第4章假设检验

1、西南科技大学网络教育课程4- 4- 1 1第第4 4章章 假设检验假设检验4.1 基本概念基本概念4.1.14.1.1引言引言 关于总体特征的随机变量的概率分布的一个陈述称为关于总体特征的随机变量的概率分布的一个陈述称为统计假设，如果这个陈述只涉及到总体的参数则称为参数统计假设，如果这个陈述只涉及到总体的参数则称为参数假设。否则称为非参数假设假设。否则称为非参数假设,验证统计假设的方法叫做统计验证统计假设的方法叫做统计假设检验。假设检验。 其意义：是利用适当的统计量对总体的分布或参数做其意义：是利用适当的统计量对总体的分布或参数做出种种零假设出种种零假设 H0 ，然后根据观测信息来对，然后根据

2、观测信息来对H0 进行检验，进行检验，从而判断从而判断 H0 是否成立。是否成立。 其任务：其任务：（1）对不同的问题确定相应的方法，通过选）对不同的问题确定相应的方法，通过选择适当统计量来判断择适当统计量来判断 H0 是否成立。若成立接受它，若不成是否成立。若成立接受它，若不成立拒绝它。立拒绝它。 （2）评价检验方法好坏的标准。）评价检验方法好坏的标准。 西南科技大学网络教育课程4- 4- 2 2其基本思想：其基本思想： 1）实际推断原理）实际推断原理 2）统计假设检验主要是起否定作用，其逻辑推理表）统计假设检验主要是起否定作用，其逻辑推理表现为现为否定之否定（即反证法）否定之否定（即反证法

3、） 统计推断的另一类重要问题是根据样本的信息来判断统计推断的另一类重要问题是根据样本的信息来判断总体分布是否具有指定的特征。如已知样本来自正态总体，总体分布是否具有指定的特征。如已知样本来自正态总体，要问它的均值是否为要问它的均值是否为0 。 例例1. 1. 某车间用一台包装机包装葡萄糖某车间用一台包装机包装葡萄糖, , 包得的袋装包得的袋装糖重是一个随机变量糖重是一个随机变量, , 它服从正态分布。当机器正常时它服从正态分布。当机器正常时, ,其其均值为均值为0.50.5公斤公斤, , 标准差为标准差为0.0150.015公斤。某日开工后为检验公斤。某日开工后为检验包装机是否正常包装机是否正

4、常, , 随机地抽取它所包装的糖随机地抽取它所包装的糖9 9袋袋, , 称得净重称得净重为为( (公斤公斤) )： 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512 0.511 0.520 0.515 0.512 问机器是否正常问机器是否正常? ?西南科技大学网络教育课程4- 4- 3 3，即即有有为为，犯犯这这类类错错误误的的概概率率记记断断错错误误即即判判绝绝是是对对的的，我我们们也也可可能能拒拒可可知知即即使使假假设设，反反之之接接受受时时拒拒绝绝假假设设，当当要要找找一

5、一个个常常数数的的偏偏差差又又不不能能太太大大。即即与与动动，但但定定的的波波来来进进行行判判断断，允允许许有有一一自自然然想想到到可可用用 )(HH.HHk|X|kXX0000*0*0。那那么么成成立立如如果果假假设设和和为为此此可可提提出出假假设设现现在在的的问问题题是是要要检检验验由由假假设设可可知知为为解解设设该该天天的的袋袋装装糖糖重重)015. 0 , 5 . 0(NX,H,:H, 5 . 0:H?5 . 0).015. 0 ,(NX,X2001002 )015. 0,(2 NX)015. 0,5. 0(2NX西南科技大学网络教育课程4- 4- 4 4等等。或或一一般般取取或或为为

6、真真拒拒绝绝01. 005. 0,knXP.|k|X|PH|HP00*0000 时时，则则很很小小时时，比比如如取取，当当其其中中，于于是是由由假假设设知知对对于于本本题题可可用用统统计计量量：05. 010.z9015. 05 . 0XP)1 , 0(NZ,9015. 05 . 0XZ2/ UU2 u西南科技大学网络教育课程4- 4- 5 5的的工工作作不不正正常常。不不成成立立，即即这这天天包包装装机机因因而而有有理理由由认认为为原原假假设设中中是是很很难难发发生生的的小小概概率率事事件件在在一一次次试试验验原原理理根根据据实实际际推推断断居居然然发发生生了了率率事事件件这这说说明明小小概

