2017届河南省洛阳市高三(上)期中数学试卷(文科)(解析版)

1、2016-2017学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分)1.设集合 A=mCZ|mW - 3 或 m 2 , B= n C N| - A. 0, 1, 2 B. - 1, 0, 1 C. 0, 1 D.1 w nv 3, - 1, 0,2.在复平面内。为极坐标原点，复数-1+2i与1+3i分别为对应向量则（？zA ） ab=（1, 2正和正，则|日|二（A.3 B. Vl? C.枳 D. 53.把函数 y=sin (2x 67T）的图象向右平移一丁个单位后，所得函数图象的一条对称轴为6A.4.A.B.C.D.nx=0 B. x=-C.6已

2、知等比数列an的前nnx=晏 D. x=12410项的积为32,则以下命题为真命题的是（5.数列an的各项均为正数数列 an中必有小于 优的项数列 an的公比必是正数数列an中的首项和公比中必有一个大于1sinCl - cos 口 1一右一一=t丁一二节,贝U tan2” 的值为（）A7.在4ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2BC.温+江）的最小值是（A. - 2 B, - 1 C. 18.定义在R上的偶函数 角三角形的两个内角，则（A . f （sin a） f （ cos 3）D.(x)B.2满足 f (x+1) = - f (x) )f ( sin a) f (sin 3)且

3、在5, 6上是增函数，% 3是锐C. f (sin a) v f (cos 印 D. f（cos a） f （ cos 3）9.在四面体S-ABC 的外接球的表面积为（28HA. 11 兀 B. 中,C.SA，平面 ABC, / BAC=120)107140元D- 3SA=AC=2 , AB=1 ,则该四面体r i2x- il10.已知函数32数a的取值范围是()A.(1, 3)B.(0, 3)C.(0, 2)D.(0, 1)11 .已知数列Sn为等比数列an的前n项和，S8=2, S24=14,则S2016=()A.2252- 2B.2253 2C,21008 2D,22016- 212 .

4、设点P, Q分别是曲线y=xex (e是自然对数的底数)和直线 y=x+3上的动点，则P,Q两点间距离的最小值为()C.a (4e-l)V2 D (4e+l)V2A . B.、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.13 .在矩形ABCD中，凝=(1, - 3),同二也，-2),则实数k=14 .已知函数f (x)的对应关系如表所示，数列an满足a1=3,an+1=f(an),则a2016=x123f (x)32115. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为偏视图16 .设a, 3是两个不重合的平面，m , n是两条不重合的直线，给出下列四个命题:若 n? a, n/ 3, a

5、门=m，则 n / m ；若 m? a, n? a, m / 3, n / & 则 a/ 3;若 a, & a A=m, n? a, n,m,则 n, 3; m1 a, a1 3, m / n,则 n / &其中正确的命题序号为三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 .在 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,且?t 足 bcosA= (2c+a) cos ( l B)(1)求角B的大小；(2)若b=4, ABC的面积为 灰，求a+c的值.18,已知等差数列an的前n项和为Sn, S5=4a3+6,且a2, a3,叱成等比数

6、列.(1)求数列 an的通项公式；(2)如果a1wa5,求数列占的前n项和.%19.已知函数 f (x) =4x3- (a+1)x2+x - t (aCR).323(1)若av0,求函数f (x)的极值；20.已知向量=(Vn2x, 若管,箸) (2)设4ABC的三边a, b(2)当aw时，判断函数f (x)在区间0, 2上零点的个数.cos2x),工=(cos2x, - cos2x).13 + A? ? v+= , ak cos4x;c C 25c满足b2=ac,且边b2=ac,且边b所对应的角为x,若关于x的方程；?T+l=m有且仅有一个实数根，求 m的值.c L 221 .如图，在四棱锥

