培优专题7线段和角含答案(供参考)

1、线段和角是最简单、最基本的几何图形，与它们有关的概念、性质以及它们的画法和 计算是研究平面几何的基础.要解决线段和角的计数、计算问题，首先应掌握好线段和角的一些特点及基本性质， 其次要注意总结规律，灵活运用.例1如图，数出各条线上线段的总条数.分析 要确定一条线段，就需要确定线段的两端点，做到不重不漏.在(1)中，先数以A为左端点的线段：AC AB, 2条；再数以C为端点的线段：CB 1条故(1) ?中共有3条线段.同样地，在图(2)中有线段 AC AD AB, 3条；CD CB, 2条；DB 1条.共计3+2+1=6 条.在(3)中有线段 AC AD AE、AB; CD CE CB; DE

2、DB EB.共计 4+3+2+ 仁10 条.从上面的分析可见，当线段上有n个点(包括两端点)时，它上面的线段总共有(n-1 ) + (n-2 ) + +2+1= n(n 1)(条).2练习11 .在直线L上顺将取点 A、B C、D、E、F、M N,则在A、？N?两点之间共有线段 条(包括线段AN .2. (1)数一数图中的图中共有 个角；图中共有 角；？图中共有 角.(2 )从(1 )中你找到一种数图中角的个数的规律吗？3如图，图中共有条线段.例 2 在图中，若线段 A1A2=a1, A2A3=a2, A3A4=a3, A4A5=a4, A5A6=a5，求出所有线 段长的和.分析？ ？要求出所

3、有线段长的总和，？可采用分类计数的方法，？分别以A1、A2、A3、A4、A5为左端点，按5类分别计算长度，如：L1=A1A2+A 1A3+A 1A4+A 1A5+A 1A6=a1+ (a1+a2) + (a1+a2+a3) + (a1+a2+a3+a4) + (a1+a2+a3+a4+a5) =5a1+4a2+3a3+2a4+a5.同理：L2=4a2+3a3+2a4+a5,L3=3a3+2a4+a5.L4=2a4+a5.L5=a5.故所有线段的长度总和为：L=L i+L 2+L3+L4+L 5=5ai+8a2+9a3+8a4+5a5.当本例从6个点推广到n个点时，所有这些线段长的总和为：L =

4、ai (n-1 ) x 1+a2 (n-2 ) x 2+a3 ( n-3) x 3+an-2 x 2 x( n-2 ) +an-i x 1 x( n-1 ).练习21. 如图1, B C、D依次是线段 AE上的点，已知 AE=8.9cm, ?BD=?3cm ?则图中从 A、B C、D、E这五个点为端点的所有线段的长度之和等于 .(1) (2)(3)2. (1)如图2, 3个机器人A、A、A排成一条线做流水作业，它们都要不断从一个固定的零件箱中拿零件，则零件箱放在()处最好(使得各机器人到零件箱的距离之和最小).A . A1 B . A2 C . A3 D . A1、A2之间或 A2、A3之间的

5、一点处(2) 如图3，若有4个机器人B1、B、B3、已，零件箱放在何处最好？3 .经过直线L外一点P作长度为5cm的线段，使其另一端点在L上，这样的线段可以作()条.A. 0 或 1B . 1 或 2 C . 0 或 2 D . 0 或 1 或 2例3 如图，已知C在线段AB上，且AC BC=2 3, D在线段AB的延长线上，BD=?ACE为AD的中点，若 AB=40cm 求CE的长.分析 由AC: BC=2 3及AB=40cm可先求出 AG BC的长度，再由 E为AD?中点，可 求出AE的长度，再由 CE=AE-AC求出CE解：设AC=2x, BC=3x,由题意得：2x+3x=40 ，解得

6、x=8. AC=1Q BC=24, BD=AC=16 AD=AB+BD=40+16=5.6 E为AD中点，1 AE=AD=28.2 CE=AE-AC=12(cm).练习31 .三点 A、B、C在同一直线上，若 BC=2AB且 AB=a贝U AC=.2 .如图，C D E将线段 AB分成四部分，且 AC CD DE EB=2: 3: 4: 5, MP、Q N分别是AG CD DE EB的中点，若 MN=21贝U PQ长为.3. ( 1)如图，已知/ AOB=90，/ BOC=30 , OM平分/ BOC 求/ MON勺度数；(2) 如果(1)中/ AOBa，其他条件不变，求/ MON勺度数；(3

7、) 如果(1 )中，/ BOC=3(3为锐角)，其它条件不变，求/MON勺度数.( 4)从( 1)、( 2)、( 3)的结果中你可得出什么结论？( 5 )线段勺计算与角勺计算存在着密切勺联系，它们之间可以互相借鉴解法，?请你模仿(1 )(4)设计一道以线段为背景的计算题，写出其中的规律并给出解答.例4如图，过点O任作7条直线.求证：以O为顶点的角中必有一个小于26°.分析 过点O的7条直线被点O分成14?条射线，？而相邻的两射线可组成 14个角， 而要证明以O为顶点的角中必有一个小于26°,只要考虑这14个角即可.证明：设相邻的射线组成的 14个角为a、a、a %贝 a1+

8、 a2+ a 14=360°.假设 a+a+ a14 都不小于 26 °, y：a 1+a+ a14364 °与 a1+a2+ +a14=360 °矛盾.故a、aa14中必有一个角小于 26°.练习 41. 9点 20 分时,时针与分针所成的角是多少度？2 .如图是一个3X 3的正方形，则图中/ 1 + Z 2+Z 3+ Z 9的度数是多少？3 如图，/ A1OA11 是一个平角，/ A3OA2- / A2OA1 = Z A4OA3- / A3OA2=Z A5OA4- / A4OA 3= =/ A11OA10- / A1oOA9=2°

9、,求/ A11OA10 的度数.例 5 从县城 P 出发的一条直线公路两旁共有 10 个村需要安装自来水( ?水从县城引 出),县城与 A 村的距离为 30 千米,其余各村之间的距离如图 7-14 所示, ?现有粗细不 同的两种水管可以选用,粗管是供给所有各村用水,细管只能供一个村用水.?安装费用:粗管每千米 8000 元,细管每千米 2000 元.把粗管和细管适当搭配、互相连接,可以降低 工程总费用.请你设计一种最节省的安装方案,并求出所需的总费用.分析 显然粗细管适当搭配较合适,由于粗管安装费用是细管安装费用的4 倍,故需要用 4 根细管的路段采用粗管或细管所花费用相同, 需要用多于 4?

