历年高考真题详解版2019全国Ⅱ理数答案

1、1 更多资料微信gaotu5718试题和答案是分开的便于打印 20192019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国II卷答案 1. 【答案】A【解析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养.采取数轴法，利用数形结合的思想解 题.【详解】由题意得，Axx2,或x3,Bxx1，则ABxx1.故选A. 【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目，难度偏易.不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分, 并集包括二者部分. 2. 【答案】C【解析】本题考查复数的共轴复数和复数在复平面内的对应点位置，渗透了直观想象和数学运算素养.采取定义法，利用数形结合思想解

2、题.【详解】由 z32i,z32i,得 z z32i,i,则 z z32i,i,对应点(-3，-2)位于第三象限.故选 C.C. 【点睛】本题考点为共鲍复数，为基础题目，难度偏易.忽视共鲍复数的定义致错，复数与共鲍复数间的关系为实部同而虚部异， 它的实部和虚部分别对应复平面上点的横纵坐标. 3. 【答案】C【解析】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养.采取公式法，利用转化与化归思想 f5uuur BCJ1(t3)1，碍t3，则BC(1,0), uumuuur ABgBC(2,3)g(1,0)21302故选C.【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，

3、难度不大.学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积. 4. 【答案】D【解析】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立的方程，解方程、近似计算.题目所处 位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查. 即堕2(1)333,解得 MI(1)(1)2 【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错. 5. 答案】A【解析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案.【详解】设9位评委评分按从

4、小到大排 极差本质的理解. b3,故选C.【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、籍函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑uuruuuruuur解题. 【详解】 由BCACAB(1,t3), uum 【详解】由 R因为 MI2 M2 2 r (R MI 宜 所以 R(1 MI )2 M2 奇 (1 MI )R 列为x1x2x3x4Lx8x9.则原始中位数为x5，去掉最低分 x2x3 xqLx8,中 1 位数仍为x5,A正确.原始平均数x(X 9 x2x3 xqLx8 x9),后来平均数x 1 x2 x3x4L x8) 平均数受极端值影响较大, 不一定相同, B不正确 正确.原极差 _2_2

5、xxix xq 1 一x2x 7 22 x3xL x8x 2 由易知, =x9-x,后来极差 =x8显然极差变小, D不正确.【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、 6.【答案】C【解析】本题也可用直接法，因为a b,b,所以 a a b0,b0,当ab 1时，ln(ab)0,知A错，因为y 3x 是增函数，所以3a3b，故B错；因为籍函数y 3一. x是增函数, ab，所以 a a3 b b3，知C正确；取a1,b2,满足a 知B错, b2,知D错.【详解】取a2,b b,ln(ab) 0，知A错，排除A；因为93a3b 3, 排除B；取a1,b2,满足ab,1 b2，知D错, 排

6、除D,因为幕函数yx3是增函数，a 所以a3 算能力素养，利用特殊值排除即可判断. 2 推理和运 7. 【答案】B【解析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定3 更多资料微信gaotu5718试题和答案是分开的便于打印 理与性质定理即可作出判断.【详解】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是/的充分条件，由面 面平行性质定理知，若/，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是/的必要条件，故选B.【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若 a,b,a/b,则/

7、”此类的错误. 8. 答案】D【解析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于P的方程，即可解出P，或者利用检验排除的方法，如p2时，抛物线焦点为（1,0）,椭圆焦点为（土2,0）,排除A,同样可排除B,C,故选D.【详解】因为抛物线y22px（p0） 的焦点（E,0）是椭圆jL_L1的一个焦点，所以3pp（E）2,解得p8,故选D.【点睛】本题主要考查抛物线与23pp3pp2 椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养. 9. 【答案】A【解析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养.画出各函数图象，即可做出选择.【详 解】因为ysin|x|图象如下图，知其不是周期

8、函数，排除D；因为yco xcosx，周期为2，排除C，作出ycos2x 图象，由图象知，其周期为一，在区间（，万）单调递增，A正确；作出y单调递减，排除B,故选A. sin2x的图象，由图象知, 其周期为，在区间（_,_,_） 24242 ysinx 不是周期函数; 1关系得出答案. 【详解】 Q2sin2cos2 1,4sincos _2 2cos.Q 0,cos 2 sin0, 2sin 2 sin 22 cos1，5sin 2 1,sin 1p.一，又sin 5 0，sin 姬，故选B. 5 【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、 不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函

