第二章 流体力学控制方程-2010.

1、计算流体动力学计算流体动力学Computational fluid mechanicsComputational fluid mechanics机械与动力工程学院机械与动力工程学院凌祥凌祥2第二章第二章 流体力学的控制方程流体力学的控制方程l实际流体中应力与变形速度l流动模型l物质导数与速度散度l连续方程（ Continuity Equation）l动量方程（ Momentum Equation）l能量方程（ Energy Equation）l边界条件34实际流体中应力与变形速度56789流动模型有限控制体有限控制体（Finite Control Volume)无穷小流体微团无穷小流体微团 (

2、Infinitesimal Fluid Element)101、 有限控制体模型有限控制体模型 空间位置固定的有限控制体，流体流过控制体空间位置固定的有限控制体，流体流过控制体 随流体流动的有限控制体，同一批流体质点始终位随流体流动的有限控制体，同一批流体质点始终位于同一控制体内于同一控制体内流动模型112、无穷小流体微团模型、无穷小流体微团模型 空间位置固定的无穷小微团，流体流过微团空间位置固定的无穷小微团，流体流过微团 沿流线流动的无穷小微团，其速度等于流线上每一沿流线流动的无穷小微团，其速度等于流线上每一点的当地速度点的当地速度流动模型12物质导数与速度散度1 物质导数（物质导数（Sub

3、stantial Derivative）（运）（运动流体微团的时间变化率）动流体微团的时间变化率）, , , , , , , , ,uvwuu x y z tvv x y z tww x y z tx y z tVijk流体微团在流场中的流动流体微团在流场中的流动13物质导数与速度散度1 物质导数（物质导数（Substantial Derivative）（运动流体）（运动流体微团的时间变化率）微团的时间变化率）1111122222Point 1Point 2,xyz txyzt14物质导数与速度散度1 物质导数（物质导数（Substantial Derivative）（运动流体微）（运动流体微

4、团的时间变化率）团的时间变化率）21212121111211(High-order terms)xxyyzzxyzttt15物质导数与速度散度1 物质导数（物质导数（Substantial Derivative）（运动流体微）（运动流体微团的时间变化率）团的时间变化率）21212112121211211121(High-order terms)xxyyttxttyttzzzttt16212121limttDttDt物质导数与速度散度1 物质导数（物质导数（Substantial Derivative）（运动流体微）（运动流体微团的时间变化率）团的时间变化率） 代表流体微团密度在代表流体微团密度

5、在固定点固定点1的时间变化的时间变化率率DDtt 代表流体微团通过代表流体微团通过1点时，流体微团密度点时，流体微团密度的瞬时时间变化率的瞬时时间变化率 物理含义与数值均不同物理含义与数值均不同17212121212121212121limlimlimttttttxxuttyyvttzzwtt物质导数与速度散度1 物质导数（物质导数（Substantial Derivative）DuvwDttxyz笛卡尔坐标下笛卡尔坐标下DuvwDttxyz物质导数物质导数18物质导数与速度散度1、物质导数（、物质导数（Substantial Derivative） xyzijk()DDtt V（1）以向量的

6、型式表示物质导数，对任意坐标系都成立）以向量的型式表示物质导数，对任意坐标系都成立（2）物质的导数可以用于任何流场变量，比如）物质的导数可以用于任何流场变量，比如 、 等等。等等。D pD tD TD t19物质导数与速度散度1、物质导数（、物质导数（Substantial Derivative）()DDtt V 当地导数它在物理上是固定点处的时间变化率当地导数它在物理上是固定点处的时间变化率 迁移导数它在物理上表示由于流体微团从流场中的一点迁移导数它在物理上表示由于流体微团从流场中的一点运动到另一点，流场的空间不均匀性引起的时间变化率运动到另一点，流场的空间不均匀性引起的时间变化率当地导数当

7、地导数/Local Derivative迁移导数迁移导数/Convective Derivative20物质导数与速度散度1、物质导数（运动流体微团的时间变化率）、物质导数（运动流体微团的时间变化率）物质导数物质导数物理含义：流体微团经过流场中某一点时，微团温度的时物理含义：流体微团经过流场中某一点时，微团温度的时间变化率，一部分是该点处流场温度本身随时间的涨落；间变化率，一部分是该点处流场温度本身随时间的涨落；另一部分则是由于流体微团正在流向流场中温度不同的另另一部分则是由于流体微团正在流向流场中温度不同的另一点（迁移导数）一点（迁移导数）()DTTTDttTTTTuvwtxyz V21物质