7、 P- ABCD中，平面PAD,平面ABCD , AB / DC, PAD是等边三角 形，已知 BD=2AD=8 , AB=2DC=4 遂.(I)设 M是PC上的一点，证明：平面 MBD，平面PAD;(n)求四棱锥 p-abcd的体积.22 .已知函数 f (x) =x2 - ( a+2) x+alnx,其中 aCR.(I)若曲线y=f (x)在点(2, f (2)处的切线的斜率为 1,求a的值;(n)求函数f (x)的单调区间.2016-2017学年河南省洛阳市高三(上)期中数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分)1.设集合 A=mC Z| mw -

8、 3 或 m2 , B=nC N| - 1 w nv 3,则(？zA) AB=()A. 0, 1, 2 B. -1, 0, 1 C. 0, 1 D. -1, 0, 1, 2【考点】补集及其运算.【分析】根据补集与交集的定义，进行计算即可.【解答】解：二.集合A=mCZ|mW- 3或m2,全集为Z, ?zA=m Z| - 3m2= - 2, - 1 , 0, 1,又 B=nC N| - 1 n3=0, 1,2,则(？zA) CB=0, 1.故选：C.2 .在复平面内。为极坐标原点，复数-1+2i与1+3i分别为对应向量 正和正，则|瓦|二()A. 3 B.5 C.加 D. 5【考点】复数的代数表

9、示法及其几何意义.【分析】 直接利用复数对应点的坐标，求解距离即可.【解答】 解：在复平面内 O为极坐标原点，复数-1+2i与1+3i分别为对应向量而和在， 可得 A (-1, 2), B (1, 3),贝 u I 屈=4(-1)4(2-3)工=%故选：C.冗7T3 .把函数y=sin (2x-)的图象向右平移一丁个单位后，所得函数图象的一条对称轴为 6b( )JTHJTA . x=0 B. x=-r-C. x= - D. x=6Id4【考点】函数y=Asin (cox+(j)的图象变换.【分析】由题意根据函数y=Asin (cox+O的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，得出结论

10、.JTITIT【解答】解：把函数y=sin (2x-的图象向右平移 w个单位后，可得y=sin (2x才) 662=-cos2x的图象，再令2x=k0求得x=-, kCZ,函数所得函数图象的一条对称轴为x=0,故选：A.4.已知等比数列an的前10项的积为32,则以下命题为真命题的是()A ,数列 an的各项均为正数B .数列 an中必有小于 近的项C.数列 an的公比必是正数D.数列an中的首项和公比中必有一个大于1【考点】命题的真假判断与应用；等比数列的性质.【分析】由等比数列的性质可知 为.二%故q必是正数，故选项 C为真命题；由明之仙 可知比可以为负数，故 A为假命题；对于选项 B,由

11、于a5a6=2可以前10项全为近，故B 为假命题；对于选项 D,由叩飞二2可得3遇4)=&12。9二2,可取q=1、如二.亚均 不大于1,故D为假命题.【解答】解：由等比数列的性质，aia2a3，ai0= (&5 a 6)8=32 .，a5a6=2,设公比为q,则a5 q-2,故q必是正数，故选项 C为真命题.对于选项A,由59=2可知a5可以为负数，故 A为假命题；对于选项B,由生叶2可以前10项全为 亚，故B为假命题；对于选项D，由可得q/q和2q9二2，可取q=1、0尸一也均不大于1 ,故D为假命题.故选C.5.若则tan2 a的值为(333A. ： B. - C- - T D. 3 4

12、54【考点】同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正切.【分析】Stand由条件求得tan卡3,再根据tan2a=9，计算求得结果.1 - tan仪【解答】解:sinQ - cos Cl tanCX _ 1 1=sinCl +cosCi tan Ct +122tanX 6tan a=3,贝U tan2 a=：-1 -1-_ 34，故选：D.6.函数y=lny - s i n wHT)的图象大致是(D【考点】正弦函数的图象.【分析】由函数的解析式可得函数的定义域关于原点对称，根据 f (- x) =f (x),可得函数V - gins的图象关于y轴对称，故排除 B、D,再根据当xC (0, 1)时

