《数学活动》名师教案

1、第十四章 数学活动(袁梅)-x2 ( p q)x pq 型式子的因式分解一、教学目标(一)学习目标1 . 探究x2 ( p q)x pq 型式子的因式分解2 .学会简单的x2 ( p q)x pq 型式子的因式分解.3 .了解ax2 bx c型式子的因式分解.(二)学习重点学会x2 (p q)x pq 型式子的因式分解(三)学习难点x2 (p q)x pq 型式子的具体分解方法二、教学设计(一)课前设计1 .预习任务阅读教材第 121 页 .2 .预习自测把下列多项式分解因式：(1) x2 7x 10 ；( 2) x2 2x 8 ；( 3) x2 7x 12 ；( 4) x2 7x 18 .【

2、知识点】x2 (p q)x pq 型式子的因式分解【思路点拨】x2 (p q)x pq 型式子的因式分解关键是正确将常数分成两个数的积， 且还需满足这两个数的和恰为一次项的系数.【解题过程】(1)中常数10=2X5,且一次项系数7=2+5,可分解为x2 7x 10 (x 2)(x 5);(2)中常数-8=-4>2,且一次项系数-2=- 4+2,可分解为x2 2x 8 (x 4)(x 2); (3)中 常数 12=-3X (-4),且一次项系数-7=-3+ (-4),可分解为 x2 7x 12 (x 3)(x 4); (4) 中常数18=-2X9,且一次项系数7=-2+9,可分解为x2 7

3、x 18 (x 2)(x 9);【答案】(1) (x 2)(x 5)； (2) (x 4)(x 2)； (3) (x 3)(x 4)； (4) (x 2)( x 9).(二)课堂设计1 .知识回顾 计算：(1) (x 3)(x 2)=. (2) (x 3)(x 2)=.(3) (x 3)(x 2)=.(4)(x3)(x 2)=.学生独立解决后集体订正：(1) x2 5x 6 ;(2)x2x 6; (3)x2x6;(4)x2 5x6问题1:我们知道因式分解与整式的乘法是互逆变形的关系，将以上 4个等式等号左右两边互 换位置，就可以得到多项式的因式分解结果.究竟怎样分解这种类型的多项式呢？【设计意

4、图】复习(x p)(x q)型的整式乘法，唤醒已学知识，进一步体会二次三项式x2 (p q)x pq中常数项和一次项系数的由来，为本节课的探究埋下伏笔2.问题探究探究一 发现x2 (p q)x pq型式子的因式分解舌动提出问题问题2:在整式的乘法中，我们曾发现(x p)(x q) x2 (p q)x pq ,类似平方差公式和完 全平方公式，你能得到因式分解的又一种方法吗？不难发现：将等号两边互换位置可得：x2 (p q)x pq (x p)(x q),利用此公式我们也可 以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.【设计意图】学生通过学习平方差公式和完全平方公式因式分解，已获得探究因式分解方法

5、的经验，只需类比上述探究过程，根据因式分解与整式乘法的互逆变形关系，较容易得到x2 (p q)x pq型式子的因式分解.舌动 剖析x2 (p q)x pq型式子的因式分解的具体方法对于二次项系数为1的二次三项式，若常数项能分成两个数的积，而且这两个数的和恰等于一 次项的系数，那么它就可以分解因式，即 x2 (p q)x pq (x p)(x q).我们可以用 十字相 乘”来表示：注意：十字相乘”的含义是：左边相乘为二次项，右边相乘为常数项，交叉相乘后的和为一次项.分解时应写为(x p)(x q)例如：分解因式x2 6x 8 ,用十字相乘可以这样表示：左边相乘为x2 ,右边2(4) 8 ,交叉相

