2005-2009年硕士研究生入学考试数学三试题及答案解析

1、2005年硕士研究生入学考试数学三试题及答案解析一、 填空题此题共6小题，每题4分，总分值24分. 把答案填在题中横线上1极限= 2 .【分析】 此题属基此题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可.【详解】 =2 微分方程满足初始条件的特解为 .【分析】 直接积分即可.【详解】 原方程可化为 ，积分得 ，代入初始条件得C=2，故所求特解为 xy=2.3设二元函数，那么 .【分析】 基此题型，直接套用相应的公式即可.【详解】 , ,于是 .4设行向量组，线性相关，且，那么a= .【分析】 四个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a.【详解】 由题设，有 , 得，但题设，故5从数

2、1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从中任取一个数，记为Y, 那么= .【分析】 此题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】 =+ + =6设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a随机事件与相互独立，那么a= 0.4 , b= 0.1 .【分析】 首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b的取值.【详解又事件与相互独立，于是有 ，即 a=二、选择题此题共8小题，每题4分，总分值32分. 每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，

3、把所选项前的字母填在题后的括号内7当a取以下哪个值时，函数恰好有两个不同的零点.(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. B 【分析】 先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极值为零时，函数f(x)恰好有两个不同的零点.【详解】 =，知可能极值点为x=1,x=2，且 ，可见当a=4时，函数f(x) 恰好有两个零点，故应选(B).8设,其中，那么(A) . B.(C) . (D) . A 【分析】 关键在于比拟、与在区域上的大小.【详解】 在区域上，有，从而有 由于cosx在 上为单调减函数，于是 因此 ，故应选(A).9设假设发散，收敛，那

4、么以下结论正确的选项是 (A) 收敛，发散 . B 收敛，发散.(C) 收敛. (D) 收敛. D 【分析】 可通过反例用排除法找到正确答案.【详解】 取，那么发散，收敛，但与均发散，排除(A),(B)选项，且发散，进一步排除(C), 故应选(D). 事实上，级数的局部和数列极限存在.【评注】 通过反例用排除法找答案是求解类似无穷级数选择问题的最常用方法.10设,以下命题中正确的选项是(A) f(0)是极大值，是极小值. B f(0)是极小值，是极大值.C f(0)是极大值，也是极大值. (D) f(0)是极小值，也是极小值. B 【分析】 先求出，再用取极值的充分条件判断即可.【详解】 ，显

5、然 ，又 ，且，故f(0)是极小值，是极大值，应选(B).11以下四个命题中，正确的选项是(A) 假设在0，1内连续，那么f(x)在0，1内有界. B假设在0，1内连续，那么f(x)在0，1内有界. C假设在0，1内有界，那么f(x)在0，1内有界. (D) 假设在0，1内有界，那么在0，1内有界. C 【分析】 通过反例用排除法找到正确答案即可.【详解】 设f(x)=, 那么f(x)及均在0，1内连续，但f(x)在0，1内无界，排除(A)、(B); 又在0，1内有界，但在0，1内无界，排除(D). 故应选(C). 12设矩阵A= 满足，其中是A的伴随矩阵，为A的转置矩阵. 假设为三个相等的正

6、数，那么为(A) . (B) 3. (C) . (D) . A 【分析】 题设与A的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式：.【详解】 由及，有，其中为的代数余子式，且或 而，于是，且 故正确选项为(A).13设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，那么，线性无关的充分必要条件是(A) . (B) . (C) . (D) . D 【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解】 方法一：令 ，那么 ， .由于线性无关，于是有 当时，显然有，此时，线性无关；反过来，假设，线性无关，那么必然有(,否那么，与=线性相关)，故应选(B).方法二： 由于

