0= 0由零状态响应性质可知，求零状态响应即求解微分方程)。(力 +4y1(r) +4)/(r) = 6(r) +2巳-1(力5,Z/(0- ) = ?/(Q_) = 0方程右端含有冲激项两端对0-到。一积分 G_ _J 0_J 0_ , 0 。=6()山 + 2c-1，

18、5 (/)dzJ 0-考虑到的连续性得_y/ (0+ ) )/(。)二一4L,/(0x ) y八 0一)_ = 1得= J/(Q-)+ 1 = 1，3：/(。+)= ,/ (0_ ) = 0当才0时,微分方程可化为一43/(才)4j,y(t) = 2e*此方程全解为y； (r) = C： e-2r + C2 2 e， 0代人初始值得37&)+=e-2* 3/e-21- 2e1./02-8如2-4所示的电路，若以，s为输入,。为输出，试列出其微分方程，并请浏览后下我，资料供参考，期待您的好评与关注!求出冲激响应和阶跃响应。图2-4解 由KCL得 太=icCO + iR（n又由各兀件端电流和端电压

19、的关系可得R（f） = WC （ / ）? c （力=CCl?由以上三式口J解得C*R+R（t） = is（f）代人数值得w(r) + 2u& (r) = 2fs(r)解方程得代人初始值得设系统单位冲激响应为Mr）,则（，）满足J/(r) +2限力=0人(0-) = 2= G e-2: ,f ) 0H0_) = Ci = 2则系统的冲激响应为 系统的阶跃响应为h =2e2le(t)g(t)=()菠=2e 一矢(i)di = (1 e-2:)(r)、XK K2-12 如2-6所示的电路，以电容电压气为响应，试求其冲激响应和阶跃响应。图2-6解 由KVL与KCL得s-M一-1)= e-2(f-2)

20、e(r + 3) r=2则系统的冲激响应为Mt) = e-e1+ 3)2-28 如匕口2-19所示的系统，试求输入/=时，系统的零状态响应。解系统中含有两个积分器，则系统为二阶系统。设右端积分器输出为MU),则积分器的输入分别HK)。由左端加法器可得= J(r) 即f3 =1+ 3/(D + 2文由右端加法器可得y(t) = 21(工)+文(才)由上式可得/(Z) = 2DrC) 了十二(，) 3/(；) = 213了 一3/“) 2y(r) = 2 二 2a7+ 2i 将以上三式相加得/r) +3? +2丁(工)=2 ?”(/) + 3xz(i) + 2工了 + (，)3i(r) + 2r

21、.考虑到式/(?) = /+3/+ 2i，消去上式中1”)得/(?) + 3/(/) + 2y(才)=2/G) + f 选择新变量ga)，使它满足方程= /(?)设其冲激响应为(f),则加(0_) = 0,，(0+)=L此方程的解为=(e-? e-2r)e()则系统的冲激响应为h(i) = 2/3)+ ) = (3e-2? -e-/)e(r)系统在输入信号/(?) = e。)下的零状态响应为(t) = g(z) = 刀(i)di =(3e-2r e-jr)dT =(4一+ e-? )e(z). =*=J 0乙 乙2-29 如2-20所示的系统，它由几个子系统组合而成，各子系统的冲激响应分别为h

22、a(t) = 8(t -1)为3 = )式t - 3)求复合系统的冲激响应。TA(力匕瓜卜)T滴1H九式I图 2-20解设f=6C),利用系统的齐次性和可加性以及系统级联的性质可得出加法器的输出为M(X)= 36)+6(力若Jr) +双上)*/%( *九(力=6(f)十七(的十七(D *3则复合系统的冲激响应y(t) = 3?i U)* 刀b1)=6Q) +6(1-1) d(t 2). * 篦(/)一(心3)=Ki) +式t - 1) + eCt 2) eCt 3) 4)式 5) 即A(z) E(f) 4-e(z 1)E(.t 2)e(f3)e(t 4)e(z 5)0,第三章习题3.1、试求序

