(完整word版)过一点求曲线的切线方程的三种类型

1、0y1-求出x，最后将x代入方程00过一点求曲线的切线方程的三种类型舒云水过一点求曲线的切线方程有三种不同的类型，下面举例说明.1.1.已知曲线y=f(x)上一点P(x,f(X)，求曲线在该点处的切线方00程.这是求曲线的切线方程的基本类型，课本上的例、习题都是这种类型其求法为：先求出函数f(X)的导数f(x)，再将X代入f(x)求0出广广(x)，即得切线的斜率，后写出切线方程y-f(X)= =广(x)(x-x)，0000并化简.例 1 1 求曲线f(x)=x3-3x2+3在点P(1,1)处的切线方程.解：由题设知点P在曲线上，V=3x2-6x，曲线在点P(1,1)处的切线斜率为广(1)=-3

2、，所求的切线方程为y1=-3(x-1)，即y=-3x+42.2. 已知曲线y=f(x)上一点A(x,f(x)，求过点A的曲线的切线方程.这种类型容易出错，一般学生误认为点A定为切点，事实上可能存在过点A而点A不是切点的切线， 如下面例 2 2,这不同于以前学过的圆、椭圆等二次曲线的情况，要引起注意，这类题型的求法为：设切点为P(x,f(x)， 先求出函数f(x)的导数广(x)， 再将x代入广(x)求出广(x)，即得切线的斜率(用x表示)，写出切线方程00y-f(x)= =广(x)(x-x)，再将点A坐标(x,y)代入切线方程得000110)y-f(x)= =f(x)(x-x)求出切线方程000

3、例 2 2 求过曲线y=x3-2x上的点(1,-1)的切线方程.解：设切点为点(x,x3-2x)，y，二3x2-2，切线斜率为3x2-2，0000切线方程为y-(x3-2x)=(3x2-2)(x-x)-0000又知切线过点(1,-1)，把它代入上述方程，得一1-(x3一2x)=(3x一2)(1-x)-0000所求切线方程为y-(1-2)=(3-2)(x-1)，或即x-y-2=0，或5x+4y-1=0-上面所求出的两条直线中，直线x-y-2=0是以(1,-1)为切点的切线,而切线5x+4y-1=0并不以(1,-1)为切点，实际上它是经过了点(1,-1)且以(-1,7)为切点的直线，如下图所示.这

4、说明过曲线上一点的切28线，该点未必是切点.3.3. 已知曲线y=f(x)外一点A(x,f(x)， 求过点A作的曲线的切线方程.这种类型的题目的解法同上面第二种类型.例 3 3 过原点O作曲线y=x4-3x2+6的切线，求切线方程.(20092009年全国卷 I 文 2121 题改编)解：由题设知原点O不在曲线上，设切点坐标为解得x0或x。y-(-+1)=(3-2)(x+丄)842P(x,x43x2+6)，yf=4x3一6x切线斜率为(4x36x)，切线方00000程为：y(x43x2+6)=(4x36x)(xx)-00000又知切线过点(0,0)，把它代入上述方程，得0(x43x2+6)=(4x36x)(x)-00000整理得：(x2+1)(x22)=000解得x=迈，或x=迈00所求切线方程为：y=-2七丟或y=2迈x练习：1.1.求曲线f(x)=x34x2+1在点P(1,2)处的切线方程.2.2.求过曲线y=1x3+4上的点(2,4)的切线方程.333 3 过点(0,2)作抛物线