测度论的知识要点与复习自测

1、章 测度论的知识要点与复习自测 一、Lebesgue 外测度的知识要点： 熟练掌握 Lebesgue 外测度的定义和外测度的基本性质(包括基本性质：非负性、 单调性、次可数可加性；Lebesgue 外测度的特有性质：距离分离性)； 会用定义或性质求一些典型集合的外测度(例如： R中至多可数集，区间， Cantor (三分)集，黎曼可积函数(特别是连续函数)图象等的外测度) ； 特别注意零测集的含义和性质 【如 R中的任何集合并上零测集或减去零测集外 侧度不变；零测集的子集仍为零测集；至多可数个零测集的并集仍为零测集】 。 自测题： 1 1、叙述R中 LebesgueLebesgue 外侧度的定

2、义及性质，并用定义和性质解决如下问 题： 和无界两种情况来证明)；并利用此结论和外侧度的性质再解决如下问题： (1) 设P 0,1 R1为三分 CatorCator 集，贝U m*P 0 ;(注意三分 CatorCator 集 的构造) (2) 设f(x)为定义在a,b R1上的黎曼可积函数， Gp(f) (x,y)|y f(x),x a,b R2， f (x)在a, b的图像，贝y m*Gp(f) 0 ;(注意黎曼可积的充要条件的使用) (3) 设E R有内点，贝y m*E 0 ； (4) (外侧度的介值性)设E R1为有界集，m*E 0,则对任意0 c m*E， 存在E1 E，使得，m*E

3、1 c ;(注意构造适当的连续函数，利用连续函数的介值Q Rn为有理点集，计算m*Qn 0 ； E R为至多可数集，计算 E,F R，m*E 0，贝 y m* (3 3) 2 2、 据理说明下面的结论是否成立： 设 若E为有界集，则m*E ； 若 若 若 0 ； * * mF m F E 。 Rn, (1 1) (2 2) (3 3) (4 4) 3 3、设I m*E ，则E为有界集； m*E ，则E为无界集； E为无界集，则m*E R为区间，证明：m*l 其中I表示I的体积(注意I分有界 性） （5）（外侧度的介值性的一般形式） 设E R1 ,m*E 0,则对任意0 c m*E， 存在E1

4、E，使得，m*E1 c。（注意：此结论要用到后面的等测包定理和单调递 增可测集列的测度性质） 二、Lebesgue 可测集的知识要点： 熟练掌握 Lebesgue 可测集的卡氏定义（即 C.Caratheodory 定义）及等价条件 （如：余集的可测性；对任意的 A E和B Ec，总有m* A B m*A m*B ），会 用定义或等价条件来证明一些点集的可测性（例如：零测集，区间等） ； 熟练掌握可测集的并、交、差、余运算性质，并会熟练地运用这些性质来判断 集合的可测性； 记 E R E 是可测集，则 c，其中c为连续基数； 理解对单调递减的可测集列为什么要 熟练掌握单调可测集列测度的极限性质

5、， 加上条件“其中至少有一个的测度是有限数”才能保证结论成立，并弄清楚此条件在 证明中所起的作用； 熟练掌握下面的常用测度等式或不等式（以下集合都是 Rn中的可测集） （1）设 E1， E2， 设Ei, E2， (2)设 Ei, E2， ，Em为互不相交的可测集，则 m m m Ei mEi （有限可加性）； i 1 i 1 ，Em为可测集（注意没有互不相交的要求），则 m m Ei i 1 i ，Ek，L m mEi （次有限可加性）。 1 为互不相交的可测集，则 设Ei, E2， mk1Ek ,Ek , L mEk （可数可加性）； k 1 为可测集列（注意没有互不相交的要求），则 mk1

6、Ek mEk （次可数可加性）。 k 1 （3）差集测度的关系（注意思考：条件“ mE 设 E和 G 都是可测集，且 E G，贝U mG m（G E） mE ; 当 mE 时，m（G E） mG mE。 设 E 和 G 都是可测集，则 mG m（G E） mE ； 当 mE 时，m（G E） mG mE。 ”的作用） m kim Ek m k1Ek kim mEk ; 设 Ek为单调递减的可测集列，且存在 Ek0，使得 mEk0 ，则 m lim Ek 一般可测集列测度的极限性 设 Ek为可测集列，则 m Ek lim mEk 。 k 1 k mlim Ek lim m( Ek) k k i

7、k OmmEk (关于测度的 Fatou 定理【入不敷出】); k 若存在 ko，使得m Ei i ko mlim Ek lim m( Ek) lim mEk; k k i k k 若lim Ek E存在，且存在 ko，使得mE, ，则lim mEk存在，且 lim mEk mE。 【可测集的直积的可测性及测度的计算公式 】设 A RP为可测集，B Rq为 可测集，则 A B 为 RP+q上的可测集，且 m(A B) = mA mB。 (6) 自测题： 1 1、证明下面的差集测度或外侧度的关系(注意思考：条件“ 作用) mE ”的 设 E,G Rn (1 1；若E和G都是可测集，且E G,则

8、mG m(G E) mE ; 当 mE 时，m(G E) mG mE。 (2) 若E和G都是可测集，则 mG m(G E) mE ; 当 mE 时，m(G E) mG mE。 (3) 若E和G不是可测集，则 厂、 * * * m G m (G E) m E ； 当 m*E 时，m*(G E) m*G m* E。 2 2、利用 1 1 和可测集的性质证明： 单调可测集列测度的极限性 (注意思考成立的条件) 设 Ek为单调递增的可测集列，则 (4) (1)设E,G Rn都是可测集，则 m G E m G E mG + mE ; 【注意：m G E G E G E】 (2) 利用(1 1)和等侧包定

