信号与系统(第三版)西安电子科技大学出版社陈生潭第1-5章-第3章

1、3.1 3.1 信号的正交分解信号的正交分解3.2 3.2 周期信号的连续时间的傅立叶级数周期信号的连续时间的傅立叶级数3.3 3.3 周期信号的频谱周期信号的频谱3.4 3.4 非周期信号的连续时间傅立叶变换非周期信号的连续时间傅立叶变换3.5 3.5 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质3.6 3.6 周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换3.7 3.7 连续信号的抽样定理连续信号的抽样定理3.8 3.8 连续系统的频域分析连续系统的频域分析第三章第三章 连续信号与系统的频域分析连续信号与系统的频域分析3.13.1 信号的正交分解信号的正交分解090cos2121VVVV该式可为两矢量正交的

2、定义式。该式可为两矢量正交的定义式。另外一种理解另外一种理解 V V1 1与与V V2 2不正交，现在要求寻求一个与不正交，现在要求寻求一个与V V2 2 成比例的矢量成比例的矢量C C1212 V V2 2，使得当用使得当用C C1212V V2 2近近 似表示似表示V V1 1时，其误差矢量时，其误差矢量V Ve e 的模最小。的模最小。2121VcVVe 就是找一个最佳系数就是找一个最佳系数C C1212，使使V Ve e的模最的模最 小。如左上图所示，知小。如左上图所示，知V V1 1垂直于垂直于V V2 2时时，V Ve e的模才能最小。的模才能最小。这个问题的实质这个问题的实质3.

3、1.1 矢量的正交分析 1.1.正交矢量正交矢量 数学定义数学定义 两矢量正交，在几何意义两矢量正交，在几何意义上是指两矢量相互垂直（如右图所示）。上是指两矢量相互垂直（如右图所示）。两矢量相互垂直时的夹角为两矢量相互垂直时的夹角为9090度，即：度，即：所以最佳系数为所以最佳系数为此时此时，cos1212VVc222122212112coscosVVVVVVVVVVc00cos901221cVV，时，角的增加，直至随着 C C12 V V22121VcVVe 2.2.矢量分解矢量分解 在平面空间里，相互正交的矢量在平面空间里，相互正交的矢量V1V1和和V2V2构成一个正交矢量集，而且为构成一

4、个正交矢量集，而且为完备的正交矢量集。平面空间中的任完备的正交矢量集。平面空间中的任 1111111cos,cos11VVVVVVcVVc一矢量一矢量V V都可表示为都可表示为V V1 1和和V V2 2的线性组合的线性组合 （如上图）。即：（如上图）。即：V=CV=C1 1V V1 1+C+C2 2 V V2 2。式中。式中V V1 1、V V2 2为单位矢量，且为单位矢量，且V V1 1V V2 20 0。其中：。其中： 同样，对于一个同样，对于一个三维三维的空间矢量，要精的空间矢量，要精确地表示它，就必须用一个确地表示它，就必须用一个三维三维的正交的正交矢量集。如左图，矢量集。如左图，三

5、维三维矢量空间可精确矢量空间可精确地表示为：地表示为：V= =c1 1V1 1+ +c2 2V2 2+ +c3 3V3 32222222cos,cos22VVVVVVcVVc推广到推广到n n维空间，则有维空间，则有其中，其中，C Ci = V VV Vi/ /V Vi V Vi niiinnVcVcVcVcV122113.1.2 3.1.2 信号的正交分解信号的正交分解 1.1.正交信号（函数）正交信号（函数） * *定义定义: :设设 f 1 1( (t t) )和和 f 2 2( (t t) )为定义在（为定义在（t t1 1 , ,t t2 2 ) )区间上的两个函区间上的两个函数，现

6、在要用与数，现在要用与 f 2 2( (t t) )成比例的一个函数成比例的一个函数C C1212f 2 2( (t t) )近似地代表近似地代表 f 1 1( (t t) )，其误差信号为，其误差信号为)()()(2121tfctftfe平方误差定义为：平方误差定义为：dttfEttee221)(改变改变c c1212的大小，如果使的大小，如果使E Ee e 为最小时相应的为最小时相应的c c12120 0，称，称 f 1 1(t)(t)和和 f 2 2(t)(t)在区间在区间（t t1 1 ,t ,t2 2) )上正交。上正交。判定两信号正交的条件：判定两信号正交的条件：0)()(*212