8、导数与速度散度1、物质导数（、物质导数（Substantial Derivative）示例：人走过山洞示例：人走过山洞物质导数本质与全微分相同物质导数本质与全微分相同, , ,x y z tddxdydzdtxyztddxdydzdttx dty dtz dtuvwtxyz222、速度散度、速度散度-Divergence of the velocity物质导数与速度散度 uvwxyzV23cccVtdStdVnVS2、速度散度、速度散度-Divergence of the velocity物质导数与速度散度0cdSccStdVS242、速度散度、速度散度-Divergence of the v

9、elocity物质导数与速度散度1ccccScSDVtdDttdVSVScccVDVdVDtV矢量分析中的散度定理矢量分析中的散度定理252、速度散度、速度散度-Divergence of the velocity物质导数与速度散度cccVDVdVDtVAssume that is small enoughcVccDVVDt V 1D()DccVVtV26物质导数与速度散度2、速度散度、速度散度-Divergence of the velocity 1D()DccVVtV物理含义：每单位体积物理含义：每单位体积运动着的流体微团，体运动着的流体微团，体积相对的时间变化率积相对的时间变化率27连续

10、性方程（ Continuity Equation）空间位置固定的有限控制体模型空间位置固定的有限控制体模型随流体流动的有限控制体模型随流体流动的有限控制体模型空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷小微团模型随流体流动的无穷小微团模型随流体流动的无穷小微团模型四种方程的转化四种方程的转化28连续性方程（ Continuity Equation）1、空间位置固定的有限控制体模型、空间位置固定的有限控制体模型通过控制面通过控制面Sc流出控流出控制体的净质量流量制体的净质量流量控制体内质量减少的控制体内质量减少的时间变化率时间变化率0ccccVSdVdtVSBC29连续性方程（ Continu

11、ity Equation）1、空间位置固定的有限控制体模型、空间位置固定的有限控制体模型cnV dSdVSccSBdVSccVmdV30连续性方程（ Continuity Equation）1、空间位置固定的有限控制体模型、空间位置固定的有限控制体模型ccVdVCtccccSVddVt VS0ccccVSdVdtVS31连续性方程（ Continuity Equation）2、随流体运动的有限控制体模型、随流体运动的有限控制体模型考虑控制体随流体运动时质量考虑控制体随流体运动时质量m是一个常是一个常数。其物质导数等于数。其物质导数等于0。c0VDdVDtCccVmdV32连续性方程（ Cont

12、inuity Equation）3 空间位置固空间位置固定的无穷小定的无穷小微团模型微团模型33连续性方程（ Continuity Equation）3、空间位置固定的无穷小微团模型、空间位置固定的无穷小微团模型X方向净流出量方向净流出量()()()uuudx dydzu dydzdxdydzxx34连续性方程（ Continuity Equation）3、空间位置固定的无穷小微团模型、空间位置固定的无穷小微团模型Y方向净流出量方向净流出量()()()vvvdx dydzv dydzdxdydzyy35连续性方程（ Continuity Equation）3、空间位置固定的无穷小微团模型、空间

13、位置固定的无穷小微团模型Z方向净流出量方向净流出量()()()wwwdx dydzw dydzdxdydzzz36连续性方程（ Continuity Equation）3、空间位置固定的无穷小微团模型、空间位置固定的无穷小微团模型净质量流量净质量流量=uvwdxdydzxyz()()()+而微团内质量增加的时间变化率为而微团内质量增加的时间变化率为()dxdydzt两者相等两者相等0 Vt37连续性方程（ Continuity Equation）4、随流体运动的无穷小微团模型、随流体运动的无穷小微团模型cmV与随流体运动的流体微团，它的质量变化对与随流体运动的流体微团，它的质量变化对时间的变化

14、率为时间的变化率为00DmDt38连续性方程（ Continuity Equation）4、随流体运动的无穷小微团模型、随流体运动的无穷小微团模型0cccDVDVDVDtDtDt10ccDVDDtVDt0 DD tV39连续性方程（ Continuity Equation）四种方程的转化四种方程的转化空间位空间位置固定置固定的流动的流动模型导模型导出的方出的方程定义程定义为守恒为守恒型方程型方程40连续性方程（ Continuity Equation）积分方程积分方程偏微分方程偏微分方程0ccccVSdVdtVSccccSVddVVSV0ccccVVdVdVtV0ccVdVtV0Vt 41守恒