9、数值的正负，很关键，切记不能凭感觉. 11.【答案】A【解析】准确画图，由图形对称性得出 同角三角函数基本关系式的考查, 中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目 P点坐标，代入圆的方程得到 c与a关系，可求双曲线的离心率. 【详解】设PQ与x轴交于点A，由对称性可知 PQ x轴, PQ|OF| PA为以 OFOF 为直径 c 的圆的半径，A为圆心|OA|- 2 cc 22 P P 点在圆x 2 a2，即 4 更多资料微信gaotu5718试题和答案是分开的便于打印 4 2 e2c22-e72，故选A. 式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力. 13.【答案】0.9

10、8.【解析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题. 【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2，其中高铁个数为10+20+10=40, 一392 所以该站所有高铁平均正点率约为竺2098 40 【点睛】 本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养.侧重统计数据的概率估算，难度不大.易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值. 14.【答案】-3【解析】本题主要考查函数奇偶性， 解】因为 f(x)f(x)是奇函数，且当 x0 x0 时，f(x) eax.又因为ln

11、2(0,1),f(ln2)8, 所以ealn28，两边取以 e e 为底的对数得aln23ln2，所以a3，即3-【点睛】本题主要考查函数奇偶性,对数的计算. 15.【答案】6J3【解析】本题首先应用余弦定理，建立关于c的方程，应用a,c的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于 常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查.【详解】由余弦定理得 b2a2c22accosB，所以(2c)2c222cc162,即c212解得c2j3,c2足(舍去)所以 2 a2c4J3，SABClacsinB14西2西6/3.【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是 222

12、 余弦定理应用有误或是开方导致错误.解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算. 16.【答案】(1).共26个面.(2).棱长为J21.【解析】第一问可按题目数出来，第二问需在正方体中简单还原出物体位 置，利用对称性，平面几何解决 【详解】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多 面体共有18826个面 如图，设该半正多面体的棱长为 x,则ABBEx，延长BC与FE交于点G，延长BC交正方体棱于H，由半正多面体 对称性可知，BGE为等腰直角三角形, BGGECHx, 2 GH2xx 2 (.21)x1, (=21,即该半正多面体棱长为

13、21 【点睛】 本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实 【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐, 准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来. 12.【答案】B【解析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置， 精准运算得到解决. 【详解】Qx (0,1时, f(x)=x(x 1)， 来的 2倍. 如图 所示：当 2x 3时， f(x)=4f (x2)=4(x 9x

14、2 45x 56 0， (3x 7)(3x 8)0, 7 XI-,x2 3 x( ,m 8 7 7 时，f(x) _戈立，m， m,- 9 3 3 f(x+1)=2f(x),f(x)2f(x1),即 f(x)f(x)右移1个单位，图像变为原 2)(x3),令4(x2)(x3)-，整理得: 9 2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达 对数的计算.渗透了数学运算、直观想象素养.使用转化思想得出答案. 【详 ,故选 B.B. 【点睛】 易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到 5 更多资料微信gaotu5718试题和答案是分开的便于打印 很简单，稳中求胜是关键.立体几何平

15、面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形. 17.【答案】（1）证明见解析； （2）如【解析】（1）利用长方体的性质，可以知道BG侧面ABiBA，利用线面垂直的性 2 质可以证明出BiCiEB，这样可以利用线面垂直的判定定理，证明出BE平面EB）CI； _uuuuruur, （2）以点B坐标原点，以BA,BC,BB1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系, 设正方形ABCD的边长为a,B1Bb，求出相应点的坐标，利用BE 平面ECCi的法向量，利用空间向量的数量积公式求出二面角 BECCi的余弦值的绝对值，最后利用同角的三角函数关系, BE平面ABBA，所以BEBiCi又BEECi

16、,B0ECiG,BG,ECi E uuuuuruuur （2）以点B坐标原点，以BABC,BBi分别为x,y,z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系, b B(0,0,0),C(0,a,0),Ci(0,a,b),E(a,0,)，因为BEEG,所以 2 求出二面角BECC的正弦值. 【详解】证明（i）因为ABCDAiBiCiDi是长方体，所以B1Ci 侧面ABBA,而 ir 设m（xi,yi,zi）是平面BEC的法向量，所以 vuuvmBE uuv 0, 0. axiazi0,axayiazi0. m(i,0,i), uuuv rvCCi0 设n(x2y2z2)是平面ECCi的法向量，所以vuuv