23、列/（k）=U的差分y（k）、W（k）和/。12i=-解 （1）/（8的闭式表达式为 f（k） = （5）%（） 乙Af(k) = /柒+ 1)(;产( + 1) (J)%)乙乙=（）空品k+1）-（切=v0,bk -1k =-1V Jk) =1) = ()%(4)一()1(-1)乙乙=(式妨 一 2&-1)= 乙0,1,()z,22/（，）= 2弓尸（6）= 2（4）打1）0,k01 t.2-付），3。3.6、求下列差分方程所描述的LTI离散系统的零输入相应、零状态响应和全响应。1)共幻-2y(k -1) = f(k),f(k) = 24k), y(-1)=-13) y(k) + 2y(k-

24、1) =于(k),于(k) = (3k +4*(%),y(-l) = -l5)，(%) + 2y(k-1) + y(k - 2) = f(k),f(k) = 3( ,y(-l) = 3, y(-2) = -5由差分方程得到系统的齐次方程求得含有待定系数的零输入响应由初始条件求得待定系数,对于零状态响应，由“*)=0#( 1) = C - 2 1 =- 1解上式可得C = - 2,于是得该系统的零输入响应yAk) =-2 2%=一2%(6)零状态响应满足方程g&)-23-1) = f(k)和初始条件“(1)=0。由上式可得yj(k) = /W +2?/(&- 1)则有0) = /(0)+2“(-

25、1) = 2系统的零状态响应是齐次差分方程的全解,分别求出方程的齐次解和特解.得 yf(k) = C2*+y,a)=。/2, + (2)将”()的初始值代人得yf (0) = Cy - 2 = 2解得Cf = 4,于是得零状态响应y . (k) = 4 2 2 e(Zr)系统的全响应为y(k) = y(k) yj (.k) = (2 1 2)e(k)(3)零输入响应满足方程y, () +2乂 ( 1)=0特征根为;I =- 2,其齐次解为?,) = C(- 2儿0将初始值代人，得yr(- 1) = C (-2)-1 =- 1解上式可得，C = 2,于是系统的零输入响应为yr(k) = 2(2)

26、%()零状态响应满足方程yf(h) + 237 - 1) = f(k)和初始条件=0。由上式可得yf(k) = f(k) - 2yf(k-)则有了/(0) = /(0) 2yf( 1) = 4系统的零状态响应是非齐次差分方程的全解，分别求出差分方程的齐次解和 特解，得yf(k) = (；/(一2 +y,() = g(2)* +( + 2)将切(冷初始值代人，得yj(0) =。(一2/ + 2 = 4解上式得C, = 2,于是系统的零状态响应yf(k) = 2(2/ +介 + 21&)系统的全响应为(5)零输入响应满足方程y.t(k) + 2yx(k 1)+ y,(-2) = 0 特征根为九=A

27、2 =-1,其齐次解为yjk) =。|(-1)+。2屋一，决0 将初始值代人,得yX-D =-Q +C2 = 3yz(-2) = C)- 2c2 =-5解以上两式得G =1为=2,于是系统的零输入响应为 yr(k) = (2 左一 1)( 一 1)，(氏)零状态响应满足方程yk) + 2yf(k - 1) + yf(.k - 2) = f(k) 由上式得yf(k) = /W-2a 1)一(1一2) 由初始条件(一1 )=/(2) = 0得y, (0) = /(0) 2y/( 1)y/( 2) = 39“(1) = /-2(0) 一 (-1) =-f 乙系统的零状态响应是非齐次方程的全解，分别求

28、出非齐次方程的齐次解和特 解，得() = c】(一1尸十 C/(l )* +()将)的初始值代入，得37(0) = G + J = 3一/=_Cl - C2 +.=一 解以上两式得G = 2,于是系统的零状态响应yj(k)=弓(-1)* +2履- 1)* +y(y)*()系统的全响应为=?(&)+)= 时，原差分方程可化为h(k) h(k 2) = 8(k)则有近一1)=枢-2) = 0,方程的解为h(k)= G +G(- 1)Y 0又h(k) = 3(k)+h(k-2)则/i(0) =(5(0) +A(-2) = 1A(l) = 3(1) + 履一1) = 0将初始值代入，得A(0) = C