7、 ，可见，线性无关的充要条件是故应选(D).14 设一批零件的长度服从正态分布，其中均未知. 现从中随机抽取16个零件，测得样本均值，样本标准差，那么(A) (B) (C)(D) C 【分析】 总体方差未知，求期望的区间估计，用统计量：【详解】 由正态总体抽样分布的性质知， 故，即故应选(C).三 、解答题此题共9小题，总分值94分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.15此题总分值8分求 【分析】 型未定式，一般先通分，再用罗必塔法那么.【详解】 = = =16此题总分值8分设f(u)具有二阶连续导数，且，求 【分析】 先求出二阶偏导数，再代入相应表达式即可.【详解】 由条件可得 ， ，

8、 ，所以 =17此题总分值9分 计算二重积分，其中.【分析】 被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.【详解】 记，于是 =+=18此题总分值9分求幂级数在区间(-1,1)内的和函数S(x).【分析】幂级数求和函数一般采用逐项求导或逐项积分，转化为几何级数或函数的幂级数展开式，从而到达求和的目的.【详解】 设 ， ，那么 ，由于 =， ,因此 ，又由于 ，故 所以 19此题总分值8分设f(x),g(x)在0，1上的导数连续，且f(0)=0,.证明：对任何a,有 【分析】 可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分部积分讨论. 【详解】 方

9、法一：设，那么F(x)在0，1上的导数连续，并且，由于时，因此，即F(x)在0，1上单调递减.注意到 ，而 =，故F(1)=0.因此时，由此可得对任何，有 方法二： =， = 由于时，因此 ， ，从而 20此题总分值13分齐次线性方程组 i 和ii 同解，求a,b, c的值.【分析】 方程组ii显然有无穷多解，于是方程组i也有无穷多解，从而可确定a，这样先求出i的通解，再代入方程组ii确定b,c即可.【详解】 方程组ii的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组ii有无穷多解.因为方程组i与ii同解，所以方程组i的系数矩阵的秩小于3.对方程组i的系数矩阵施以初等行变换 ，从而a=2. 此时，方程

10、组i的系数矩阵可化为 ，故是方程组i的一个根底解系.将代入方程组ii可得 或当时，对方程组ii的系数矩阵施以初等行变换，有 ，显然此时方程组i与ii同解.当时，对方程组ii的系数矩阵施以初等行变换，有 ，显然此时方程组i与ii的解不相同. 综上所述，当a=2,b=1,c=2时，方程组i与ii同解.21此题总分值13分设为正定矩阵，其中A,B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为矩阵.(I) 计算，其中；II利用(I)的结果判断矩阵是否为正定矩阵，并证明你的结论.【分析】 第一局部直接利用分块矩阵的乘法即可；第二局部是讨论抽象矩阵的正定性，一般用定义.【详解】 (I) 因 ，有 = = =.II矩阵是正

11、定矩阵.由(I)的结果可知，矩阵D合同于矩阵又D为正定矩阵，可知矩阵M为正定矩阵.因矩阵M为对称矩阵，故为对称矩阵. 对及任意的，有 故为正定矩阵.22此题总分值13分设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 求：I (X,Y)的边缘概率密度； II 的概率密度 ( III ) 【分析】 求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度; 直接用条件概率公式计算即可.【详解】 I 关于X的边缘概率密度= =关于Y的边缘概率密度= = II 令，1） 当时，；2） 当时， =; 3) 当时，即分布函数为： 故所求的概率密

12、度为：III 23此题总分值13分设为来自总体N(0,)的简单随机样本，为样本均值，记求：I 的方差； II与的协方差 III假设是的无偏估计量，求常数c. 【分析】 先将表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求与的协方差，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性质；估计，利用其数学期望等于确定c即可.【详解】 由题设，知相互独立，且，I = =II = = = = =III = =，故 2006年硕士研究生入学考试数学三试题及答案解析一、 填空题：16小题，每题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.1 【分析】将其对数恒等化求解. 【详解】， 而数列有界