7、1dttftftt 2 2 信号的正交分解信号的正交分解* *正交函数集：正交函数集：设一函数集设一函数集,)(),.,(),()(21tgtgtgtgN),(21ttt Njidttgtgjijikjttii3 , 2 , 1,)()(0*21若 当当K Ki=1 1时，称为时，称为归一化正交函数集归一化正交函数集。 * *信号的分解：信号的分解：用上述正交函数集近似地表示信号用上述正交函数集近似地表示信号f (t)，即：，即：),(g(t)21ttt 为正交函数集，则称)()(.)()()(12211tgctgctgctgctfiNiiNN这种近似所产生的平方误差为：这种近似所产生的平方误

8、差为：dttgctfEttNiiie2121)()(可以求出，欲使可以求出，欲使E Ee e达到最小，其第达到最小，其第r个函数的加权系数个函数的加权系数Cr为为21212*)()()(ttrttrrdttgdttgtfc此时的平方误差为下式所示：此时的平方误差为下式所示：dttgcdttfENittiitte2122121)()( 如果对于某一类如果对于某一类f(t),(t),所选择的正交函数集满足所选择的正交函数集满足Ee等于零，等于零，则称正交函数集对于则称正交函数集对于f(t)(t)这一类函数是完备的正交函数集。这一类函数是完备的正交函数集。 一个完备的正交函数集通常是一个无穷函数集一

9、个完备的正交函数集通常是一个无穷函数集。 关于完备的正交函数集，有两个重要定理。见课本关于完备的正交函数集，有两个重要定理。见课本P91。.2, 1 , 0sin,cosntntn 3 3 两个完备的正交函数集两个完备的正交函数集 （1 1）三角函数集）三角函数集 基本周期：基本周期：T=2T=2/, ,正交正交区间（区间（t t0 0 ，t t0 0+T+T）。是完备的）。是完备的正交函数集。正交函数集。nmnmTTtttdtmtn02/coscos00正交性：nmnmTTtttdtmtn02/sinsin00nmnmTtttdtntn00sincos00完备性：无穷函数集。完备性：无穷函数

10、集。.2, 1,0ntjne 基本周期：基本周期：T=2T=2/, , 正交区间正交区间（t t0 0 ，t t0 0+T+T）。 是完备的正交函数集。是完备的正交函数集。nmnmTTtttmnjtjmTtttjndtedtee0*0000正交性完备性：无穷函数集完备性：无穷函数集(2)指数函数集：指数函数集：3.2 3.2 周期信号的傅立叶级数分解周期信号的傅立叶级数分解3.2.1 3.2.1 三角形式傅立叶级数分解三角形式傅立叶级数分解 1.1.三角函数集三角函数集 2,sin,cos.2, 1 , 0TtntntfnT对周期信号，该函数在（对周期信号，该函数在（t t0 0，t t0 0

11、+T+T）上为完备的正交函数集。）上为完备的正交函数集。 2.2.正交展开正交展开 将任一周期函数信号展开为：将任一周期函数信号展开为：)sincos()sincos()()(100tnbtnaatnbtnatgctfnnnnnniiT该函数系数该函数系数.2 , 10coscos)(00000000)(1cos)(22*nndttntdtntfaTttTTttTdttfTtdtntfTTttTttTn.2 , 1sin)(2sinsin)(0000002*ntdtntfTdttntdtntfbTttTTttTttTn)cos(2)sincos(2)(1100nnnnnnTtnAAtnbtna