10、根细管的路段采用粗管 较合算.由县城P-A B-C- D-E F宜采用粗管，F G用粗管或细管均可，G H G- M G N分别安装一根细管.总费用是：(30+5+2+4+2+3) X 8000+2X 8000+2X 2000+( 2+2) X 2000+(2+2+5) ?X 2000=?414000元)练习51 .如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连 线表示它们之间有网线相联，连线标注的数字表示该网 络单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A?向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递， ?由单位时间内传递的最大信息量为().A. 19 B . 20 C . 24 D . 26

11、2. 甲和乙两人同时从 A、B两地相向而行(如图 7-16 )，甲骑自行车，乙步行. ？出 发后30分钟甲与乙在Pi处相遇，然后甲、乙继续前进，甲到 B地后马上折回向 A骑行，？ 从Pi起30分钟后，甲又在 P2处追上乙，此后两人继续前进，甲从 A地在返回B地的路 上在P3?处与乙相遇.求证：Pi、P2、P3是AB的四等分点.3. (1)现有一个19°的“模板”(如图)，请你设计一种方法，？只用这个“模板” 和铅笔在纸上画出1°的角来？(2) 现有一个17°的“模板”，？能否只用这个“模板”和铅笔在纸上画出一个1° 的角来？(3) 用一个21°

12、的“模板”与铅笔，能否在纸上画出一个1°的角来？对于(2)、(3)两问，如果能，请你简述画法步骤；如果不能，请你说明理由. 答案： 练习18 (8 1)1. 28. =28.22. ( 1) 3: 6: 10;( 2) n(n 1).23 . 30 .如线段BE上有6条线段，故共有 6X 5=30条线段. 练习21.41.6cm .其长度总和=4AB+6BC+6CD+4DE=AB+DE +6( BC+CD=4( AE-BC) +6BD=4AE+2BD=4 X 8.9+2 X 3=41.6cm.2. ( 1) A处，故选B.(2)若选在 Bi、B2之间，设此点为 M,则其和为：B1B4

13、+B2B3+2B2M;若选在 B2、Bs之 间，设此点为M,则其和为BB+BBs;若选在Bs、B4之间，设此点为M,则其和为BB+B2B3+2B3M，故选在 Eb、R之间(包括(B2、Bs处)，其到机器人的距离和最短.3. 选D.若点P到L的距离d=5cm,则此点只有一个；若 d>5cm,不存在此点；若 d<5cm, 则这样的点有两个，故选 D.练习31. a或3a,若点 B C在点A的同侧，贝U AC=3a若点B、C在点A的异侧，则 AC=a.2172. 7.设 AC=2k,贝U CD=3K DE=4k, EB=5k,且 MNj k, PQk，由 MN=21 可知：k=2,22故

14、 PQ=7.1113. ( 1)Z MON=45，/ MON二 / AOC / BOC / AOB=45 .2221(2 )Z MON= a2(3 )Z MON=45(4) 分析(1 )、( 2)、( 3)的结果和解题过程可知：/MON的大小总等于/ AOB? 的一半，而与锐角/ BOC的大小无关.(5) 如图7-1 , B为线段AC上一点，AC=a M N分别为线段 AB BC的中点，求 MN1的长.本题的规律是：MNdAC,而与BC的长度变化无关.2练习411. 160° .时钟从表面12处顺时针转过(9- X 30°) =280°，分针从表面12处顺时针3转

15、过(20X 6°) =120°,故时针与分针形成的角为160°.2. 405° .由图知：/ 3=7 5= / 7=45°,/ 1 + / 9=90°,/ 2+ / 6=90°,/ 4+Z 8=90°, / 1 + / 2+/ 9=405°.3. 27° .将条件中的9个等式相加，得：/ A11OA10- / A2OA1=9X 2°, 即/ AnOA10= / A2OA 什18°,1又/ A10A11 = / A2OA1 + / A3OA2+/ AnOA10=(/ A2OA1

16、 + / A11OA10) X 10=180 ° ,2两个方程联立解得/ AnOA10=27 °练习51. 考察每条通道的最大信息量，？四条通道在单位时间可同时通过的最大信息量为3、4、6、6，则(3+4) + (6+6) =19，选 A.2. 乙从B到P1用了 30分钟，由P1到P2也用了 30分钟，故有BP1=P1P2，因为甲从P1到B然后再到P2用了 30分钟，共行了 3P1P2长的路程， 所以甲的速度是乙速度的 3倍.再由第三次相遇知 P2A+AP 3=3P2P3,I卩 P2P3+2AP3=3P2P3,则 P2P3=AP3,再由第一次相遇知： AP 1=3P1B，由此 2P2P3+P1P2=3P1B，故 P2P3=P1B ，由此 AP3=P2P3=P2P1=P1B故Pi、P2、P3=是线段AB的四等分点.3 本题关键是得到一个 1°的角，设“模板”的角度为a,假设可由m?