13、，所以. 故 .2设函数在的某邻域内可导,且，那么 【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知，两边对求导得 ， 两边再对求导得 ，又，故 .3设函数可微,且,那么在点(1,2)处的全微分 【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一：因为， ， 所以 . 方法二：对微分得 ，故 .4设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，那么 2 .【分析】 将矩阵方程改写为的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有 于是有 ，而，所以.5设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布，那么 .【分析】 利用的独立性及分布计算.【详解】 由题设知，具有相同的概

14、率密度.那么.6设总体的概率密度为为总体的简单随机样本，其样本方差为，那么 【分析】利用样本方差的性质即可. 【详解】因为 ， 所以 ，又因是的无偏估计量，所以 . 二、选择题：714小题，每题4分，共32分. 每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.7设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，假设，那么(A) . (B) .(C) . (D) . 【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】 由知，函数单调增加，曲线凹向，作函数的图形如右图所示，显然当时，故应选(). 8设函数在处连续，且，那么(A) 存在

15、 (B) 存在(C) 存在 (D) 存在 C 【分析】从入手计算，利用导数的左右导数定义判定的存在性. 【详解】由知，.又因为在处连续，那么 . 令，那么. 所以存在，故此题选C.9假设级数收敛，那么级数(A) 收敛 . B收敛.(C) 收敛. (D) 收敛. 【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定.【详解】 由收敛知收敛，所以级数收敛，故应选().或利用排除法：取，那么可排除选项，；取，那么可排除选项.故项正确.10设非齐次线性微分方程有两个不同的解为任意常数，那么该方程的通解是. . . 【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.【详解】由于是对应齐次线性微分方程的非零解，所以

16、它的通解是，故原方程的通解为，故应选().11设均为可微函数，且，是在约束条件下的一个极值点，以下选项正确的选项是(A) 假设，那么. (B) 假设，那么. (C) 假设，那么. (D) 假设，那么. 【分析】 利用拉格朗日函数在是对应的参数的值取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数，并记对应的参数的值为，那么 ， 即 .消去，得 ,整理得.因为，假设，那么.应选.12设均为维列向量，为矩阵，以下选项正确的选项是(A) 假设线性相关，那么线性相关. (B) 假设线性相关，那么线性无关. (C) 假设线性无关，那么线性相关. (D) 假设线性无关，那么线性无关. A 【分析】 此题考查

17、向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】 记，那么.所以，假设向量组线性相关，那么，从而，向量组也线性相关，故应选().13设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，那么.【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得，而，那么有.故应选.14设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且那么必有(A) (B) (C) (D) A 【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】 由题设可得，那么，即.其中是标准正态分布的分布函数.又是单调不减函数，那么，即.应选(A).三 、解答题：1523小题，共94分

18、. 解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.15此题总分值7分设,求() ；() . 【分析】第()问求极限时注意将作为常量求解，此问中含型未定式极限；第()问需利用第()问的结果，含未定式极限. 【详解】() . () 通分 16此题总分值7分 计算二重积分，其中是由直线所围成的平面区域. 【分析】画出积分域，将二重积分化为累次积分即可. 【详解的一次函数，“先后积分较容易，所以 .17此题总分值10分 证明：当时，. 【分析】 利用“参数变易法构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.【详解】 令，那么 ，且.又 ，故当时，单调减少，即，那么单调增加，于是，即.18此题总分值8分在坐标平面上，

19、连续曲线过点，其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于常数.() 求的方程；() 当与直线所围成平面图形的面积为时，确定的值. 【分析】()利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；()利用定积分计算平面图形的面积，确定参数. 【详解】() 设曲线的方程为，那么由题设可得 ，这是一阶线性微分方程，其中，代入通解公式得 ，又，所以. 故曲线的方程为 . () 与直线所围成平面图形如右图所示. 所以 ， 故.19此题总分值10分求幂级数的收敛域及和函数. 【分析】因为幂级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结合函数的幂级数展开式计算和函数. 【详解】记，那么. 所以当时，所给