12、atf.2 , 1 , 0cos)(200ntdtntfTaTttTn其中将将a a0 0包含在包含在a an n中则有：中则有：TttTnntdtntfTb00.2 , 1sin)(2nnnnnnabarctgbaAaA2200次谐波分量ntntn sin,cos.,;,nnnnnnnnnnnnbbAAaanbnAa的的奇奇函函数数。为为的的偶偶函函数数，为为基波分量直流分量ttAasin,cos2200 该周期函数可以视为由直流、基波和无穷多谐波分量组成。该周期函数可以视为由直流、基波和无穷多谐波分量组成。 3 3。 4.4.当该周期函数为偶函数时，当该周期函数为偶函数时，b bn n0

13、0，展开式只含直，展开式只含直 流及流及分分量量tncos说明：说明：1.1.周期信号可分解表示为三角函数的线性组合。周期信号可分解表示为三角函数的线性组合。 2.2.物理意义：周期信号可分解为众多频率成整数倍关系的物理意义：周期信号可分解为众多频率成整数倍关系的正（余）弦函数或分量的线性组合。具体有：正（余）弦函数或分量的线性组合。具体有： 当该周期函数为奇函数时，当该周期函数为奇函数时，a a0 0a an n0 0，展开式只，展开式只 会含会含分分量量tnsindtetfTFeFtfTtttjnTnntjnnT00)(1)(tjnnniiTeFtgctf)()(TtttjnTTtttjn

14、TtttjnTTttiTttiTndtetfTdtedtetfdttgdttgtfF0000000000)(1)()()()(22*3.2.2 3.2.2 指数形式傅立叶级数分解指数形式傅立叶级数分解 1.1.复指数函数集复指数函数集 2.2,1,0TetfntjnT该函数集在（该函数集在（t t0 0，t t0 0+T+T）上为周期信号的完备正交函数集。）上为周期信号的完备正交函数集。 2.2.正交展开：正交展开： 将任一周期信号展开为将任一周期信号展开为 称为周期信号的指数型傅立叶级数展开式或复系数傅叶级数称为周期信号的指数型傅立叶级数展开式或复系数傅叶级数0002FaAtjnnnnnne

15、FtnAA)cos(210dtetfTFTtttjnTn00)(110)sincos(2)(nnnTtnbtnaatfn22nnFAnjnjnnnnnneAAeFFFA统统一一表表示示为为令令考考虑虑到到3.2.3 3.2.3 傅立叶系数关系傅立叶系数关系 比较两种展开式，得：比较两种展开式，得： 例题：周期性矩形脉冲的傅立叶系数计算。例题：周期性矩形脉冲的傅立叶系数计算。P94P94结论：结论：)cos(210nnntnFF.2 , 1 , 0.2 , 1cos)(2sin)(20000nntdtntfTatdtntfTbTttTnTttTn其中：其中：E)2sin(2)2sin(24)2s

16、in(4sin1420nnEnnTTnnETtnnTE例例：周期性矩形脉冲信号，求其三角型、指数型傅立叶级数。：周期性矩形脉冲信号，求其三角型、指数型傅立叶级数。tTT202)(tfT周期：周期：T TT T2/2/ 幅度：幅度：E E宽度：宽度： 2022cos4cos2tdtnTEtdtnETanTEETEdtTtdtnETa222cos221220220解解：因为：因为fT(t)为偶函数，所以为偶函数，所以bn=0展开式仅含直流与余弦分量展开式仅含直流与余弦分量.2, 1, 0)(1)(lim0kkSaxSax2)()()(00dxxSadxxSaxSa)2()sin()sin(2)2(

17、211222222222nSaTETEnTEjeeTnEetjnTEdteETFnnnjjtjntjnnnnxxxSasin)(其中：其中：如下图如下图 称为称为“取样取样”函函数数其性质：其性质： 偶函数偶函数 3.3 3.3 周期信号的频谱与功率周期信号的频谱与功率则则有有若若令令,4TnjnneFF)cos(2)(10)(nnntnjnntjnnnTtnFFeFeFtfn)4(41)2(412nSanSaFTn.2, 1, 0)2(nnSaTFn3.3.1 3.3.1 fT(t)的频谱的频谱 fT(t)可分解为一系列虚指数信号或正弦信号的线性组合。可分解为一系列虚指数信号或正弦信号的线性

