(整理)偏微分方程相关材料翻译

1、目录目录前言前言1 1应用与方法概述应用与方法概述1.1 什么是偏微分方程 11.2 求解并解释偏微分方程 72 2傅里叶级数傅里叶级数2.1 周期函数 182.2 傅里叶级数 262.3以任意数为周期的函数的傅里叶级数 382.4 半幅展开:余弦级数和正弦级数 502.5 均方逼近和帕塞瓦尔恒等式 532.6 傅里叶级数的复数形式 602.7 受迫振动 69收敛性的补充内容2.8 傅里叶级数表示定理的证明 772.9 一致收敛性和傅里叶级数 852.10 狄利克雷判别法和傅里叶级数的收敛性 943 3直角坐标中的偏微分方程直角坐标中的偏微分方程3.1 物理和工程中的偏微分方程 1043.2

2、建模 2 弦振动和波动方程 1093.3 一维波动方程的求解:分离变量法 1143.4 达朗贝尔方法 1263.5 一维热传导方程 1353.6 棒中的热传导:各种边界条件 1463.7 二维波动方程和热传导方程 1553.8 直角坐标中的拉普拉斯方程 1633.9 泊松方程:特征函数展开法 1703.10 诺伊曼条件和罗宾条件 1803.11 最大值原理 1874 4极坐标与柱面坐标中的偏微分方程极坐标与柱面坐标中的偏微分方程1171031933894.1 各个坐标系中的拉普拉斯算子 1944.2 圆膜的振动:对称情况 1984.3 圆膜的振动:一般情况 2074.4 圆域中的拉普拉斯方程

3、2164.5 圆柱体中的拉普拉斯方程 2284.6 亥姆霍兹方程和泊松方程 231 关于贝塞尔函数的补充内容4.7 贝塞尔方程和贝塞尔函数 2374.8 贝塞尔级数展开 2484.9 贝塞尔函数的积分公式和渐近式 2615 5球面坐标中的偏微分方程球面坐标中的偏微分方程2695.1 问题和方法概述 2705.2 对称狄利克雷问题 2745.3 球面调和函数和一般狄利克雷问题 2815.4 亥姆霍兹方程及其在泊松方程、热传导方程和波动方程中的应用 291关于贝塞尔函数的补充内容5.5 勒让德微分方程 3005.6 勒让德多项式和勒让德级数展开 3085.7 连带勒让德函数和连带勒让德级数展开 3

4、196.1 正交函数 3266.2 施图姆-刘维尔理论 3336.3 悬链 3466.4 四阶施图姆-刘维尔理论 3536.5 梁的弹性振动和屈曲 3606.6 双调和算子 3716.7 圆板的振动 3777 7傅里叶变换及其应用傅里叶变换及其应用7.1 傅里叶积分表示 3907.2 傅里叶变换 3987.3 傅里叶变换法 4116 6施图姆施图姆-刘维尔理论及其在工程中的应用刘维尔理论及其在工程中的应用3257.4 热传导方程和高斯核 4207.5 狄利克雷问题和泊松积分公式 4297.6 傅里叶余弦变换和正弦变换 4337.7 半无限区间上的问题 4407.8 广义函数 4457.9 非齐

5、次热传导方程 4617.10 杜阿梅尔原理 4718 8拉普拉斯变换和汉克尔变换及其应用拉普拉斯变换和汉克尔变换及其应用8.1 拉普拉斯变换 4808.2 拉普拉斯变换的进一步性质 4918.3 拉普拉斯变换法 5028.4 汉克尔变换及其应用 5089 9有限差分数值方法有限差分数值方法9.1 热传导方程的有限差分法 5169.2 波动方程的有限差分法 5259.3 拉普拉斯方程的有限差分法 5339.4 拉普拉斯方程的迭代法 5411010抽样和离散傅里叶分析及其在偏微分方程中的应用抽样和离散傅里叶分析及其在偏微分方程中的应用10.1 抽样定理 54710.2 偏微分方程与抽样定理 555

6、10.3 离散傅里叶变换与快速傅里叶变换 55910.4 傅里叶变换与离散傅里叶变换 5671111量子力学引论量子力学引论11.1 薛定鄂方程 57311.2 氢原子 57411.3 海森伯格不定性原理 581 关于正交多项式的补充内容11.4 埃尔米特多项式和拉盖尔多项式 5901212格林函数和保角映射格林函数和保角映射47951554657361112.1 格林定理和恒等式 61212.2 调和函数和格林恒等式 62212.3 格林函数 62912.4 圆域和上半平面的格林函数 63812.5 解析函数 64512.6 利用保角映射求解狄利克雷问题 66312.7 格林函数与保角映射