20、幂级数收敛；当时，所给幂级数发散；当时，所给幂级数为，均收敛，故所给幂级数的收敛域为在内，而 ，所以 ，又，于是 .同理 ，又 ，所以 .故 . 由于所给幂级数在处都收敛，且在 处都连续，所以在成立，即 ，.20此题总分值13分设4维向量组 ，问为何值时线性相关?当线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. 【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同，所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数；用初等变换求极大线性无关组. 【详解】记以为列向量的矩阵为，那么 . 于是当时，线性相关. 当时，显然是一个极大线性无关组，且； 当时， ， 由于此时有三阶非零

21、行列式，所以为极大线性无关组，且.21此题总分值13分设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解.()求的特征值与特征向量；()求正交矩阵和对角矩阵,使得；求及，其中为3阶单位矩阵.【分析】 由矩阵的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组有非零解可知必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵；由可得到和.【详解】 ()因为矩阵的各行元素之和均为3，所以，那么由特征值和特征向量的定义知，是矩阵的特征值，的全部特征向量为，其中为不为零的常数.又由题设知，即，而且线性无关，所以是矩阵的二重

22、特征值，是其对应的特征向量，对应的全部特征向量为，其中为不全为零的常数.()因为是实对称矩阵，所以与正交，所以只需将正交.取，.再将单位化，得，令，那么，由是实对称矩阵必可相似对角化，得. 由()知 ，所以 . ，那么.22此题总分值13分设随机变量的概率密度为，令为二维随机变量的分布函数.()求的概率密度；() ；().【分析】 求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算.【详解】 I 设的分布函数为，即，那么1) 当时，；2) 当时， .3) 当时，.4) 当，.所以.II ，而 ， ，所以 .() .23此题总分值13分设总体的概率密度为其中是未知参

23、数，为来自总体的简单随机样本，记为样本值中小于1的个数.求的矩估计；求的最大似然估计【分析】 利用矩估计法和最大似然估计法计算.【详解】因为，令 ，可得的矩估计为 . 记似然函数为，那么.两边取对数得，令，解得为的最大似然估计.2007年硕士研究生入学考试数学三试题及答案解析一、选择题此题共10分小题，每题4分，总分值40分，在每题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内（1） 当时，与等价的无穷小量是B. （2） 设函数在处连续，以下命题错误的选项是： (D).假设存在，那么 假设存在，那么.假设存在，那么存在 假设存在，那么存在（3） 在区间上的图形分别是直径

24、为1的上、下半圆周，在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设那么以下结论正确的选项是：C . （4） 设函数连续，那么二次积分等于B （5） 设某商品的需求函数为，其中，分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，那么商品的价格是D 10 20 30 40（6） 曲线渐近线的条数为D 0 1 2 37设向量组线性无关，那么以下向量组线相关的是 (A)A (B) (C) (D) 8设矩阵，那么A与BBA合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，那么此人第4次射击恰好第2次命中

25、目标的概率为 (C) (10) 设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示X, Y的概率密度，那么在条件下，的条件概率密度为 (A)A (B)(C) (D)二、填空题：11-16小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上11.12设函数，那么.13设是二元可微函数，那么.14微分方程满足的特解为.15设距阵那么的秩为1.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于的概率为. 三、解答题：1724小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.17此题总分值10分设函数由方程确定，试判断曲线在点1，1附近的凹凸性.【详

26、解】：18此题总分值11分 设二元函数 计算二重积分其中【详解】：积分区域D如图，不难发现D分别关于x轴和y轴对称，设是D在第一象限中的局部，即 利用被积函数无论关于x轴还是关于y轴对称，从而按二重积分的简化计算法那么可得设，其中于是 由于，故为计算上的二重积分，可引入极坐标满足.在极坐标系中的方程是的方程是， ，因而，故令作换元，那么，于是且，代入即得综合以上计算结果可知19此题总分值11分设函数，在上内二阶可导且存在相等的最大值，又，证明：存在使得；存在使得【详解】：证明：(1)设在内某点同时取得最大值，那么，此时的c就是所求点.假设两个函数取得最大值的点不同那么有设故有，由介值定理，在内