6、乘后的和为 4x ( 2x) 6x，因式分解为2-x 6x 8 (x 2)(x 4).【设计意图】把x2 (p q)x pq型式子的因式分解的具体方法用图示的方法表示，更能直观体现思维过程，便于学生理解掌握.探究二 因式分解x2 (p q)x pq型式子舌动尝试分解因式：问题 3:分解因式：(1) x2 6x 8 ; (2) x2 2x 8; (3) x2 2x 8; (4) x2 6x 8 学生独立完成后集体订正.答案：(x 2)(x 4) ; (2) (x 4)(x 2) ； (3) (x 4)( x 2) ； (4) (x 2)( x 4)【设计意图】尝试运用方法分解4个常数绝对值相同，

7、一次项系数不同的相近题，让学生体会 如何根据常数和一次项系数来分成两个数的积，再分解因式的方法，为归纳总结规律作铺垫 . 舌动归纳总结问题4:通过以上因式分解，你能说说如何把 x2 (p q)x pq型式子因式分解吗？学生思考后，分小组交流讨论.总结：对于x2 (p q)x pq型式子的因式分解，有以下 4种情况：若pq>0, p+q>0,则 p>0, q>0;若 pq>0, p+q<0,贝U p<0, q<0;若 pq<0, p+q>0,贝U p, q 异号，且绝对值 大的为正数；若pq<0, p+q<0,则p, q异号

8、，且绝对值大的为负数.【设计意图】将分解因式过程中获得的经验用符号语言总结，有利于学生真正理解 x2 (p q)x pq型式子的因式分解，培养学生归纳总结能力，增强学生符号意识.舌动巩固训练分解因式：(1) x2 11x 28 ; (2) x2 12x 28; (3) x2 8x 20 ; (4) x2 12x 35 【知识点】x2 (p q)x pq型式子的因式分解.【思路点拨】x2 (p q)x pq型式子的因式分解的关键是：常数项分成两个数的积，并且这 两个数的和恰好等于一次项的系数.【解题过程】(1)中常数28=4X7,且一次项系数11=4+7,可分解为x2 11x 28 (x 4)(

9、x 7);(2)中常数-28=-14 X2,且一次项系数-12=-14+2 ,可分解为 x2 12x 28 (x 14)(x 2) ; (3) 中常数-20=-2 X 10,且一次项系数8=-2+10,可分解为x2 8x 20 (x 2)(x 10); (4)中常 数 35=-5X (-7),且一次项系数-12=-5+ (-7),可分解为 x2 12x 35 (x 5)(x 7);【答 案】(1) (x 4)(x 7)； (2) (x 14)(x 2)； (3) (x 2)(x 10)； (4) (x 5)(x 7).探究三 拓展延伸：ax2 bx c型式子的因式分解.问题5:你能把2x2 7

10、x 3分解困式吗？类比x2 (p q)x pq型式子的因式分解，我们也可以用 十字相乘”的方法分解二次项系数不 是1的二次三项式：x -3X2x -1.分解时应写为注：左边相乘为二次项，右边相乘为常数项，交叉相乘后的和为一次项 (x 3)(2x 1).反思：ax2 bx c 型式子的因式分解要领是：首末两项分解，交叉相乘，求和凑中间 .【设计意图】本环节供学有余力的学生继续学习，为后阶段学习作铺垫.例 1 把下列各式分解因式：22(1) 1) 6x2 11x 3 ；( 2) 5x2 8x 4【知识点】ax2 bx c 型式子的因式分解【思路点拨】ax2 bx c 型式子的因式分解要领是：首末两

11、项分解，交叉相乘，求和凑中间【解题过程】( 1) 6x2 11x 3 (2x 3)(3x 1) ；( 2) 5x2 8x 4 (x 2)(5x 2).【答案】( 1) (2x 3)(3x 1) ；( 2) (x 2)(5x 2) ；练习：分解因式( 1) 5x2 7x 6 ；( 2) 3x2 7x 2【知识点】ax2 bx c 型式子的因式分解【思路点拨】ax2 bx c 型式子的因式分解要领是：首末两项分解，交叉相乘，求和凑中间【解题过程】( 1) 5x2 7x 6 (x 2)(5x 3) ；( 2) 3x2 7x 2 (x 2)(3x 1).【答案】( 1) (x 2)(5x 3) ；(