13、，ln (:)0,从而 x+sinx排除C,从而得到答案.y - g iny【解答】 解：:函数y=ln (:),，x+sinxw0, xw 0,故函数的定义域为x|xw0.x+sinx再根据 y=f (x)的解析式可得 f (-x) =ln (7一)=ln (蓑 win、) =f (x),x+sinx故函数f (x)为偶函数，故函数的图象关于y轴对称，故排除 B、D.T ginx当 xe (0, 1)时0vsinxvx1, : 0区:1x+sinxx - s inx函数y=ln (:)- 2,则正？(在+而)的最小值为-2.故选：A.8.定义在R上的偶函数f (x)满足f (x+1) =-f

14、 (x)且在5, 6上是增函数，% 3是锐角三角形的两个内角，则()A . f (sin a) f (cos 3) B. f ( sin a) f (sin 3) C. f (sin a) f ( cos 3)【考点】奇偶性与单调性的综合.【分析】根据已知条件能够得到f (x)是周期为2的周期函数，且在0, 1上单调递减，再根据a, 3为锐角三角形的两个锐角即可得到1sincos3 0,从而根据f(x)在0, 1上的单调性即可得出f (sin a) ;2 冗 a 3sin a sin (n23) =cosp 且 sin acos (0, 1)；f (sin a) f (cos3).故选：C.9

15、.在四面体S-ABC中, 的外接球的表面积为(SA，平面 ABC , / BAC=120 , )SA=AC=2 , AB=1 ,贝U该四面体A. 11 Tt28HB- 3C.107140元 D-【考点】 球内接多面体；球的体积和表面积.【分析】求出BC,利用正弦定理可得 ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积.【解答】 解：AC=2 , AB=1 , / BAC=120 ,. BC= +1 - 2X 2X1 X (-1)=7,三角形ABC的外接圆半径为r, 2r=.甚，二华,sinlzC3. SA，平面 ABC , SA=2 ,由于三角形OSA为等腰三

16、角形，O是外接球的球心.则有该三棱锥的外接球的半径R=1+(争产停该三棱锥的外接球的表面积为 S=4tR2=4兀X (楞)2=型券.| 2 1 L10.已知函数o 3x - 1 数a的取值范围是()A. (1, 3) B. (0, 3) C. (0故选：D.k22) D. (0, 1)【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法.【分析】结合方程f(X)=2有三个不同的实数解，将问题转化为函数图象交点的个数判断 问题，进而结合函数f(X)的图象即可获得解答.【解答】 解：由题意可知：函数 f(X)的图象如下：由关于x的方程f (x) - a=0有三个不同的实数解，可知函数y=a与函数y=f (x

17、)有三个不同的交点，由图象易知：实数 a的取值范围为(0, 1).故选D11.已知数列Sn为等比数列an的前n项和，S8=2, S24=14,则S2016=()A. 2252- 2 B. 2253- 2 C. 21008- 2 D. 22016-2【考点】等比数列的前n项和.【分析】由Sn为等比数列an的前n项和，由前n项和公式求得a1和q的数量关系，然后 再来解答问题.【解答】解：二.数列Sn为等比数列%的前n项和，S8=2, S24=14,. .2,1q畔著4,由+得到:q =2 或 q = - 3 (舍去)，上_=21 - q贝U a1=2 (q - 1),.S2016=_L_q如6 )

18、 =2(q- 1) (1 - q产)=2253_ 2故选：B.12.设点P, Q分别是曲线Q两点间距离的最小值为(x y=xe)(e是自然对数的底数)和直线y=x+3上的动点，则P,A.(4e- 1)2B.(4e+l) VsC 普D.f【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.P直线与直线y=x+2【分析】对曲线y=xe x进行求导，求出点 P的坐标，分析知道，过点平行且与曲线相切于点 P,从而求出P点坐标，根据点到直线的距离进行求解即可. 【解答】 解：二点P是曲线y=xex上的任意一点，和直线 y=x+3上的动点Q,求P, Q两点间的距离的最小值，就是求出曲线 y=x+3之间的距离.y=xe

