最新近世代数复习提纲

1、近世代数复习提纲群论局部一、根本概念1、群的定义(四个等价定义)2、根本性质(1)单位元的唯一性；(2)逆元的唯一性；iiiii(3) (ab)ba,(a)a;(4) abacbc；ii(5) axbxab;yabybao3、元素的阶使ame成立的最小正整数m叫做元素a的阶,记作|a|m;假设这样的正整数不存在,那么称a的阶是无限的,记作|a|oii_(1)|a|a|,|a|gag|(gG).(1) 假设ame,那么|a|m；|a|m由ane可得m|n.(2) 当群G是有限群时,aG,有|a|且|a|G|.(4) |a|n|ar|,其中d(r,n).dnr证实设|ar1|k.由于(ar)d(a

2、n)de,所以k工.d另一方面,由于(ar)karke,所以nrk,从而匚匚k,又(L匚)1,dddd施和MBW二一ab二a=b而wabba三(一a一二b.)二a=g(p7p3).20一aG,a一；而aG二巴Q一.直14GaC=z721y*亩渊再京同辑.目建)1池GW田0H当巨aGHa一)而0一.口,辑耳>善世科法B1,讨洲->簪(当与)木加三辑)ss02,用加塞-H渊->簪(当与)洋溢三辑)ss00mi-*n>Akw-H!m>*fm>潮再奈同百辑?五喜*n>>Mi0(1)设>辑百田aH池Amw4lm>.(2) m>m*n>

3、;*fm>m潮再奈aAk»>mm>柔.(3) 涝连(4)m->辑a3->m>柔可宓.4,木加»n>Akm!设>五喜啪>)mi§i°mi°直2W(123L(13)(24)池的小讨渊)为(123)(13)(24)1234512345123452314532145143251234541325(142)(1)n7£*n>Am*>am*>辑“五喜n济MW辑“ffis=(2二y一三.(3)a->nm*>am湘以油w-H->岸木簪也寻藁当啪>君渊史.(

4、4)(ALsFL三.(5)m木加塞«3->啪>塞可宓.(1) (P61.1).(2) (P7P1)施和MB(3)循环群的子群是循环群(P65.4).(4)当|G|时,GZGL,a2,a1,ea0,a,a2,L;当|G|n时,GZnGea0,a,a2,L,an10(5) |G|a|(6)当|G|时,G有且仅有两个生成元a,a1;当|G|n时,G有且仅有(n)个生成元,这里(n)表示小于n且与n互素的正整数个数.且当(m,n)1时,am是G的生成元.(7)假设G与G同态,那么1G也是循环群；2当(a)a时,G；3G的阶整除G的阶.例3(P793)三、子群1、定义：设H是群G的

5、非空子集,假设H关于G的于是也构成群,那么称H是G的子群,记作HG.2、等价条件(1)群G的非空子集H是子群a,bH,有ab,a1Ha,bH,有ab1H(2)群G的非空有限子集H是子群a,bH,有abH.3、运算(1)假设Hi,H2G,那么HiIH2G(可推广到任意多个情形).(2)假设Hi,H2G,那么HiUH2未必是G的子群.(3)假设H1,H2G,那么H1H2,h2|,H1,h2H2未必是G的子群.(4)假设Hi,H2G,那么HiH2不是G的子群.4,®*WHGyWGmr*aHazhH五喜Hsn>am4®*;GW*Haha-hH五喜H寻目n>amM

6、4;*.(1)涝连“aHHa.(2)aHbHbXH;HaHbab-H;aH(Ha)HaH(3)aH(Ha)GaH.(4)aHbH(HaHb)(aH)一(bH)I(Ha)一(Hb).(5)aH-aG池Gm->6Ha-aG-&池Gm->6洪.当GUaH)应(aH_(bH)(MaHbH月)aGMGU工3)应(Ha-Ib)(MHaHb月)aG5,®簪辑GmN辑Hm4®*(比®*)->簪五喜H寻前簪)ft奈Q一三.M-Q-耳)HG二H=9H-.6,NmN辑wH池塞GmN辑)waG)a*aHHayWWH池GmxmN辑ft奈Hiag.辑GmN辑H池Nm

7、N辑aG)*aIaHaG-hH2*arH直4(P741)直5(P743)12NmN辑三万池NmN辑.22万>辑三出塞淞NmN辑.32辑GmfLJC(G)aG-xG-xaax池Gmxmr辑.施和MB4?设Hi,H2G且有一个是不变子群,那么H1H2<Go7、商群设H<G,令G/HaH|aG,aH,bHG/H,定义(aH)(bH)(ab)H那么它是g/h的代数运算,叫做陪集的乘法.g/h关于陪集的乘法作成群,叫做G关于H的商群.当|G|时,有|g/H|回.四、群同态设是群G到G的同态满射,那么1、G也是群；2、 (e)e；3、(a1)(a)1;4、|(a)|a|;5、keraG|