15、形式守恒形式非守恒形式非守恒形式连续性方程（ Continuity Equation）VVV0Vtt VV0DD t V42积分方程的变换积分方程的变换连续性方程（ Continuity Equation）c0VdVt CVVcc()0VVDD dVdVDtDtCC导数展开导数展开cccc1()0VVDD dVdVdVDtdVDtCC速度散度速度散度 VcVdVtCVcc0VVDdVdVDt CCV物质导数定义：物质导数定义：cc(0VVdVdVt CCV)c0VDdVDtCccc0VSdVdStCV43连续性方程（ Continuity Equation）四种方程的转化四种方程的转化结论：四

16、种方程是同一个方程（连续结论：四种方程是同一个方程（连续性方程）的四种不同的形式，区别在性方程）的四种不同的形式，区别在于每个方程中的各项都有略微不同的于每个方程中的各项都有略微不同的物理含义。物理含义。44动量方程（Momentum Equation）动量方程推导的基本物理学原理：动量方程推导的基本物理学原理：Fma本节采用本节采用进行推导，其它进行推导，其它3种种方式也可以导出不同形式的动量方程，但太繁方式也可以导出不同形式的动量方程，但太繁琐琐45动量方程（Momentum Equation）46动量方程（Momentum Equation）作用于流体微团上的力的总和作用于流体微团上的力

17、的总和微团质量微团质量微团运动时的加速度微团运动时的加速度仅考虑仅考虑x方向的分量方向的分量xxFmax方向受到的力方向受到的力体积力体积力表面力表面力()xfdxdydz表面压力表面压力切应力、正应力切应力、正应力47动量方程（Momentum Equation）推出推出x方向总表面力方向总表面力xxxxxxyxyxyxzxzxzxpppdxdydzxdxdydzxdydxdzydzdxdyz48x方向总力：方向总力：()yxxxzxxxpFdxdydzf dxdydzxxyz 动量方程（Momentum Equation）49动量方程（Momentum Equation）方程右边：方程右边

18、：mdxdydzxDuaDt综合得到：综合得到：yxxxzxxDupfDtxxyz 同样，同样，y、z方向的方程：方向的方程：xyyyzyyDvpfDtyxyz yzxzzzzDwpfDtzxyz 50动量方程（Momentum Equation）为了更好的了解动量方程的物理含义，将牛顿第为了更好的了解动量方程的物理含义，将牛顿第2定律定律表示如下：表示如下：可更好的理解方程中各项的物理含义。可更好的理解方程中各项的物理含义。51动量方程（Momentum Equation）运用牛顿流体的假设，可以从以上得到的动量方程形运用牛顿流体的假设，可以从以上得到的动量方程形式导出著名的式导出著名的Na

19、vier-Stokes方程（仅写出方程（仅写出x方向）方向）2()()()()2()()xuuuvuwtxyzpVxtxvuuwfyxyzzx 52动量方程（Momentum Equation）Navier-Stokes方程（方程（x方向）方向）yxxxzxxDupfDtxxyz 以上动量方程左边写成：以上动量方程左边写成：DuuuDtt V()()()DuuuuDttt VV()uuuttt() -()u =uu VVV由：由：连续性方程的左边，等于连续性方程的左边，等于0NEXT53动量方程（Momentum Equation）Navier-Stokes方程（方程（x方向）方向）()()D

20、uuuDtt V()()yxxxzxxupuftxxyz V此方程就是此方程就是Navier-Stokes方程的守恒型式。（方程的守恒型式。（x方向）方向）17世纪末牛顿指出，流体的切应力与应变的时间变化率，也世纪末牛顿指出，流体的切应力与应变的时间变化率，也就是速度梯度，是成正比的。这样的流体称为就是速度梯度，是成正比的。这样的流体称为。对。对与这样的流体，斯托克斯与这样的流体，斯托克斯1845年得到年得到：NEXT54动量方程（Momentum Equation）Navier-Stokes方程（方程（x方向）方向）()2xxux V()2yyvy V()2zzwz V()xyyxvuxy(

21、)xzzxuwzx()yzzywvyz其中其中 是分子粘性系数，是分子粘性系数，是第二粘性系数，斯托克是第二粘性系数，斯托克斯提出假设斯提出假设23 得到完整的得到完整的Navier-Stokes方程的守恒型方程的守恒型式。（式。（x方向）方向）NEXT55动量方程（Momentum Equation）2()()()()2()()xuuuvuwtxyzpVxtxvuuwfyxyzzx 此方程就是完整的此方程就是完整的Navier-Stokes方程的守恒型式。（方程的守恒型式。（x方方向）向）56能量方程（Energy Equation）流体微团内能量的变化率流体微团内能量的变化率=流入微团的净

