用射影面积法求二面角在高考中的妙用

1、，1-，BCAD,SBCAD.2)ADcosAD用射影面积法求二面角在高考中的妙用广西南宁外国语学校隆光诚（邮政编码530007）立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是历年高考的热点问题，在每年全国各省市的高考试题的大题中几乎都出现.求二面角的方法很多，但是，对无棱二面角，或者不容易作出二面角的平面角时，如何求这个二面角的大小呢？用射影面积法是解决这类问题的捷径，本文以近年高考题为例说明这个方法在解题中的妙用，以飨读者！7E理已知平面内一个多边形的面积为S,它在平面内的射影图形的面积为S,平面和平面S所成的二面角的大小为，则cosS.S本文仅对多边形为三角形为例证明，其

2、它情形请读者自证证明：如图，平面内的ABC在平面的射影为4AA于A,D,.AD在内的射影为AD.又ADBC,BC,ADBC（二垂线定理的逆定理）.ADA为面角一BC一的平面角.、一一.一一.一一一,设4ABC和ABC的面积分别为S和S,ADA1八BCADo,2S1S-BCADS2典题妙解下面以近年高考题为例说明上述结论在解题中的妙用例1如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1棱的中点，则A1面BECi与面AC所成的二面角的大小为（A.451B.arctan-2c2.2C.arctan一4D.2arccos3ECBD1解：连结AC,则EBC1在面AC内的射影是面积分力1J为S和S,

3、所成的二面角为设正方体的棱长为2,则AB=BC=2,BEABC,设它们的5,BC122EC1(22)2123.cosEBC1222BE2BC1EC12BEBC1110，EBC11cos2EBC1310.A1Ci1S-BE2BC1sinEBC13,S1SABBC2,cos2S2arccos.3故答案选D.例2（04北京）如图，已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形（1）求证:BCXSC;（2）求面ASD与面BSC所成的二面角的大小；DiEC（3）设棱SA的中点为M,求异面直线（1）证明:SDXWAC,SC在面AC内的射影是SD.又四边形ABCD是正方形，BC面AC,ADM与SB所成的角的

4、大小.ABBCXSC（三垂线定理）(2)解：SDmAC,CD面AC,SDCD.又四边形ABCD是正方形，ADCD.而ADSDD,CD，面ASD.又AB/CD,BA，面ASD.SBC在面SAD的射影是SAD,SCB90,BC1,SB3,SC设它们的面积分别为BC21.2，1SBCSC,SAD222SD,2,SD.2.故2所以面ASD与面BSC所成的二面角的大小为4(3)解：取AB的中点E,连结DE、ME.AMMS,AEEB,ME/SB.异面直线DM与SB所成的角就是DME,设DMES和S,所成的二面角为SC2CDS1.CABE4M1_3MESB,DE22AD2AE2SAAD2SD2、2,MD3A

5、,52，、.2.2_2_22MDMEDEcos2MDME0.所以异面直线DM与SB所成的角的大小为解法二：BA面SAD,SB在面SAD内的射影是SA.又AD而DMSD1,AMMS,DMSA.面SAD,DMSB(三垂线定理)所以异面直线DM与SB所成的角的大小为.例3(04浙江)如图，已知正方形ABCD和矩形互相垂直，AB=.2,AF=1,M是线段EF(2)求证：AM/平面BDE;求证：面AEL平面BDF;求二面角A-DF-B的大小.证明:(1)设ACBDO,则AO1-AC,连结OE.2ACEF所在的平面的中点.四边形ACEF是矩形，EM1EF2EM四边形又EOAO,EM/AO.AOEM是平行四

6、边形,平面BDE,从而AM/EO.COAAM/平面BDE.(2)四边形ABCD是正方形,BDAC.又正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,ECAC,面BD面AE=ACEC面BD,从而ECBD.而ACECC,BD面AE.BD平面BDF,面AE，平面BDF.(3)解：BAAD,BAAF,ADAFA,BA面ADF.一一一一一一,.BDF在面ADF上的射影是4ADF,设它们的面积分别为S和S,所成的二面角为AB2,AF=1,AD匿,BD2,FBFD3.连结FO,则FOBD,FOvFB2BO22.112SBDFO.2,SADAF,cos2223所以二面角ADFB的大小为.例4（08天津）如图，

7、在四棱锥P-ABCD中，底面形，已知AB=3,AD=2,PA=2,PD22,PAB60(1)证明：AD，平面PAB;(2)求异面直线PC与AD所成的角的大小；(3)求二面角P-BD-A的大小.(1)证明：ADPA2,PD2.2,_2_22ADPAPD.PAD90,即DAPA.又四边形ABCD是正方形，DAAB.而ABPAA,AB、PA面PAB,AD，平面PAB.PC与BC所成的角，即2.2,PAB60,PCB.AD/BC,异面直线PC与AD所成的角就是在4PAB中，AB=3,PA=2,PDPB2PA2AB22PAAB由(1)得，AD，平面PAB.CBPB,即CBP90.又BC=AD=2,7,P

8、B7.tanPCBPBBC.7.PCB2arctan义2所以异面直线7PC与AD所成的角的大小为arctan.2（3）彳PE由（1）知，AB于E,连结DE.ADPE,而ABADA,PE面ABCD.PBD在面ABCD内的射影是AEBD,设它们的面积分别为S和S,所成的二面角为BD.AB2cosBPDAD213,AE222PB2PD2BD2PAcos601,BEABAE2.1PB2ScosS2PBPD1,sin274BPD.1cos2BPD,552.14PDsin55_1BPD,SBE224arccos.55AD2.4所以面角PBDA的大小为arccos.55点评：例1和例2中的二面角就是无棱二面