7、67412.8 诺伊曼函数和诺伊曼问题的解 684前言前言自本书第 1 版出版以来，我很高兴地收到了来自读者的积极回应。这一版采纳了他们的许多建议，包含了更多的源自工程和物理的应用、更多的数学证明与理论。为保持原版的组织结构，大部分变化体现在各章后面的新增小节里。与第一版一样，本书旨在作为偏微分方程和边值问题（包括傅里叶级数）的现代基础教材，供学完常微分方程基础课程的学生使用。本书内容与安排本书内容与安排本书是为了读者较好地从常微分方程基础课程过渡到偏微分方程附录附录A常微分方程：概念和方法回顾常微分方程：概念和方法回顾A1A.1 线性常微分方程 A2A.2 常系数线性常微分方程 A10A.3

8、 变系数线性常微分方程 A21A.4 幂级数法，部分IA28A.5 幂级数法，部分IIA40A.6 弗罗贝尼乌斯法 A51B变换表变换表A65B.1 傅里叶变换表 A66B.2 傅里叶余弦变换表 A68B.3 傅里叶正弦变换表 A69B.4 拉普拉斯变换表 A70参考文献部分参考文献部分习题答案索引习题答案索引A73A75A99基础课程而设计的。虽然本书面向那些强调应用的工程、数学和物理等专业的学生，但本版新增内容为教师提供了多种选择:以理论为主的偏微分方程课程，或者强调边值问题和傅里叶级数的偏微分课程。除了偏微分方程基础课程的核心内容（参见下面的“教学安排”）外，本书还包含许多特别专题，教师

9、可以根据需要讲授，或者作为专题研究的题目。这些基于核心内容的高级专题基本上是相互独立的。预修要求预修要求在附录 A 中，汇总了一些线性常微分方程的基本理论，包括级数法。教师可以根据需要将这些内容仔细讲授或完全省略，这是为了方便学生回顾与查阅.特别的，A.4A.6 节包含了对幂级数方法和弗罗贝尼乌斯方法的详细讨论，适合于那些第一次接触这些内容的学生阅读。考虑到现在在常微分方程基础课程中省略级数方法这一趋势，我认为有必要对这些内容作较为详细的讨论。习题和计算机辅助习题和计算机辅助教学教学每一节的习题都以一组基础题目开始，这些基础题目是为了加深学生对该节基本概念的理解而设计的；接着是难度较大的提高题

10、，引导读者对概念进行更深入的理解。这些提高题通常都给出了详细的提示，以使绝大多数学生都可以完成。有些节包含了专题问题，专题问题是一些较长的习题，其结果有一定价值或涉及相关的应用。专题问题可以由学生独自完成，或由小组共同完成，或由教师作进一步的讲解。虽然本书是从传统观点来编写的，无需计算机辅助教学，但还是包含了一些需要利用计算机的例题和习题。需要使用计算机的习题都标上了计算机标记，这些问题都是要求学生利用计算机辅助作图功能研究一些问题（例如傅里叶展开、贝塞尔展开、勒让德展开以及其他特殊函数的展开式的部分和序列的收敛性），以及计算那些不易手算得到的数值数据（例如，广义傅里叶级数的系数和超越方程的根

11、）。本版新增内容本版显著的变动如下:2.2 节增加了一些傅里叶级数的例题和习题，这些例题和习题建立在图形基础上，用于增强学生阅读和理解傅里叶级数图形表示的能力。2.7 节是新的，该节包含了应用傅里叶级数求解机械或电子系统的受迫振动。我们的讨论超越了该领域的典型步骤，通过对傅里叶级数解的分析，讨论了一种抑制系统高振荡的方法。2.8 节以及 2.9 节的大部分内容是新的。 第 2 章最后三节较完整地讨论了傅里叶级数的逐点收敛以及一致收敛问题，包括分段光滑函数的傅里叶级数表示定理的完整证明。这些内容的巧妙安排使之更适合于课堂教学。3.4 节做了扩充，包含了特征线法、平行四边形法等，以及达朗贝尔解的依

12、赖区间。3.10 节是新的，它研究了在矩形区域上带有罗宾边界条件或诺伊曼边界条件的边值问题。4.4 节做了扩充，以包含平面中的圆盘、锲形和扇形区域上具带罗宾边界条件或诺伊曼边界条件的边值问题。4.9 节是新的，讨论了贝塞尔函数的一些重要的高级性质，如积分表示和渐近公式。本节还对工程师、物理学家和应用数学家非常感兴趣的定常相方法做了介绍。6.6 节和 6.7 节是新的，这两节介绍了双调和方程和板振动理论。这两节综合运用了前面几节中的许多重要方法（贝塞尔函数的渐近公式、特征函数展开法和广义傅里叶级数等）。7.2 节增加了一些关于卷积的新例子，讨论了卷积在求解边值问题时的作用。7.8 节是新的，讨论