29、； + C2 = 1A (1) = Ci C2 = 0解以匕两式得，G = C2 =，则系统的单位序列响应为h(k) = yl + (-l)() 乙(5)当系统激励/(*)= d(k)时，原差分方程可化为h(k) - 4/i( - 1) + 8/2( - 2) = Mb)则有A(-D =力(-2) = 0.方程的解为h(k) = (2 Ceos()+ C?sin(午)，。044乂h(k)=分()+4人(-1)一8九(4-2)则人(0) = 8(0) + 4/M 1) 8/ ( 2) = 1。(1) = S(l)+4/K0) -87/(- 1) = 4 将初始值代入，得/2 (0) = C) =

30、 1刀=（2闻（G 写+。24解以上两式得G = 1,C2 = 1,则系统的单位序列响应为=笈(2v2cos3.9、 求图所示各系统的单位序列响应。(a)(c)系统输出即为左端加法器的输出，因此易得系统的差分方程，令/(4)=6/),则 系统的响应为单位序列响应/?)J司时初始条件为/】(-1)= A-2)= /“一 + 1) =0。(1)由左端加法器的输出为yg 可知，相应的迟延单元输出为:y柒- D。由加法希 的输出可知系统的方程为y(k) = Jk) Jk I) o令/()= 15a)则系统的单位序列响应满足h(k)=以冷 + 做-1)0以及初始条件4(-1) =0。则有/|(0) =

31、3(0) + 1八 - 1) = 1方程的解为h(k)= c( J)*)。o将初始值代入，得A(0) = C, = 1则系统的单位序列响应为 h(h) = (J)Z(QJ(3)由左端力|法器的输出为y(A)可知，相应的迟延单元输出为(4一13)，。-2兀 由加法器的输出可知系统的方程为y(k) = f(k) - -y(k- 1) + y(k - 2)66令/()=双3，则系统的单位序列响应满足h(k) =8() 力1 1) +人(氏- 2)0b以及初始条件(-1)=从-2) = 0。则有/“()= (0)-(- 1) + (2) = 1b0/i(l) = 8一 go)+ g-i)=一66b方程

32、的解为h(k) =*,心 0将初始值代人得A(0) = C.+G = 1/? (1)=一+ -C2 = JL30由以上两式可解得Ci =三则系统单位序列响应为00h(k)=三(_尸 + 三(1)3 NA)J 乙J J3.10、 求图所示系统的单位序列响应。Ca)根据系统框图可得出系统的差分方程，令方程右端只有8（）作用时，可求得此时 系统的响应为M（&）,根据LTI离散系统的线性性质和时移不变性可求得系统的 单位序列响应。（1）设左端加法器的输出为才“），则相应延迟单元的输出为才（一1）“（-2）。由 左端加法器的输出可得/（）=八）+4*左一 1）-3t（/?-2）即f（k） = j（Zr）

33、 一4口- 1）+3j（Zt-2）由右端加法器输出可得y（k） = 3（） 1）由上式可得-4y(k- 1) = 3E-4a-l)-E-4H-2) 3yCk -2) = 33 - 2) - 3(6 - 3) 将以上三式相加可得y(k) iy(kl)+3j必 2)=3 0(4) -4jQ- 1) + 3i(A 2) KZr l ) 4ra 2) + 3M 3) 考虑到f(k)=考点一 4Kq 1) + 3Q 2),可得系统的方程4)必一 1) + 3丁(6 2) = 3f(k) f(k - 1) 令右端只彳166)作用时，系统的单位序列响应为小”3它满足方程h(k)4 儿小 1)+3 从 a 2) =8(k)以及初始条件/h(-l) = h(-2) = 00则有小(0) =8(0)+4刈(-1)一3(-2) = 13.11、各序列的图形如图所示，求下列卷积和。（1），（攵）*/式攵）（2）人*）*/3%）（3）fk）*L（k）（4）力也）寸（幻*右伏）(a)九jik 一-2 -1。1 2 3 金(b)十外；ji-i -i(d)由各序列的波形图可得出其表示式分别为：/ a) = sa + 1)+2双)+D-1)f2g =+ 2) + 6(/+ 1