7、概，计计算算得得到到。对对于于所所给给的的样样本本值值查查表表可可知知是是一一个个小小概概率率事事件件5 . 0,:,z9015. 05 . 0X,96. 1z2 . 29015. 05 . 0 x511. 0 x,96. 1z,z9015. 05 . 0X2/2/025.02/ 025. 0u2 u2 u2 u西南科技大学网络教育课程4- 4- 6 6 注注: : 假设检验所采用的方法类似一种反证法假设检验所采用的方法类似一种反证法: : 先假设结论成立先假设结论成立, , 然后在这个结论成立的条件下进行推导然后在这个结论成立的条件下进行推导 和运算和运算, , 如果得到矛盾如果得到矛盾,

8、, 则推翻原来的假设。则推翻原来的假设。 这里的矛盾是与实际推断原理的矛盾这里的矛盾是与实际推断原理的矛盾, ,即如果即如果“小概率小概率事件在一次试验中发生了事件在一次试验中发生了”, , 则认为出现了与实际情况不符则认为出现了与实际情况不符的矛盾，故原假设不成立的矛盾，故原假设不成立, ,因此因此, ,假设检验是一种带有概率性假设检验是一种带有概率性质的反证法。质的反证法。 基本概念与术语基本概念与术语:1. 称给定的称给定的 (0 2 22 2. .西南科技大学网络教育课程4- 4- 4646 例例11. 某校某年级分别抽取男生和女生个某校某年级分别抽取男生和女生个14名，进名，进行英语

9、测验成绩如下：行英语测验成绩如下：969492906995939694929280919098991009280919095929690768091女女生生男男生生.:,:05. 0),(),(2221122210222211 HHNYNX的的显显著著性性水水平平检检验验试试以以，和和分分布布：测测验验成成绩绩分分别别服服从从正正态态假假定定男男生生和和女女生生的的英英语语西南科技大学网络教育课程4- 4- 4747等等。，即即认认为为两两总总体体方方差差相相故故接接受受，即即有有而而或或，可可知知拒拒绝绝域域为为：由由附附表表，此此处处解解02221025. 02221025. 012221

10、21,11. 332. 002. 1.11. 3)114, 114(F32. 0)114, 114(F605. 014:HFSSFSSSSnn 西南科技大学网络教育课程4- 4- 48484.7 秩检验秩检验4.7.1 非参数检验与秩统计量非参数检验与秩统计量 在统计的理论中，基于中心及限定理，把正态分布摆在统计的理论中，基于中心及限定理，把正态分布摆在重要的位置是正确的。然而往往不知道中心极限定理是在重要的位置是正确的。然而往往不知道中心极限定理是否适用于基本分布，也不知道对正态分布的近似是否足够否适用于基本分布，也不知道对正态分布的近似是否足够好，使得正态理论的置信区间和假设检验象我们要求

11、的那好，使得正态理论的置信区间和假设检验象我们要求的那样精确。但在许多情况下试验工作者并不知道基本分布的样精确。但在许多情况下试验工作者并不知道基本分布的形式，他需要一种与分布形式武官的统计方法，这种方法形式，他需要一种与分布形式武官的统计方法，这种方法称为非参数方法。非参数统计是统计统计学中的一个重要称为非参数方法。非参数统计是统计统计学中的一个重要且有特点的领域。非参数检验中较有代表性的有：且有特点的领域。非参数检验中较有代表性的有： （1 1）一组独立样本是否是同分布的；）一组独立样本是否是同分布的； （2 2）两个变量是否独立；）两个变量是否独立； （3 3）两组样本是否取于同一总体）

12、两组样本是否取于同一总体 非参数检验广泛使用秩统计量。非参数检验广泛使用秩统计量。西南科技大学网络教育课程4- 4- 4949的的例例如如一一组组容容量量为为秩秩次次统统计计量量。就就是是秩秩统统计计量量。又又称称为为在在样样本本中中的的秩秩。为为则则称称若若顺顺序序统统计计量量顺顺序序排排成成根根据据观观察察值值将将样样本本6),(,2,1.,12111niiniinnnnnnRRniXjRXXxxxxxXX 341625666564636261865432:xxxxxxxxxxxx顺序统计量为顺序统计量为426835654321xxxxxx样本观察值为：样本观察值为：。排排在在则则秩秩统统