9、角，例3和例4中的二面角虽然是有棱二面角，但是不容易作出二面角的平面角，用定义法解决这两类问题就显得非常繁杂，并且不知如何下手，而另辟溪径，用射影面积法则是化繁为简，曲径通幽！金指点睛1 .(05全国出)如图，在四锥VABCD中，底面ABCD是正方形,底面ABCD.(1)证明：AB，平面VAD;(2)求面VAD与面VDB所成二面角的大小.2 .(06全国H)如图，在直三棱柱ABCAiBiCi中，AB=BC,D、(1)证明：ED为异面直线BB1和AC1的公垂线；(2)设AAACJ2AB,求二面角A1ADC1的大小.3 .(07陕西)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD/BC,ABC

10、90,PAL平面ABCD,PA=4,AD=2,AB23,BC=6.(1)求证：BD,平面PAC;(2)求二面角A-PC-D的大小.PEC4.(09湖北)如图，四棱柱S-ABCD的底面是正方形，上的点，且DEa(01).(1)求证：对任意0,1,都有ACBE;(2)若二面角CAED的大小为60,求的值.金指点睛的参考答案1.(05全国出)如图，在四锥VABCD中，底面ABCD是正方形,底面ABCD.(1)证明：AB，平面VAD;(2)求面VAD与面VDB(1)证明：取AD的中点巳VAVD,AEED,所成二面角的大小.连结VE又平面VAD，底面ABCD,VE.AD.VE平面VAD,BSDL平面VE

11、，底面ABCD.VA在底面ABCD的射影是AD.ABAD,AB底面ABCD,ABVA(三垂线定理)而VAADA,VA、AD平面VAD,故AB，平面VAD.(2)由(1)可知，AB，平面VAD,VBD在平面VAD的射影是4VAD,设它们的面积分别为S和S,所成的二面角为设正方形的边长为1,则BD,2,VB.AB2VA2,2.222BD2BV2VD2cosVBD2BDcos1BD2SSBVsinVBD所以面.217BV4S4.21arccos73,sinVBD.141VAVDsin602VAD与面VDB所成二面角的大小为.21arccos7cos2VBD.7ACi的中点.2.(06全国H)如图，在

12、直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=BC,D、E分别为BB1、(1)证明：ED为异面直线BB1和AC1的公垂线；(2)设AA1AC42AB,求二面角A1(1)证明：取AC的中点F,连结EF、BF.ADCi的大小.AFFC,AEEC1,EF/CC1,EFiCC1.在直三棱柱ABCAB1cl中，CC1面ABC,CC1BB1,CC1/BB1,DBEF/DB,EF=DB,EF面ABC.四边形BDEF是矩形.从而ED在RtAABD和RtAC1B1D中，ABC1B1,ABDC1B1DRtAABDRtC1B1D.ADC1D.而AEEC1,BB1.90,BDBiD.EDAC1所以ED为异面直线BB/口AC1的

13、公垂线.(2)解：连结AB1.AA1AC2AB,ABBC,AC2AB2BC2.PABCD中，AD/BC,ABC90,PA，平面ABCD,C1B1ACBA90，即C1B1面ABB1AlAC1在面ABB1A1内的射影是AB1.AC1D在面ABB1Al内的射影是AB1D.设它们的面积分别为设AB=BC=1,f-则ACCC12,AC12,B1D-,ADAB2BD22_12、1，2S,SAC1DE,SDB1AB.cos2224S所以二面角AADC1的大小为一.33.(07陕西)如图，在底面为直角梯形的四棱锥PA=4,AD=2,AB2v3,BC=6.(1)求证：BD,平面PAC;(2)求二面角A-PC-D

14、的大小.(1)证明：在RtAABD和RtAABC中,ABCBAD90AD=2,AB2.3,BC=6.tanABDABDACBADABACBDBC、.3,tanACBPAL平面ABCD330.而90,即,BDABDBDABBCDBCAC.PAACA,PA、AC平面ABCD,平面PAC,故BD，平面PAC.(2)解：连结PE.由(1)知，BD,平面PAC.PDC在平面PAC内的射影是PAL平面ABCD,PB.PA2AB2PD.PA2AD2BCAB,2/7,从而25,DC,3PABD.PEC,设它们的面积分别为BCPB(三垂线定理)PC.PB2BC2(BCAD)BECcosCPD90,ACB30,E

15、CBC222PC2PD2CD272PCPD4,511PC2PDsincos3.93314.(09湖北)如图，四棱柱上的点，且DEa(1)求证：对任意ADECS和S,所成的二面角为8.22.7.cos303.3.sinCPD,1cos2CPDCPD231,S-ECPA6.3.23.93arccos31CADE31453B93,所以一面角APCD的大小arccos31SABCD的底面是正方形，SDL平面ABCD,SD=AD=(01).0,1,都有ACBE;(2)若二面角CAED的大小为60,求的值.(1)证明：连结BD.四边形ABCD是正方形，ACBD.又SDL平面ABCD,SD=a，点E是SD上的点，且DEa(01),技点E在线段SD上，且不与点D重合，因而BE在平面ABCD内的射影是Bp/1对任意