8、(a)e<G；6、G/kerG(:aker(a)；7、HG(H)G；8、H<G(H)<G；9、HG1(H)G；1-10、H<G(H)<Go注：假设H<G,那么映射：aaH(aG)是G到G/H的同态满射,叫做自然同态.环论局部、根本概念1、环的定义设R是一个非空集合,“+与“.分别是加法与乘法运算,假设(1) R关于“+作成交换群(叫做加群)；(2) R关于封闭；(3) a,b,cR,有ao(boc)(aob)oc；(4) a,b,cR,有ao(bc)aobaoc(bc)oaboacoa那么称R关于“+与“.作成环.2、根本性质(1) ao(bc)aobaoc

9、,(bc)oaboacoa；(2) 0oaao00;(3) (a)obao(b)(aob)；(4) (a)o(b)aob；(5) ao(b1Lbn)a0blLaobn,(b1Lbn)oab10aLbnoa；mnmn(6) (ai)o(bj)aiobj;1 1j1i1j1mnmnmnmnaoaa,(a)a；(8)当R是交换环时,a,bR,有(ab)nanC：an1bLC：1abn1bn.3、环的几种根本类型设R是环(1)交换环：a,bR,有abba.例6(P89.2)(2)有单位元环：存在1R,使得aR,有1aa1a.(3)无零因子环：a,bR,当a0,b0时,ab0.注：无零因子环的特征：无零

10、因子环R中的非零元关于加法的阶,叫做R的特征.1 无零因子环R的特征,或是或是素数；2 当无零因子环R的元素个数|R|有限时,R的特征整除|R|.(4)整环：有单位元无零因子的交换环.(5)除环：有单位元1(0),且非零元都有逆元.(6)域：交换的除环.二、两类特殊的环1、模n剩余类环：Zn0,1,2,L,n.(DZn是有单位元的交换环,且1是Zn的单位元；(2) aZn,a0,那么a不是零因子(a,n)1;(3) Zn无零因子n是素数；(4) aZn,a0,那么a不是零因子a是可逆元；(5) Zn是域n是素数.2、多项式环：Rxf(x)anxnLaxa0|an,L,a1,a.R.例7(P10

11、9.2)三、理想1、定义：设U是环R的非空子集,假设(1) a,bU/abU;(2) aU,rR,有ar,raU.那么称U是环R的理想子环,简称理想.注：1理想一定是子环,但子环不一定是理想.2环的中央是子环,但未必是理想.2、运算(1)假设U1,U2是环R的理想,那么U1IU2也是环R的理想(可推广到任意多个情形).(2)假设U1,U2是环R的理想,那么U1UU2未必是环R的理想.(3)假设Ui,U2是环R的理想,那么UiU2U1U2|uiU1,U2U2也是环R的理想.(4)假设Ui,U2是环R的理想,那么UiU2不是环R的理想.3、生成理想：设A环R的一个非空子集,那么R的所有包含A的理想

12、的交仍是R的理想,这个理想叫做由A的理想,记作(A).(1) (A)是R的包含A的最小理想.(2)当Aa时,记(A)(a),叫做由a生成的主理想.i当R是交换环时,(a)rana|rR,nZ；m2当R是有单位元环时,(a)Xiayi|Xi,yiR;ii3当R是有单位元的交换环环时,(a)ra|rR.(3) Aai,a2,L,an,记(A)(ai,a2,L,an)0且有(ai,a2,L,an)(a)(a2)L(an)例8(Pii3.例3)例9(Pii4.3)4、最大理想：设U是环R的理想,且UR.假设包含U的环R的理想,只有U与R,那么称U是环R的最大理想(极大理想).(i)环R的理想U(R)是最大理想当R的理想适合UR时,必有U或Ro(2)环R的理想U(R)是最大理想商环RU只有平凡理想.(3)设R是有单位元的交换环,那么R的理想U(R)是最大理想商环RU是域.例10(P119.1)：Rabi|a,bZ.求证：R/(1i)是域.证实：由于R是有单位元的交换环,所以abi(1i),存在xyiZ(i)使得abi(xyi)(1i)(xy)(xy)i所以axy,bxy,由此可见,当x,y奇偶性相同时,a,b同为偶数；当x,y一奇一