13、了广义函数、分段光滑函数的导数、卷积及其在计算分段光滑函数的傅里叶变换中的应用。7.9 节和 7.10 节是新的，这两节包括杜阿梅尔原理及其在非齐次热传导方程和波动方程中的应用，还引入了偏微分方程的基本解和弱解等概念。虽然这些内容看起来是纯理论性的，但这两节包含了很多有趣的应用和习题，以激发第一次接触它们的学生的学习兴趣。第 12 章关于格林函数和共形映射的内容是新的，这是一个关于格林函数和共形映射的自封式的处理。和本书其他部分一样，这一章也是按照便于阅读的方式编写的，该章包含了许多有趣的习题和应用。12.1 节从线积分的基本性质开始，证明了格林定理， 导出格林公式， 最后证明了调和函数的基本

14、性质； 在 12.2 节和 12.3节中，证明了调和函数的高斯平均值性质和最大模原理，导出了格林函数，讨论了它们的理论和物理意义；12.3 节还讨论了求解格林函数的特征函数法；在 12.4节中，运用电像法推导出格林函数；12.5 节从多方面介绍解析函数及其在偏微分方程中的应用，该节包含柯西黎曼方程以及许多有关解析函数在求解狄利克雷问题中的相关应用；12.6 节介绍了保角映射及其在边值问题中的应用；在 12.7 节和 12.8 节中，运用保角映射推导出格林函数和诺伊曼函数。附录 A.4 是新的，综述了幂级数知识，为其后几节有关幕级数方法的讨论做了铺垫。教学安排教学安排偏微分方程基础课程。偏微分方

15、程基础课程。该课程包含如下核心内容:第 1 章;2.12.4 节，2.6 节;第 3 章（3.93.11 节为可选内容）; 4.1 节，4.2 节，4.4 节（根据需要可选讲 4.7 节和 4.8 节）; 5.1 节，5.2 节（根据需要可选讲 5.5 节和 5.6 节）; 6.1 节，6.2 节;7.17.7 节;8.3 节（根据需要可选讲 8.1 节和 8.2 节）。强调工程应用的课程强调工程应用的课程。将第 5 章的内容替换为 2.7 节，6.3 节，6.5 节，6.6 节和6.7 节中任何一节即可。 强调物理应用的课程强调物理应用的课程。将第 7、8 章的各节替换为第 5、11 的各节

16、。 强调数学证明的课程强调数学证明的课程。包含 2.82.10 节。第 12 章关于格林函数的内容以及 4.9节、6.6 节、6.7 节和 7.87.10 节，更适合给低年级研究生或高年级本科生讲授。相关网站相关网站作者的Mathematica文件和一本学生解题手册以及其他有关本书的补充材料，可以从作者的网站/nakhle上下载。想得到教师解题手册的教师可以直接通过电子邮件与作者联系.此外，希望扩充 12.5 节中的复变量内容的教师可以参考N.亚斯马（N.Asmar）教授的另外一本书应用复分析和

17、偏微分方程（在G.琼斯（G.Jones）帮助下完成），由普伦蒂斯霍尔出版社（PrenticeHall）于 2002 年出版。在教师的要求下，征得了该书编辑同意，书中的材料可以提供给学生。致谢致谢StephenMontgomery-Smith教授（密苏里大学）向我提出了许多关于本书新版的建议，在此向他表示感谢。我也非常感谢下面几位审稿人GrantW.Hart教授（杨百翰大学物理系）、RobertB.Israel教授（英国哥伦比亚大学数学系）、DavidG.Retzloff（密苏里大学化学工程系）、JunYu（佛蒙特大学数学与统计系），他们慷慨地与我分享了关于本书新版的很多想法。我也很高兴地感谢D

18、arrylYong教授（哈维玛德学院数学系）和MarkLammers教授（北卡罗来纳大学威尔明顿分校数学系）。对GhaziAsmar教授（圣母玛利亚大学黎巴嫩分校机械工程系）在 2.7 节、6.4节、6.6 节和 6.7 节中提供的帮助表示衷心的感谢。同样感谢下面几位数学家MarkW.Coffey（科罗拉多大学丹佛分校）、RichardFord（加州州立大学奇科分校）、StephenJ.Greenfield（拉特格大学）、MarkKon（波士顿大学）、WilliamG.Margulies和SaleemWatson（加州州立大学长滩分校），他们是本书第 1 版的审稿人。感谢RichardWink

19、el在计算机技术上提供的帮助。本书的编辑一PrenticeHall出版社的GeorgeLobell向我提供了许多支持、 建议和鼓励，在此向他表示感谢.同时感谢PrenticeHall出版社的制作编辑BarbaraMack的帮助和建议。我特别感谢家人对我的支持.我很荣幸地将此书献给我的妻子Gracla、我们的1.孩子Julia和Thomas，以及我的双亲Habib和Moumra。NakhleH.Asmarnakhlemath.missouri.Edu来自读者的评价来自读者的评价2. 总体来说，我觉得这本书是一本非常优秀的偏微分方程导论教材。作者不仅能够以如此深度囊括这门学科的关键，同时只要求读者熟悉微积分、三角函数和线性代数