12、2) (x 2)(3x 1) ；例 2 分解因式：( 1) 6y2 11y 10 ；( 2)5x3 7x2 6x ；(3) x4 3x2 4【知识点】ax2 bx c 型式子的因式分解【思路点拨】( 1)需先提 “-号，(”2)需先提公因式再分解.( 3)注意分解彻底.【解题过程】( 1) 6y2 11y 10(6y2 11y 10)(2y 5)(3y 2);(2) 5x3 7x2 6x x(5x2 7x 6) x(x 2)(5x 3)(3) x43x24 (x2 4)(x2 1) (x 2)(x2)(x21)【答案】( 1)(2y 5)(3y 2) ；( 2) x(x2)(5x3)；( 3)

13、 (x 2)(x 2)(x21)练习：分解因式( 1) 12 2x2 5x ；(2)6x3 14x2 12x ；(3) a4 a2 2【知识点】ax2 bx c 型式子的因式分解【思路点拨】( 1)需先提 “-号再分解，(”2)需先提公因式再分解.(3)注意分解彻底.【解题过程】( 1) 12 2x2 5x (2x2 5x 12) (x 4)(2x 3);(2) 6x314x212x 2x(3x2 7x6) 2x(x3)(3x2)(3) a4 a2 2 (a2 2)(a2 1) (a2 2)(a 1)(a 1)【答案】( 1)(x 4)(2 x 3) ；(2) 2x(x3)(3x2)；( 3)

14、(a22)(a 1)(a 1)例 3 分解因式2x2 3xy 9y2 14x 3y 20【知识点】 ax2 bx c 型式子的因式分解【思路点拨】此多项式的项数较多，观察前三项，可以用ax2 bx c 型式子因式分解为(2x 3y)(x 3y) ，可设原式=(2x 3y a)(x 3y b) ，此式子展开后为2x223xy 9y(a 2b)x (3a 3b)y ab ，通过比较两个式子的同类项可得二元一次方程组a 2b3a 3b143,再解方程组即可【解题过程】解：多项式的前三项可分解为(2x 3y)(x 3y) ，设原式 =(2x 3y a)(x 3y b) ，a 2b 14a 4观察两个式

15、子的同类项可得二元一次方程组a 2b 14 ，解得 a 43a 3b3b 5所以 2x2 3xy 9y2 14x 3y 20 (2x 3y 4)(x 3y 5)练习：因式分解( 1) 3x2 7xy 2y2 16x 2y 12 ；(2) 4x2 3xy y2 22x 3y 10 .【知识点】ax2 bx c 型式子的因式分解【思路点拨】(1)中前三项，可以用ax2bx c型式子因式分解为(x 2y)(3xy),可设原式=(x 2y a)(3x y b),此式子展开后为 3x2 7xy 2y(3a b)x ( a 2b)y ab,通过比 较两个式子的同类项可得二元一次方程组3a b 16 ，再解

16、方程组即可.( 2)中前三项， 可a 2b 2以用ax2 bx c型式子因式分解为(4x y)(x y)，可设原式二(4x y a)(x y b),此式子展开后为4x2 3xy y2 (a 4b)x ( a b)y ab ， 通过比较两个式子的同类项可得二元一次方程a 4b22组 a 4b22 ，再解方程组即可ab 33a b 16a 2b 2a 4b 22ab 3【解题过程】解：(1)多项式的前三项可分解为(x 2y)(3x y) ，设原式=(x 2y a)(3x y b) ，观察两个式子的同类项可得二元一次方程组解得a 6 ，所以 3x2 7xy 2y2 16x 2y 12 (3x y 2