17、,ynEC0. 2az20, ax?ay2az2 0. v(i,i,0)， irr 二面角BECCi的余弦值的绝对值为BTmn 二所以二面角BECCi的正弦值为JiC1）2垂. 222 【点睛】 本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系,考查了数学运算能力. 18.【答案】（1）0.5;（2）0.1【解析】（1）本题首先可以通过题意推导出PX 2所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”， 然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果; （2）本题首先可以通过题意推导出P（X=4）所包含的事件为“前两球甲乙各得 1分，后两球均为甲得分

18、”，然后计算出每种事件 的概率并求和即可得出结果。 【详解】（1）由题意可知，PX2所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球” 所P(X=2)=0.5?0.40.5?0.60.5 （2）由题意可知，P（X=4）包含的事件为“前两球甲乙各得分，后两球均为甲得分”所以 O.t ECi，可以求出 a,ba,b 之间的关系，分别求出平面EBC、 平面EBiCi，因此BE平面 uuruuiu BEECi0 (a,0,?)(a,a,g)0 22 2b2c a0 4 b2a， uuruuiu uuu 所以E(a,0,a), EC(a,a,a),CCi (0,0,2a),BE (a,0,a)， 更多资料微信ga

19、otu5718试题和答案是分开的便于打印 6 【点睛】本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出PX2 以及P(X=4)所包含的事件是解决本题的关键，考查 推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档题。 19.【答案】(1)见解析；(2)an=鼻+n-2,禹=9-口+2。 【解析】(1)可通过题意中的4an13an 4以及 4bn13灯an4对两式进行相加和相减即可推导出数列anbn 是等比数列以及数列anbn是等差数列; (2)可通过(1)中的结果推导出数列 anbn以及数列anbn的通项公式，然后利用数列a”bn以及数列an bn 的通项 公式即可得出结果。【详解】(1)由题意

20、可知4an13anbn4,4bn13bnan4,%+灯=1,ab1 1, 所以 4an+1+4bn+=3an-bn+4+3bn-an-4=2an+2bn，即an+1+bn+1=!(an+bn), 所以数列anbn是首项为1、公比为1的等比数列，an+bn=(4)n-1 因为4an+1-4bn+1=3an-bn+4-(3b-an-4)=4an-4bn+8, 所以an+1-bn+1=an-bn+2，数列anbn是首项1、公差为2等差数列，an-如=2n-1。 n-1 (2)由(1)可知，an+bn=(!)，an-bn=2n-1, 所以an=1(an+bn+an-bn)=/+n-2， 【点睛】 本题

21、考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明,合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题。20.【答案】(1)函数 f(x)f(x)在(0,1)和(1,)上是单调增函数，证明见解析；导，结合定义域，判断函数的单调性； (2)先求出曲线 yInxyInx 在A(x),lnx0)处的切线I,然后求出当曲线y 线在纵轴上的截距与I在纵轴的截距相等即可.【详解】 f(x)Inx x1x21 一. x-f(x)一，因为函数 x1x(x1)2 证明数列是等差数列或者等比数列一定要结 (2) ex切 (1)(1)函数 f(x)f(x)的定义: f(x)f(x)

22、的定义域为(0,1)1 在(0,1)和(1, )上是单调增函数；当x(0,1)，时, x0,y (0,1),函数 f(x)f(x)有零点，而函数 f(x)f(x)在x(0,1)上单调递增, 故当 (1,)时，f(e)Inee120,f(e2)Ine2 e1e1 2e2e 因为 f(e)f(e2)0,所以函数 f(x)f(x)在(e,e2)必有一零点，而函数 函数 f(x)f(x)有唯一的零点综上所述，函数 f(x)f(x)的定义域(0,1)(1, f(x)f(x)求 y (0,1)(1, (X) 0,因 1 0,显然当 1 1)时，函数 f f 有唯一的零点 , )7 In】 a_ 京f(x)

23、f(x) e23e21 f(x)f(x)在(1,)上是单调递增，故当x(1,)时, )内有2个零点; 更多资料微信gaotu5718试题和答案是分开的便于打印 7 yInxyInx 在A(x0,lnx0)处的切线I的斜率k InxInx 在A(x0,lnx0)处的切线l的方程为: (2)(i)设直线PQ的方程为ykx,由题意可知k0直线PQ的方程与椭圆方程x22y2 x2 ykx,2k21, 2.2- x22y24.2k y2kT1 ，点P在第一象限，所以 _2k_ .2k21. (2)(2)因为是 f(x)f(x)的一个零点，所以f(X0) InXo x0 x .x lnx x yln冷 1