19、 -x上与直线y=x +3平行的切线与直线由 y = (1 x) e x ,令 y (1 x)当 x=0, y=0 时，点 P (0, 0),P, Q两点间的距离的最小值，即为点x=1 ，P (0解得x=0 ,0)到直线y=x+3的距离,d d 工 7二-dmin=V2 2故选C.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分.13.在矩形ABCD中,AE = (1, - 3), AC=(k ，-2),则实数k= 4数量积判断两个平面向量的垂直关系.根据题意，画出图形，利用 比?菽0,列出方程，求出 k的值.在矩形ABCD中，正解：如图所示,=(1, - 3),螃二(k ,- 2),BC=氐

20、AE= (k 1, 2+3) = ( k 1, 1),熊?尿=1 x ( k - 1) + ( - 3) x 1=0, 解得k=4 .故答案为：4.fin为偶数日工夫出人，即可a2016-3 口为奇数14 .已知函数f(X)的对应关系如表所不，数列 an满足al=3 , 3n+i=f (an),则a20l6= 1X123f (x)321【考点】数列与函数的综合.由题意可知，a1=3,分别求得32, 33, a4,求得an=.【解答】 解：an+1=f (an), 31=3.1-a2=f (31)=f (3) =1,a3=f (a2)=f (1) =3,a4=f (比)=f (3) =1,fl门

21、为偶数 3n=3n为奇数a2016=1 .故答案为：1.15 . 一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为【考点】由三视图求面积、体积.【分析】首先根据三视图把平面图转换成立体图形,【解答】解：根据三视图得知：进一步利用几何体的体积公式求出结果.该几何体是以底面边长为所以：V=2的正方形，高为灰的四棱锥,-3-故答案为:16 .设a, 3是两个不重合的平面，m , n是两条不重合的直线，给出下列四个命题：若 n? a, n/ 3, a 门=m，则 n / m;若 m? a, n? a, m / 3, n / & 则 a/ 3;若 a, & a H=m, n? a, n,m,则 n, 3； m

22、1 a, a1 3, m / n,则 n / &其中正确的命题序号为.【考点】命题的真假判断与应用.【分析】由线面平行的性质定理可知该命题正确；由面面平行的判断定理可知该命题错误，缺少一个重要条件，m和n是两条相交直线;由面面垂直的性质定理可知该命题正确；n可能在平面3内.【解答】 解：对于 ，由线面平行的性质定理可知该命题正确，故 正确；对于，如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面互相平行， 在这个定理中 两条相交直线”这个条件必不可少.没有这个条件，两平面就不一定平行，也 可以相交，故 不正确；对于，由面面垂直的性质定理可知该命题正确，故 正确；对于，n可能在平面3内

23、，故 不正确.故答案为：.三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.B)17 .在 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,且?t 足 bcosA= (2c+a) cos ( l (1)求角B的大小；(2)若b=4, ABC的面积为 肥,求a+c的值.【考点】余弦定理的应用；正弦定理.【分析】(1)利用正弦定理化简 bcosA= (2c+a) cos (兀-B),通过两角和与差的三角函数 求出cosB,即可得到结果.(2)利用三角形的面积求出ac=4,通过由余弦定理求解即可.【解答】 解：(1)因为bcosA= (2c+a) cos

24、(兀B),所以 sinBcosA= ( 2sinC sinA) cosB所以 sin (A+B) = - 2sinCcosBcosB= c 2兀B=(2)由宅i曲=立得 ac=4 - -由余弦定理得 b2=a2+c2+ac= (a+c) 2-ac=16. a+c=2， 18 .已知等差数列an的前n项和为S, S5=4a3+6,且a2, a3,电成等比数列.(1)求数列an的通项公式；1(2)如果a1wa5,求数列飞一的前n项和.%【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和.【分析】(1)根据等差数列的定义， 设出公差d,利用S5=4a3+6,且a2, a3, a9成等比数列.建 立关系式，

25、求解公差 d和ai,即可得数列%的通项公式；(2)求出等差数列Sn；数列白的通项公式；裂项相消法求解前n项和.【解答】解：(1)由题意：数列an是等差数列，设公差 d,首项为ai, S5=4a3+6,则：S5=4a3+6=5ai+ 1，j4d ,.ai+2d=6 又a2, a?,两成等比数列 2 ( ai+2d) = ( ai+d) (ai+8d). dai=d由，可得：ai=2, d=2 或 ai =6, d=0.故得数列an的通项公式为an=2n或如=6.(2) ai y, , an=2nSn=nai+n(n- 1)则：数列21Xc=n2+n；1数列k的前n项和为:3 n rrl-111的