17、)(x 2y 6) .b2(2)多项式的前三项可分解为(4x y)(x y) ， 设原式 =(4x y a)(x y b) ，观察两个式子的同类项可得二元一次方程组a2解得 ，所以4x2 3xy y2 22x 3y 10 (4x y 2)(x y 5) .b53. 课堂总结知识梳理( 1) x2 (p q)x pq 型式子的因式分解为 (x p)(x q) .( 2) 对于x2 ( p q)x pq 型式子的因式分解， 有以下 4 种情况： 若 pq>0 ， p+q>0 ， 则 p>0，q>0； 若 pq>0 ， p+q<0， 则 p<0， q<

18、0 ； 若 pq<0 ， p+q>0 ， 则绝对值大的为正数； 若 pq<0，p+q<0 ，则绝对值大的为负数.3) ax2 bx c 型式子的因式分解要领是：首末两项分解，交叉相乘，求和凑中间 .重难点归纳( 1) x2 (p q)x pq 型式子的因式分解简单， 对后续学习有很大帮助， 但它并不适合每一道题，运用时需注意.(2)对x2( p q)x pq 型式子的因式分解时，一般先从常数入手，分解成两个数的积，再验证这两个数的和是否等于一次项的系数，学习时可多尝试再验证，多练习就能熟能生巧(三)课后作业基础型 自主突破1 .下列计算结果为x2 3x 10 是( )A

19、 (x 2)(x 5)B (x 1)(x 10)C (x 5)(x 2)D (x 5)(x 2)x2 3x 10 因式分解找结【知识点】整式的乘法 【思路点拨】利用多项式乘以多项式的法则逐一判断，也可以直接将 果.【解题过程】: x2 3x 10 (x 5)(x 2),故选C.【答案】 C2 .若多项式x2 mx 4 可以分解为 (x 1)(x 4) ，则 m 的值为(A 4B -5C 5 D 3【知识点】因式分解【思路点拨】将(x 1)(x 4)计算出结果，即可求出 m 的值 .【解题过程】(x 1)(x 4)【答案】 B3. 下列因式分解正确的是(A x2 2x 1 (x 1)2C x2

20、x 2 (x 2)(x 1)【知识点】因式分解x2 5x 4 ,m=-5 ,故选 B)B x2 4 (x 2)2D 2x2 2 2(x2 1)【思路点拨】观察多项式的特点，选择合适的方法进行因式分解，逐一验证A 不能因式分解， B 不能因式分解， D 未分解彻底，正确的是2(x 1)(x 1) ，故选 C.【答案】 C4 .分解因式a2 2a 8 的结果是( )A (a 4)(a 2)B (a 1)(a 8) C (a 2)(a 4)D (a 2)(a 4)x2 (p q)x pq 型式子的因式分解【思路点拨】常数-8=-4 X2,且一次项系数-2=-4+2 ,利用x2 (p q)x pq型式

21、子因式分解.a2 2a 8 (a 4)(a 2) . 故选 DD5 .若多项式x2 3x m 可因式分解为(x 2)(x 5)则m =.【知识点】因式分解【思路点拨】将(x 2)(x 5)计算出结果，即可求出m的值.【解题过程】V (x 2)(x 5) x2 3x 10, a m=-10【答案】-106 .把下列各式进行因式分解：(1) a2 4a 5;(2) x2 3x 18; (3) x2 10x 24;(4)x2 2x 3.【知识点】x2 (p q)x pq型式子的因式分解【思路点拨】将多项式的常数分成两个数的积，且满足这两个数的和恰好等于一次项系数，利用x2 (p q)x pq型式子因

22、式分解即可.【解题过程】(1)中常数-5=-5 XI,且一次项系数-4=-5+1，可分解为a2 4a 5 (a 5)(a 1);(2)中常数-18=-3X6,且一次项系数3=-3+6,可分解为x2 3x 18 (x 3)(x 6);(3)中常数 24=-4X (-6),且一次项系数-10=-4+ (-6),可分解为 x2 10x 24 (x 4)(x 6);(4)需先提负号，得 (x2 2x 3),则常数-3=-3 XI,且一次项系数-2=-3+1 ,可分解为 2(x2 2x 3) (x 3)(x 1);【答案】(1) (a 5)(a 1)； (2) (x 3)(x 6)； (3) (x 4)