9、理证明：设 E,G Rn (不必为可测集)，则 m* G E m* G E m*G + m*E o 3 3、 试利用差集的测度关系以及区间的测度再证明： (1) 设 P 0,1 R1 为三分 Cantor Cantor 集，则 mP 0 ; 2n 1 【注意：三分 Can torCan tor 集的构造P 0,1 U(Ulin)，其中(i 1,2,L ,2n 1 )为 n 1 i 1 CantorCantor 集的构造过程中第 n n 步去掉的长度均为 丄的开区间】 3 (2) 对于任意给定正数 0 a 1,不改变 Can torCan tor 集的构造思想，只是将在 Can torCan t

10、or集的构造过程中每一步去掉的开区间分别换为长度分别为 ,L ,1,L的开区间(比如第 n n 步换为去掉2n1个长度都为 的 3 3 3 3 3 互不相交的开区间)，并记这样得到的集为 P。(称为类 CantorCantor 集或一般 Can tor Can tor 集，它是闭集也是完全集还是疏朗集)，证明： 4 4、 证明一般可测集列测度的极限性： 设Ek为可测集列，则 m lim Ek lim m( Ek) lim mEk (关于测度的 FatouFatou 定理【入不敷 k k i k k 若存在ko，使得m Ei ，则 i ko mlim Ek lim m( Ek) lim mEk;

11、 k k i k k E存在，且存在 ko，使得mEk, ，则lim mEk存在，且 k lim mEk mE o 若 m k 1 三、可测集的结构的知识要点： Rn中的几种常见的具体的可测集：零测集，任何区间，开集，闭集， F型集, G型集，Borel 集。 熟练掌握并熟记下面的几种关系(可测集的结构):mP0 a o 若lim Ek ，则kim Ek和呼Ek都是零测集。 Ek (1) 对任意 E Rn , E 与G型集的关系(等测包定理); (2) 可测集与开集的关系，可测集与 G型集的关系； (3) 可测集与闭集的关系，可测集与 F型集的关系。 自测题： 1 1、仔细体会等测包定理的证明

12、思想，解决下面的问题： (1) 如何将一个G型集表示成一列单调递减的开集的交集？ (2) 设E Rn,则存在一列单调递减的开集列 Gk ,使得，对每一个k 1 , * * 1 口 E Gk , m E mGk m E ，且 m lim Gk k k m I Gk k 1 (3) 设E Rn有界，则存在一列单调递减的有界开集列 一个 k 1 , Gk ,使得，对每 注: * * 1 E Gk , m E mGk m E ，且 m lim Gk k k (2(2)和(3 3)为等测包定理的更为细致的形式。 2 2、试利用等测包定理和单调递增可测集列测度的极限性质证明: m I Gk k 1 设Ek

13、 Rn ( k 1,2丄)为一列单调递增的集列，每个 Ek不必为可测集, Ek (1 1)存在一列单调递增的G型集Gk ( k 1,2,L ),使得，对每一个k 1 , I_. * Gk，且 m Ek mGk ； (2) lim m*Ek m* U Ek m* kim Ek (单调递增集列的外侧度的极限性 k k 1 k 质)。 3 3、试证明可测集与开集和闭集的下面的关系( 可测集与开集和闭集的更细 致的关系)：设E Rn是可测集，则 (1 1)对任意的 0，存在开集 m G G，使得E G，且 E ； (2) 存在一列单调递减的开集 1 E Gk，且 m Gk E -; k (3) 存存在

14、一列单调递增的闭集 1 E，且 m E Fk o k k 4 4、试利用可测集的结构和开集的结构证明“ 可测集的直积的可测性及测度 Gk ( k 1,2,L ),使得，对每一个 k 1 , Fk ( k 1,2,L ),使得，对每一个 k 1 , Fk 则称f在可测集E上的一个非负简单函数。 试利用 4 4 “可测集的直积的可测性及测度的计算公式 ”解决下面的问题：设 f是按定义 2 2 定义的可测集E上的非负简单函数，Gp f,E的含义如定义 1 1,则 m (1) Gp f,E UEi 0,Ci)，其中 Ei 0,G)( i 1,2,L ,m)互不相交； i 1 (2) Gp f,E是R2

15、上的可测集； m (3) mGp f, E G mEi。 i 1 四、记住一个在构造反例时有用的结论：对任意 E Rn，只要m*E 0，则存在E1 E， 使得E1为不可测集(即 R 中一定存在不可测集)。 自测题： 据理说明： (1) 为什么 (2) 为什么 的计算公式”，即,设A Rp为可测集，B 测集，且 Rq为可测集，则A B为RP+q上的可 m(A B) = mA 5 5*、定义 1 1:设f :E 0,)，其中E mB o R1为可测集，记 2 y f(x) R， Gp f,E (x, y) x E,0 则称Gp f,E为非负实函数f在E上的下方图形(相当于数学分析中定义在a,b 上的一元非负函数所构成的曲边梯形)； 定义 m 2 2:设E R1为可测集，且E UEi，其中Ei( i 1,2,L ,m )都是R1中 的可测集, 且互不相交( m U Ei称为可