18、组合。 为揭示各谐波振幅、初相随角频率变化情况，特画出振幅为揭示各谐波振幅、初相随角频率变化情况，特画出振幅及相位随及相位随w w变化的曲线称其为频谱图。变化的曲线称其为频谱图。 以前节周期信号为例：以前节周期信号为例：EtTT202)(tfT 各谐波分量的角频率各谐波分量的角频率n 是基波角频率是基波角频率的的n n倍且有不同的倍且有不同的 振幅和相位，均由傅立叶系数振幅和相位，均由傅立叶系数反映出来。反映出来。44222TT谱谱线线数数第第一一零零点点）谱谱线线间间隔隔）(222422nknT0)(0)(radnnradn相相位位谱谱nnnFFSaF)(441n振振幅幅谱谱 双边振幅谱：双

19、边振幅谱： 单边振幅谱：单边振幅谱：频谱特点：频谱特点：.2, 1 ,02.2, 1,0nFAnnFnnn 1.离散性、谐波性：仅在离散性、谐波性：仅在0、正负、正负、正负正负2 2。处出现，处出现，与相应谐波分量对应。谱线间隔与相应谐波分量对应。谱线间隔2/T2/T ，当当T T增加，增加，减小减小)/(2)(10sradBHzBf第第一一零零点点当当T趋近于无穷大时，周期函数变为非周期函数，离散谱变为连趋近于无穷大时，周期函数变为非周期函数，离散谱变为连续谱。续谱。 2.收敛性：振幅包络线按收敛性：振幅包络线按Sa(/ 2) )规律变化，总趋势为规律变化，总趋势为0 0。 * * 能量集中

20、于低频分量：能量集中于低频分量：当当nn/ 2=k2=k(k=正负正负1,正负正负2.),即即n=2kn=2k/时时, ,包络线振幅为零包络线振幅为零. .定义信号频带宽度定义信号频带宽度( (带宽带宽):): * * 带宽与脉宽成反比带宽与脉宽成反比:愈小愈小,B,Bw w愈大愈大. . * * 脉冲幅度一定时脉冲幅度一定时, ,振幅谱幅值振幅谱幅值(/T)(/T)与与成正比成正比, ,与与T T成反比成反比. .当当T T趋近于无穷大时趋近于无穷大时, ,各谐波分量振幅均趋近于无穷小各谐波分量振幅均趋近于无穷小, ,但它们之但它们之间仍有一定比例关系间仍有一定比例关系. .在非周期信号频谱

21、中将用频谱密度这一概在非周期信号频谱中将用频谱密度这一概念来描述这种相对比例关系念来描述这种相对比例关系. . 3.3.2 3.3.2 fT(t)的功率的功率 设设fT(t)为实信号在为实信号在1欧姆电阻上消耗的平均功率为欧姆电阻上消耗的平均功率为:22222)(1)(212221222)(2121TTTTdttTfTdttTfTPTTdtntjnenFTnTTdtntnjenFTnnFTdttfPTTTT22)(21fT(t)为实函数为实函数所以所以,周期信号时域功率周期信号时域功率=频域频域信号功率之和信号功率之和-帕塞瓦儿恒等式帕塞瓦儿恒等式)()(lim)()()()(121tfFdt

22、etfTFjFjFFdejFtftjnnTtj连续量连续量则离散量则离散量则则令令ndTdTT,21,2,)()(jFtf221)()(TTtjnnnTtjnndtetfTFTeFtfntjnnTTtjnTneFtfdtetfF)()(221 3.4.1 3.4.1 傅立叶变换傅立叶变换 周期信号分解的数学工具是周期信号分解的数学工具是傅立叶级数傅立叶级数; 非周期信号分解的数学工具是非周期信号分解的数学工具是傅立叶变换傅立叶变换.对周期对周期信号信号改写为改写为故对非周期信号故对非周期信号简记为简记为3.4 非周期信号的分解非周期信号的分解dttf)(dejFtftj)(21)(复复振振幅幅