23、(x 6)； (4)(x 3)(x 1)能力型师生共研7 .观察下图，各块图形的面积之和为a2 3ab 2b2 ,则多项式a2 3ab 2b2分解因式为.【知识点】x2 (p q)x pq型式子的因式分解【数学思想】数形结合【思路点拨】观察图形用a、b的式子表示面积即可求得.【解题过程】根据长方形的面积计算公式可得该图形面积为(a b b)(a b)，:a2 3ab 2b2 (a 2b)(a b).【答案】(a 2b)(a b)8 .分解因式2x2 5x 2.【知识点】ax2 bx c型式子的因式分解【思路点拨】分解2x2 5x 2要领是：首末两项分解，交叉相乘，求和凑中间.【解题过程】解：如

24、下图，.二2x2 5x 2 (2x 1)(x 2)x-2X2x-1【答案】(2x 1)(x 2).探究型多维突破9 .多项式x2 mx 5可分解为两个一次式的积，则整数 m的值为.【知识点】x2 (p q)x pq型式子的因式分解【数学思想】分类讨论【思路点拨】此题需分类讨论，常数5分成两个整数的积，有以下两种种情况：1X5;-1X (-5),则m的值对应有两个结果.【解题过程】解：当 5=1X5 时，m=1+5=6;当 5=-1 X (-5)时，m=-1+ (-5) = -6;m= ±6.【答案】610 .已知已知 ABC三边a、b、c满足等式a2 8b b2 10a 41 0 ,

25、求 ABC最大边c的取值范围.【知识点】完全平方公式分解因式，非负性的应用，三角形的三边关系【思路点拨】已知三角形的三边满足 a2 8b b2 10a 41 0 ,可将等式左边变形进行因式分解，再利用任何数的平方具有非负性，求出 a、b的值，再根据三角形的三边关系求解.【解题过程】解：: a2 8b b2 10a 410,(a210a 25)(b28b 16) 0,(a 5)2 (b 4)2 0,又(a 5)2 0,(b4)2 0 , . a5 0 , b 40 , . a 5 , b4 .5 4<c<5+4,即 1<c<9,又c为最大边，. 5<c<9.【

26、答案】5<c<9自助餐11 把多项式x2 3x10 分解因式正确的是()A (x 2)(x 5)B (x 1)(x 10)C (x 5)(x 2)D (x 5)(x 2)【知识点】x2 (pq)xpq 型式子的因式分解【思路点拨】常数-10=-2X5,且一次项系数3=-2+5,利用x2 (p q)x pq型式子因式分解.【解题过程】 x2 3x 10 (x 5)(x 2) . 故选 D【答案】 D12 下列因式分解正确的是()A a2 3a 4 (a 4)(a 1)B a2 4a 4 (a 2)2Ca2a 2(a1)(a2)D x24x 32 (x 4)(x 8)【知识点】 x2(pq)xpq型式子的因式分解【思路点拨】将常数分成两个数的积，且满足这两个数的和恰好等于一次项系数，按x2 (p q)x pq 型式子因式分解,逐一验证 .【解题过程】 A 项错误，正确答案为 (a 4)(a 1) ； B 项错误，正确答案为 (a 2)2 ； C 项错误，正确答案为(a 1)(a 2) ； D 正确 .【答案】 D13 若多项式x2 mx 4 可以分解为 (x n)(x 4) ，则 m、 n 的值分别为( )A -5， -1B 5， 1 C -5， 1 D 5， - 1【知识点】因式分解【思路点拨】将多项式(x n)(x 4)展开得x2 (4