27、肯定存在(2)由(1)和罗尔定理在区间内分别存在一点0在区间内再用罗尔定理，即.20此题总分值10分将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间.【详解】：【详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组的解.即距阵方程组(3)有解的充要条件为.当时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的根底解系为此时的公共解为：当时，方程组(3)的系数距阵为此时方程组(3)的解为，即公共解为：22此题总分值11分设3阶实对称矩阵A的特征值是A的属于，其中E为3阶单位矩阵.验证是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；求矩阵B.【详解

28、】：可以很容易验证，于是 于是是矩阵B的特征向量. B的特征值可以由A的特征值以及B与A的关系得到，即 ， 所以B的全部特征值为2，1，1. 前面已经求得为B的属于2的特征值，而A为实对称矩阵， 于是根据B与A的关系可以知道B也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B的属于1的特征向量为，所以有方程如下： 于是求得B的属于1的特征向量为因而，矩阵B属于的特征向量是是，其中是不为零的任意常数.矩阵B属于的特征向量是是，其中是不为零的任意常数.由有令矩阵，那么，所以那么 23此题总分值11分设二维随机变量的概率密度为求；求的概率密度.【详解】：，其中D为中的那局部区域； 求此二重积分

29、可得 当时，； 当时，； 当时， 当时， 于是24此题总分值11分设总体的概率密度为.其中参数未知，是来自总体的简单随机样本，是样本均值.求参数的矩估计量；判断是否为的无偏估计量，并说明理由.【详解】：记，那么 ， 解出，因此参数的矩估计量为；只须验证是否为即可，而 ，而 ，于是 因此不是为的无偏估计量.2021年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案解析一、选择题：18小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.1函数的可去间断点的个数为 .1. 2 .3.无穷多个【答案】C 【解析】 那么当取任何整数时，均无意义故的间断点

30、有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是的解故可去间断点为3个，即2当时，与是等价无穷小，那么.， . ， .， .，【答案】 【解析】为等价无穷小，那么 故排除。另外存在，蕴含了故排除。所以此题选A。3使不等式成立的的范围是. .【答案】 【解析】原问题可转化为求成立时的取值范围，由，时，知当时，。故应选.4设函数在区间上的图形为：那么函数的图形为【答案】 【解析】此题为定积分的应用知识考核，由的图形可见，其图像与轴及轴、所围的图形的代数面积为所求函数，从而可得出几个方面的特征：时，且单调递减。时，单调递增。时，为常函数。时，为线性函数，单调递增。由于F(x)为连续函数结合这些特点，可

31、见正确选项为。5设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，假设，那么分块矩阵的伴随矩阵为. . .【答案】B【解析】根据，假设分块矩阵的行列式，即分块矩阵可逆故答案为B。6设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，假设，那么 为. . . .【答案】 A【解析】，即：7设事件与事件B互不相容，那么. . .【答案】 【解析】因为互不相容，所以，因为不一定等于1，所以不正确当不为0时，不成立，故排除只有当互为对立事件的时候才成立，故排除，故正确。8设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为，记为随机变量的分布函数，那么函数的间断点个数为.0. 1 .2. 3【答案】 B【解析】独立1假设，那么2当，那么为间断点，应选B二、填空题：9-14小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.9 .【答案】【解析】 10设，那么 【答案】【解析】方法一：由，故代入得，方法二：由于故.11幂级数的收敛半径为 【答案】【解析】由题意知，所以，该幂级数的收敛半径为12设某产品的需求函数为,其对应价格的弹性，那么当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元【答案】12000【解析】所求即为因为，所以所以将代入有。13设,，假设矩阵相似于，那么 【答案】2【解析】相似于，根据相似矩阵有相同的特征值，得到的特征值为3，