22、热流量流入微团的净热流量+体积力和体积力和表面力对微团做功的功率表面力对微团做功的功率ABC能量守恒能量守恒57能量方程（Energy Equation）计算计算C:作用在运动物体上的力，对物作用在运动物体上的力，对物体所做的体所做的功率功率等于该力乘以速等于该力乘以速度在该力作用方向上的分量度在该力作用方向上的分量C F V体积力体积力表面力表面力58能量方程（Energy Equation）1、作用在面、作用在面adhe和和bcgf上的压力做功上的压力做功功率为功率为考虑考虑x方向：方向：表面力做功功率：表面力做功功率：()()()upupupdxdydzxupdxdydzx 59能量方程

23、（Energy Equation）考虑考虑x方向：方向：表面力做功功率：表面力做功功率：2、作用在面、作用在面adcd和和efgh上的上的q切应力做功切应力做功功率为功率为()()()yxyxyxyxuuudyudxdzdxdydzyy()()()yxxxzxuuudxdydzxyzx方向所有切应力做功功率为方向所有切应力做功功率为60能量方程（Energy Equation）考虑考虑x方向：方向：表面力做功功率：表面力做功功率：那么上图中所有表面力对那么上图中所有表面力对流体微团做功的功率为：流体微团做功的功率为：()()()()xyxxxzuupuxxyudxdydzz3、体积力做功功率为

24、、体积力做功功率为:()dxdydzfV61能量方程（Energy Equation）总结总结x方向：方向：体积力体积力()dxdydzfV表面力表面力压力压力粘性力粘性力()updxdydzx()()()yxxxzxuuudxdydzxyzx方向方向做功功率为上述做功功率为上述2者之和。者之和。()()()()xyxxxzuupuudxdydzxxyz62能量方程（Energy Equation）C F V三个方向汇总：三个方向汇总：()()()()()()()()()()()()()yxxxzxxyyyzyyzxzzzuupvpwpuuCxyzxyzvvvxyzwwwdxdydzxyzfd

25、xdydz V63能量方程（Energy Equation）计算进入微团的总热量计算进入微团的总热量BVolumeric heating of element qdxdydz xxxxqqqqdxdydzdxdydzxx微团的体积加热微团的体积加热热传导对微团的加热，热传导对微团的加热，x方向上：面方向上：面adhe和和bcgf64能量方程（Energy Equation）Heating of fluid element by thernal conduction=yxzqqqdxdydzxyz再考虑再考虑y和和z方向上的热输运方向上的热输运yxzqqqBqdxdydzxyz65xyzTqkx

26、TqkyTqkz 傅立叶热传导定律傅立叶热传导定律傅立叶（傅立叶（Fourier,Jean Baptiste Joseph,1768-1830）也译作傅里叶，也译作傅里叶，法国法国数学家、物数学家、物理学家。理学家。66能量方程（Energy Equation）()()()qTkxxBdxdydzTkyyTkzz67能量方程（Energy Equation）研究研究A：微团能量变化率：微团能量变化率运动流体既有动能又有内运动流体既有动能又有内能，两者之和就是总能量能，两者之和就是总能量1）分子随机运动产生的）分子随机运动产生的（单位质量）内能（单位质量）内能 e2）流体微团平动时具有）流体微团

27、平动时具有动能。单位质量的动能动能。单位质量的动能22DVAedxdydzDt22V68能量方程（Energy Equation）2V2yxxxxyyyzyzxxzyzzzDTTTeqkkkDtxxyyzzuupvpwpuxyzxyvvvuwzxyzxwwyzf V能量方程的最终形式：能量方程的最终形式：69能量方程（Energy Equation）能量方程的另一种形式（非守恒）：能量方程的另一种形式（非守恒）：yxxxzxxyyyzyxzyzzzDeTTTqkkkDtxxyyzzuvwpuuxyzxyuvvvwzxyzxwwyz70能量方程（Energy Equation）由上节动量方程推导

28、时斯托克斯得到的式子带入方程：由上节动量方程推导时斯托克斯得到的式子带入方程：2222222222DeTTTuvwqkkkpDtxxyyzzxyzuvwxyzuvwxyzuvuwvwyzzxzy得到完全用流场变量表示的能量方程。得到完全用流场变量表示的能量方程。71能量方程（非守恒能量方程（非守恒守恒推导守恒推导）：）：能量方程（Energy Equation）DeeeDttV()eeettt()()eetVe=eVV把这两个式子带入把这两个式子带入第一个式子得到：第一个式子得到：()()()DeeeeDttt VV0()()DeeeDtt V72能量方程（非守恒能量方程（非守恒守恒推导守恒推导）：）：能量方程（Energy Equation）得到守恒形式：得到守恒形式：