13、计计量量为为：641654321.3,1,5,6,2,4xxrrrrrr 如果两个观察值相等，则秩样本中存在一个如果两个观察值相等，则秩样本中存在一个“结结”，此，此时将按原序小的排在前面。但对连续总体分布不存在时将按原序小的排在前面。但对连续总体分布不存在“结结”。 基于秩统计量的检验方法就称为秩检验。基于秩统计量的检验方法就称为秩检验。西南科技大学网络教育课程4- 4- 50504.7.2 4.7.2 随机性检验随机性检验xFxFxFHFFFHFFXXnnnnn .,)()(:,:.,21121011备备择择假假设设置置信信假假设设我我们们可可设设相相应应分分布布为为立立的的，依依时时间间

14、顺顺序序排排列列是是独独天天的的水水样样，假假定定样样本本为为汞汞的的含含量量，取取了了水水中中天天取取一一个个水水样样来来测测定定河河例例如如我我们们从从一一条条河河内内每每的的统统计计量量。逆逆序序总总数数来来作作为为基基检检验验可可能能性性较较小小，因因此此考考虑虑下下存存在在逆逆序序的的显显然然在在，存存在在一一个个“逆逆序序”，若若之之间间与与我我们们称称为为检检验验此此假假设设，对对给给定定1,1HYXYXniiiii 2)1(0,2)1(101 nnQhQhnnnjiXXhjiijijjiij而而逆逆序序总总数数为为个个共共有有对对所所有有其其他他当当定定义义西南科技大学网络教育

15、课程4- 4- 5151。，接接受受绝绝小小于于某某个个临临界界值值时时就就拒拒当当的的分分布布偏偏向向小小端端。成成立立时时，当当备备择择假假设设上上是是对对称称的的。到到的的分分布布在在成成立立时时当当零零假假设设10102)1(1HHQQHnnQH ；的个数的个数的所有排列中的所有排列中记记；的个数的个数的所有排列中的所有排列中记记，中逆序总数中逆序总数为为记记中逆序总数，中逆序总数，为为成立时，记成立时，记在在qQXXqMqQXXqMXXQXXQHnnnnnnnnnn 111111110,#)(,#)(, 1,min, )()(,!)()(*01* nqrrqmqmnqmqQPrrnn

16、nn有有)1,0()52)(1(4)1(212NnnnnnQnn 时，时，有当有当西南科技大学网络教育课程4- 4- 5252102)1(0.4,5.74235,554321 nnQQnxxxxxn到到的取值范围为的取值范围为这里这里、若取若取1491520222015941)(1098765432105qmq来。来。再根据对称性计算出再根据对称性计算出个逆序数的排列的个数个逆序数的排列的个数元全排列中有元全排列中有表示表示)(4312342142313)1(9135)0()1()2()2(25)2(5444455qmmmmmmm 西南科技大学网络教育课程4- 4- 5353 408. 012

17、049!520159414 QP可可推推出出较小时，效果不太好。较小时，效果不太好。但但渐进分布虽然简便，渐进分布虽然简便，比精确概率要小不少，比精确概率要小不少，）（查标准正态表：查标准正态表：代入代入若用渐近分布，将若用渐近分布，将nnnnnnQQn312. 049. 049. 030054212)52( )1(4)1(2124 西南科技大学网络教育课程4- 4- 54544.7.3 独立性检验独立性检验0),(),( , ),(),(11 相互独立的充要条件是相互独立的充要条件是与与为二维正态总体变量，为二维正态总体变量，为一组简单样本。假定为一组简单样本。假定为一个二维总体，为一个二维

18、总体，设设YXYXYXYXYXnn “正相关”“正相关”双边假设双边假设左单边假设“正相关”左单边假设“正相关”右单边假设“正相关”右单边假设“正相关”此时检验假设有：此时检验假设有：0:0:0:0:1110 HHHH 的样本的秩；的样本的秩；为为的样本的秩；的样本的秩；为为为秩统计量；为秩统计量；在非参数模型下，记：在非参数模型下，记：YniYRXniXRniYRXRiiii,1)(,1)(,1)(, )( 西南科技大学网络教育课程4- 4- 555512)1()()(1112121)(121)(1)()(2122121 nYRXRnnnXRnnXRnYRXRniiirniiniiii 此此时时相相关关系系数数）（相相同同的的方方差差样样本本均均值值有有相相同同的的与与可可得得排排列列中中由由小小到到大大排排列列，使使其其中中一一个个样样本本在在初初始始样样本本，独独立立同同分分布布，可可以以重重排排与与由由于于YX西南科技大学网络教育课程4- 4- 5656 111212121)(!1),1),(24211 nrrnnnfnnnnnRRYX的的极极限限分分布布有有密密度度时时，较较大大时时有有当当的的分分布布。不不难难算算出出对对较较小小的的任任一一排排列列的的概概率率