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1、3.2幂级数?(z - b )k= a+ a (z - b )+ a(z - b )2定义 : ? ak012k = 0+ . + a 3 (z - b ) + .3为以 b 为中心的幂函数= 0 ,1,2 ,. )和 b 是常数a k (k一、收敛性:有类似实幂级数的able定理?a(z - b )k 在 z定理 : 若 ?=1 .Ablez 收敛k0k = 0z - bz 0 - b 内绝对收敛则它在? r (r z- b )上一致收敛z - b在02.推论?(z - b )k 在 z =若 ? ak = 0则它在z 发散k1z - bz1 - b 内发散二、收敛圆和收敛半径?: 对于 ?

2、 a(z - b )k 存在一收敛圆z - b=1 .收敛圆Rkk = 0当 z - b R它发散= R它不定当 z - b当 z - b?a(z - b )k 的收敛半径?k = 0R 称为k收敛和发散区域不可能相间2.收敛半径公式a kR =lima k + 1k ? ?k = 0f k由达氏判别法，对于= l ? 1f kk ? ?a(z - b )k:?k = 0 对于k(z - b )k + 1? 1发散ak ? ?k ? ?kk?lim发散?ak ? ?k + 1= 1 = limak故 Rlak +1k ? ?1例：求 ? z 的收敛半径, 并证 ? z=1 - zkkk = 0

3、k = 0?a k 1时 ?显然 R = lim= 1故当kzz一致收敛a k +1k ? ?k = 0a (- q)a- a qnn1? ak k = 0=Q 等比数列1n1 - q11 - q1 - z n1z=nn当1又?k = 0?k = 0= lim= limkkzz1 - z1 - zn ? ?n ? ?注意:以上求半径公式对于幂级数缺项的情况不能简单套用?1?2 nz例：求的收敛半径2 2 nn = 0由达氏判别法122 (n +1)z 2 (n +1)2 n2= limz 2lim22 n + 21n ? ?n ? ?z 2 n22 n? 12? 故R=2?1a n2 2 n1

4、R =limlim4 就会错若简单的用a n +1n ? ?n ? ?2 2 (n + 1 )原因在于比值中出现的不再是z-b一次方而是二次方。P61.2(1):n ak1a= k=klimlimR(k + 1)n a1 ? nak ? ?k ? ?k + 1k + 1? 1 +?k三、性质总的来说：幂级数具有绝对收敛和一致收敛级数具有的一切性质，如：?(z - b )k 在?z - b R 内1 .和函数akk = 0?a k且 ? f (z )dz(z - b )k(z - b )k + 1= ?l=adzkk + 1k = 0k = 0?f (k ) (z ) = ? ak = 0k (z - b )k -1R积 = R= R微k2.可逐项相乘既然

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