26、通项公式:Snn+1n+1 11故得数列三一的前n项和为上Snn+1I9.已知函数 f (x)=品3-2(a+i) x2+x -(aCR).(i)若av0,求函数f (x)的极值；(2)当aw 2时，判断函数f (x)在区间0, 2上零点的个数.【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断.【分析】(I)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函 数的极值即可；(2)根据a的范围，求出函数的单调区间，从而求出在0, 2上的零点个数即可.【解答】解：(i) f(x) =a(xi) (x-i),a,.a0, 0,解得：工vxvi,a令f(x) i或xv工，af

27、 (x)在(-8,）递减，在（,1）递增，在（1, +）递减, f (x)极小值=f (工)= a-2a2+3a 1极大值=f (1) = -(a 1);& f (1) = - - (a-1)6f (2) =1 (2a- 1)3aw 时，f （x）在0, 1递增，在1, 2递减,故 f (0) = 0, f (1)=4(a 1) 0,36.f (x)在0, 1, (1, 2上各有1个零点，即在0, 2上2个零点.f (2)=L(2a- 1) 从而可得BE （0,即函数T T TT.再利用正弦函数的图象研究y= a，匕+=自in(4x -%-)的定义域为(0,小口一卷）的单调性，可得当点或 由此

28、即可得到满足条件的实数 m的值.时，有唯一的x与尸皿一石）对应,【解答】解：（I）篡,cos2x）,口号2工, 一白口52工;-二 工： 三二A：.：a b=/5sin2xcos2K - 匚2 2K=员口4乂 一 1+：一4一2又崂V，sin(4s - 3)工一!；65义工 .T JT 5兀由于X6(T，上一)，2412 可得4x-小 (几，等)， 62皿 /)二-J1二式!？(，-?*：, o V85由此可得：cos4c=cos (4x.兀 ./i 兀、 n 4 Vs /=一一一二皿 一丁二:_%乂1_3 二喳5/2- 10，(n) .- b2=ac,，由余弦定理可得:999a +c b 、

29、2ac - ac 18台B二五一2 一 二5. B是三角形的内角，睡(0,4,即某E(0,2由(I)可得 且b+1=sin(4K由 kE (0,2,可得 4x-6 (O.j7K式。(4*-；)-工 1,0乂当xe(0, ?时，y=sin(4x 为单调增函数；66=时，y= sin(4工一为单调减函数.36y=sin(4at - -)=1;6TC1TCy=sin(4i = -)= ,此时只有一个 x y=sin(4x 一二-)对应, b/bTT当XJ 丁当冀4时，b7T当K一时，即直线y=m和y=si n (4x - -)有一个公共点.5若关于x的方程；芯号5有且仅有一个实数根，实数 m的值为1

30、或-2.21.如图，在四棱锥 P- ABCD中，平面 形，已知 BD=2AD=8 , AB=2DC=4 加.(I )设M是PC上的一点，证明：平面PAD，平面 ABCD , AB / DC, PAD是等边三角MBD，平面 PAD;(n)求四棱锥 P-ABCD的体积.【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】(I)欲证平面 MBD，平面PAD,根据面面垂直的判定定理可知在平面MBD内一直线与平面PAD垂直，而根据平面PAD与平面ABCD垂直的性质定理可知 BD，平面PAD;(II )过P作POLAD交AD于O,根据平面 PAD与平面ABCD垂直的性质定理可知 PO ，平面ABCD ,从而PO为四棱锥P - ABCD的高，四边形ABCD是梯形，根据梯形的面积 公式求出底面积，最后用锥体的体积公式进行求解即可.【解答】 解：(I)证明：在 ABD中，由于 AD=4 , BD=8 , Afi=4加，所以 AD 2+BD2