24、，、 (xx0)而lnx0 x 所以l的方程为y x x 2，2 ，它在纵轴的截距为 1 x1 设曲线y 的切点为BWe), 过切点为 B(x1,e)切线l yex,所以在B(x，ex1)处的切线l的斜率为 ex l的方程为y x1 ex XI/人 e(1 x),当切线l的斜率 k1 e等于直线l的斜率k 1,。 时，即x ex x。 x(lnx), 切线|在纵轴的截距为 b.ex1(1XI) elnx(1lnx)(1x0 lnx0),而 ln x x x 1,1一 一，所以b1(1 1x x x 1) x 直线l,l的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线l,l重合，故曲 lnxlnx 在

25、A(x0,lnx0)处的切线也是曲线 的切线.【点睛】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的 切线方程，考查了数学运算能力 21.【答案】(1)详见解析(2)详见解析【解析】 (1) 1 分别求出直线AM与BM的斜率，由已知直线AM与BM的斜率之积为-一 2 可以得到等式，化简可以求出曲线 (2)设出直线PQ的方程, C的方程，注意直线与椭圆方程联立，求出 AM与BM有斜率的条件； P,Q两点的坐标，进而求出点E的坐标，求出直线QE的方程，与椭圆 方程联立，利用根与系数关系求出 G的坐标，再求出直线PG的斜率，计算kPQkPG的值，就可以证明出VPQG是直角三角形; (ii)由(i

26、)可知P,Q,G三点坐标，VPQG是直角三角形，求出PQ,PG的长，利用面积公式求出VPQG的面积，利用导 数求出面积的最大值 【详解】(1)直线AM的斜率为-(x2)，直线 BMBM x2 的斜率为(x2),由题意可知: x2 yy x2x2 2y24,(x 2)，所以曲线C是以坐标原点为中心, 焦点在x轴上，不包括左右两顶点的椭圆, 2k P(2k212k2 2k、.2 =)，因此点E的坐标为(j= 1E2k21 ,0) 1， ，故曲线 y yx 4联立，即 更多资料微信gaotu5718试题和答案是分开的便于打印 8 直线QE的斜率为 k kQEc，可得直线QE方程：y k ,与椭圆方程

27、联立, ,2k21 k x 2 2y2 k 2k21，消去y 4. 得，(2 k2)x2 4k2x .2k21 12k282i? 0(*),设点G(x1,y1)，显然Q点的横坐标 2 2k2 =和x1是方程(*)的解所 1 以有 Xi 2 2k2=1 12k2 亓1 2k2 Xi 2 6k4，代入直线QE方程中，得 (k22)、.2k21 2k3 2 6k24 2k3 yi (k22)、.2k21 ,所以点G的坐标为 (k22)2k21(k22)2k2 =) 1 直线 PG的斜率为；kPG 因为 kpQkpGk (ii)由(i)可知: 2k3 (k22)2k21 6k24 2k ：2k21 2

28、 _3_2_ 2k32k(k22) 6k242(k2 2) (k22八2k2 1.2k21 1,所以PQ 2k P(.2k21.2k2 6k24 PG，因此VPQG是直角三角形; =),Q( 1 2k3 G的坐标为(k22)j2k21(k22)V2P PQ (一 2k1 PG 6k24 SPQG 22k .2k21，2k21 1), 2)2(土 ,2k212k21,2k (k22)j2k21 _2)2( 2k21 _4出2_1_ (k22).2k21 4.1k2 2k21 1)(k41)档43k22)，因为 (2k5k2) 2k2 ) 4、.1k2 -2k21 2k3 (k22)2k21 3 8(kk) 42Z 2k45k22 2k).2k21 4k.k21 (k22)2k21 k0,所以当0k1时，S 0，函数S(k)单调递增，当k1时，s 0, 16 . 9 【点睛】 本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了利用导数求函数最大值问题. 函数S(k)单调递减，因此当k1时，函数S(k)有最大值，最大值为S(1) 22.【答案】(1) 02&，i的极坐标方程为 sin( )2；(2)4cos(