《线性代数总复习》ppt课件

1、本学期本学期考试定于考试定于第第10周周六周周六11月月10日日3、4节考试，节考试， 本学期考前答疑安排三个单元，详细如下：本学期考前答疑安排三个单元，详细如下：第十周第十周 周三下午周三下午2:30-4:30 周四下午周四下午2:30-4:30 周五下午周五下午2:30-4:30 1 1线性代数总复习线性代数总复习(1)2 2例例1 . 设设32564112222452333555543215 D求：求：333231AAA 及及3534AA 解：解： 0203535343332313534333231)AA()AAA()AA()AAA(那么：那么：0333231 AAA03534 AA3

2、3例例2 (1)计算以下行列式计算以下行列式 xnxnxxD121 12111 nxxnn xnxxx12111 1111nnxnn!n)(xnn11 4 4(2)三次多项式三次多项式3232323231444133312221)(xxxxP 的根为的根为解：解：)4)(3)(2(2144413331222132323232 xxxxxx4 , 3 , 25 5例例3. 设设B,A为三阶矩阵，为三阶矩阵， 且且,A3 ,B2 ,BA21 求：求：1 BA解：解：ABE)BA(A 1EABB)BA( 1B)BA()BA(A11 63111 BABA.A)BA(A1112 BAB.BAB)BA(3

3、1 BA6 6例例4 1设设A、B都是都是n阶方阵，并且阶方阵，并且AB=0，那么，那么 0,00000 BAdBAcBAbBAa可可逆逆时时或或或或 0,0,0 BnAgnBAfBAe则则如如果果秩秩秩秩秩秩则则如如果果可可逆逆此此时时A消消去去律律一一般般不不成成立立BAAB等等于于不不一一定定0 OABBA 0011 AABAB可可逆逆此此时时A有有秩秩的的结结论论7 7例例5 2设设A、B都是都是n阶方阵，那么阶方阵，那么 BAABeBABABAdAthenAIfcABBAbBABABAa )(1:,12)(22222成成立立时时当当,BAAB ABBAn 1 AAAn11 成成立立时

4、时当当,BAAB BAABBAAB e8 8 , 1, 23, BABA阶阶方方阵阵，如如果果都都是是设设 计计算算*2 BAABABAAAA 计计算算设设,3321321解解 1*352 A 3221,3ABAABA 3221,4ABAA 12124,4321321 ABAAAA *1,41AA 计计算算 114141AA413 A *13,128141AA9 9例例616,1200030000120021 AAA求求设设解解:66AA 9331203.1221 A6669)9( A 10000000003231313232311A1010例题例题7 设方阵设方阵A满足满足2A2-5A-8E

5、=0，证明，证明A-2E可逆，并可逆，并 12 EA求求解法解法:关键：寻求方阵关键：寻求方阵B，使，使A-2EB=E分析分析 01022 EEAEA EEAEA 21012 EAEAEA 21012,21并且并且可逆可逆所以所以1111例例8设设A是是n阶矩阵阶矩阵, nnijABEA 又又矩矩阵阵满满足足,2的的代代数数余余子子式式，中中元元素素是是行行列列式式其其中中ijijaAAEB 2证明：证明：证明证明:AAEA 12 TTTAAAAAB 又又 22TAAB12 A T)A(A22E1212例例9设矩阵设矩阵X满足：满足：AXB=XB+C，求，求X，其中，其中 110101,100

6、012002,2012CBA由知，得由知，得AXB-XB=C， 那么得那么得 1CXBEA 显然显然A-E、B均可逆，并且均可逆，并且 1000110021,10111011111BEA对式对式1左乘左乘A-E-1，右乘，右乘B-1，得得 11CBEAX1、左右次序、左右次序2、左右乘逆、左右乘逆 1111 BCEAXBBEAEA解解1313例例10-矩阵的秩矩阵的秩 BAraCraaaCBArBAAr求求求求又又设设求求设设求求4, 3,1111113,0111011102876565434321,1 000064204321Ar(A)=2可逆，可逆，B 2 ArBAr CCr, 30 2,

7、 1,122 oraaaC BrArBAr32 初等变换1414例例11. 20112010001010100543432321120010001.填空题填空题解：解： 8043120641608523412312 设设T1 , 1 , 1，矩阵，矩阵TA，那么，那么427EA3272 1515例例12 设设A是是n阶矩阵阶矩阵,321元列向量元列向量是是nXXX且且01 X32321211XXAXXXAXXAX 证明：证明：线性无关。线性无关。321,XXX证明：证明：23121)()(0)(XXEAXXEAXEA )1(0332211 XkXkXkEA 两两边边左左乘乘)2(02312 X

8、kXkEA 两两边边左左乘乘0030131 kXkX010212 k)(,k得得代代入入）得得代代入入（线线性性无无关关。321,XXX1616例例13 )(, 2 , 1,21nrriaaaTiniii 设设是是n元的实向量元的实向量,且且线线性性无无关关，r ,21知知 是是线线性性方方程程组组Tnbbb21 000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa的非零的非零 解向量解向量,试判别试判别 ,21r的线性相关性的线性相关性?1717)1(02211 xxxxrr解解:求求内内积积两两边边对对 ),(),(),(),(2211 xxxx

9、rr rii, 2 , 1, 0),( 0),( x00 x 又又）式式得得代代入入（10 x02211 rrxxx 线性无关线性无关r ,21 021 rxxx线性无关线性无关 ,21r1818r,:(I)21s,:(II)211设向量组设向量组可由向量组可由向量组线性表示，那么线性表示，那么例例14(II)必线性相关必线性相关sr 时，向量组时，向量组A当当。(II)必线性相关必线性相关sr 时，向量组时，向量组B当当sr (I)时，向量组时，向量组必线性相关必线性相关C当当sr (I)时，向量组时，向量组必线性相关必线性相关 D当当1919s,212设设n 元向量组元向量组线性无关的充分

10、必要条件线性无关的充分必要条件是是)3(ns A 存在不全为零的数存在不全为零的数,21sxxx使使; 02211 ssxxx Bs,21中任两个向量都线性无关；中任两个向量都线性无关；Cs,21中存在一个向量，中存在一个向量，它不能由其他它不能由其他s-1个向量线性表示；个向量线性表示；Ds,21中任一个向量中任一个向量都不能由其他都不能由其他s-1个向量线性表示。个向量线性表示。D2020例例15 设设 110121011321 ，生成子空间：生成子空间： 321, spanV 那么那么V的一组基底为的一组基底为V的维数的维数2121例例16 讨论讨论a、b满足什么条件时，如下方程组无解、

11、有满足什么条件时，如下方程组无解、有独一解、有无穷独一解、有无穷 多解？有无穷多解时，求其通解。多解？有无穷多解时，求其通解。bxxaxxxxxxxxx323213213211051336312解解 对增广矩阵对增广矩阵A进展初等行变换进展初等行变换baA10501133631121112rr133rr 01050464024201211a221r24235,4rrrr5000020012101211baT 此时无解；时当,51ArArb 此时有解；时当,52ArArb2222例例16续续 baA105011336311211 5000020012101211baT 行变换 有唯一解；则时，若

12、即有解时, 3, 25,3ArArab时当有无穷多解，即2, 54ab 有无穷多解；则若, 32, 2ArAra0000000012101211T21rr0000000012100001T那么通解为那么通解为Rkkxxx,120010321那么得一同解方程组为那么得一同解方程组为33321120 xxxxx2323例例17 元元列列向向量量是是一一个个设设矩矩阵阵是是一一个个设设m,rAr ,nmA0 (1) 对齐次线性方程组对齐次线性方程组AX=0来说来说,以下哪个结论正确以下哪个结论正确? .,;AX,nm;AX,nm;AX,nm都不对都不对必有惟一解必有惟一解时时当当必有非零解必有非零解

13、时时当当仅有零解仅有零解时时当当3214030201 (2) 对非齐次线性方程组对非齐次线性方程组AX= 来说来说,以下哪个结论正确以下哪个结论正确? .AX,A,nm;AX,A,nm;AX,nm;AX,nm;AX,nm必必有有惟惟一一解解时时并并且且当当可可能能有有惟惟一一解解时时并并且且当当必必有有惟惟一一解解时时当当必必有有无无穷穷多多解解时时当当必必无无解解时时当当 05043212)5)2424例例17续续 元元列列向向量量是是一一个个设设矩矩阵阵是是一一个个设设m,rAr ,nmA0 .AXAX;AXAX;AXAX;AXAX仅仅有有零零解解有有惟惟一一解解，则则若若必必有有非非零零

14、解解有有无无穷穷多多解解，则则若若必必有有无无穷穷多多解解有有非非零零解解，则则若若必必有有惟惟一一解解仅仅有有零零解解，则则若若04030201 (4) (4) 齐次线性方程组齐次线性方程组AX=0AX=0有非零解的充分必要条件是有非零解的充分必要条件是 ;A;A;A;A的的列列向向量量组组线线性性相相关关的的行行向向量量组组线线性性相相关关的的列列向向量量组组线线性性无无关关的的行行向向量量组组线线性性无无关关43213)4)4)(3)2525例例8 设设987675431310745432432154321，极大无关组线性表示。，并将其余向量用此的一个极大无关组与秩，求54321, 解解

15、进行初等行变换：，对矩阵54321,A9713548510437473263421AB000000100050110402011231111311113116342134rr54321,，54321,，1223rrrr2626例例8(续续)9713548510437473263421AB000000100050110402011231111311113116342134rr54321,，54321,，1223rrrrB的极大无关组为：的极大无关组为：421，其他向量由此极大无关组表示为：其他向量由此极大无关组表示为：215213542，由于矩阵的初等行变换不改动列向量组的线性关系，所以由于矩阵

16、的初等行变换不改动列向量组的线性关系，所以的一个极大无关组为：，54321,421，其他向量由此极大无关组表示为：其他向量由此极大无关组表示为：215213542，2727例例1914443332221143210 ttttAX, ，的的基基础础解解系系，设设是是线线性性方方程程组组设设 的的基基础础解解系系？也也是是，满满足足什什么么条条件件时时，线线性性无无关关？，满满足足什什么么条条件件时时，的的解解向向量量？是是不不是是，03201432143214321 AXttAX 解解(1是；是；(2 1044332211 xxxx设设 0144433322211 txtxtxtx即即 043332221141 xtxxtxxtxtxx即即线线性性无无关关。故故是是基基础础解解系系，故故因因为为43214321 ,2828例例19续续 043332221141 xtxxtxxtxtxx 000043322141xtxxtxxtxtxx411111tttttD 因因为为系系数数行行列列式式 线线性性无无关关，仅仅有有零零解解，此此时时时时当当线线性性相相关关，有有非非零零解解，此此时时时时当当是是实实数数，所所以以因因为为4141