23、为为时时当当dff ,1limlimlim)(TnTTnTnTfFFTFjFdtetfjFtj)()(dtetfjFtj)()()()(sin)(cos)(jXRtdttfjtdttftdttfXtdttfRsin)()(cos)()( 3.4.2 3.4.2 非周期信号的频谱函数非周期信号的频谱函数. .1.1.理论上讲理论上讲, ,f (t)应满足一定条件才可存在傅立叶变换应满足一定条件才可存在傅立叶变换,一般来说一般来说. 存在的充分条件为存在的充分条件为f (t)满足绝对可积满足绝对可积, ,即要求即要求 2.2.在这里在这里, ,F (j)不是振幅的概念不是振幅的概念,而是密度概念而

24、是密度概念,故称频谱密度故称频谱密度.3.3.F (j)为一复函数为一复函数.上式中上式中: :tjedejFtftj)()(21)(cos)()()(sin)()(FRFX;)(),(;)(),(1 .的的奇奇函函数数为为的的偶偶函函数数为为XFRNO易推结论易推结论: :f (t)为实函数时有为实函数时有: :);()(,)(,)()(2 .jFjFjFtftfNO的的实实函函数数为为时时);()(,)(,)()(jFjFjFtftf的的虚虚函函数数为为时时4 4. .逆变换的物理含义逆变换的物理含义: :*非周期信号的非周期信号的 (虚指数函数虚指数函数)分解分解;*非周期信号的正弦分解

25、非周期信号的正弦分解:)()()(arctan)(22)()(XRFRX00)(0)()()()()(tjtjeFejFttfjFtf则则若若为常数为常数、则则若若21221122112211)()()()()()()()(aajFajFatfatfajFtfjFtf00000)()()()()()(00tjtjxjtxjtxtxttdxdttjejFedxexfdxexfdtettfttfF、 一一. .线性线性： 傅立叶计算是一种线性运算，它包含两种意义：傅立叶计算是一种线性运算，它包含两种意义：1。齐次性：时域信号数乘。齐次性：时域信号数乘 a，频谱函数也数乘，频谱函数也数乘a。2。可加

26、性：几个信号之和的频谱函数各信号频谱函数之和。可加性：几个信号之和的频谱函数各信号频谱函数之和。 二二. .时移性时移性：证明：证明：3.5 傅立叶交换性质、定理傅立叶交换性质、定理)()()()(000jFetfjFtftj则则：为为实实常常数数且且若若：0)()(tF滞滞后后不不变变，t2202)()()()(222jeSatggtg0)()(0tjejFttf 同理：同理： 所以：所以：f(t)右移右移t0，F(j)幅度不变，谐频率分量相位滞后幅度不变，谐频率分量相位滞后t0 例：例：)(tg)2/(tgt0dtetfdteetfetfFtjtjtjtj)(000)()()()()()(

27、000jFetfjFtj同理：同理：2)(4422 即：即：三三. .频移性频移性：证：证：110tje)(sin)(cos0000210210tjtjjtjtjeeteet说明：说明：频域中频谱右移频域中频谱右移0，反映在时域中对立反映在时域中对立f(t)乘以虚指数乘以虚指数函数函数例：例：求高频调制信号的频谱。求高频调制信号的频谱。)()()(0210212SaSatfF)()()()(22100Satgeetgtjtjttgtf0cos)()(解：解：即：即：f (t)的频谱是将的频谱是将g(t)频谱左右各移频谱左右各移0，幅度为原来的幅度为原来的1/2。低频信号不便远距离传输，经调制，

28、频谱挪移，使变频信号实低频信号不便远距离传输，经调制，频谱挪移，使变频信号实现远距离传输，载波信号可以是现远距离传输，载波信号可以是cos 0t或或sin 0t 。一般有：。一般有：)(1)(ajFaatf)()()(, 0111aajaajjFdxexfdxexfaaxax有有当当)(1ajFa)()(jFtf若若)()()(cos)()()()(sin)(0021000210jFjFttfjFjFttfj)(1)(ajFaatfdxdtxtatxdteatfatfFaatj11,)()(令令故有：故有：四四. .尺度变换尺度变换：且且a为常实数（为常实数（a不等于零）。则：不等于零）。则：

29、证：证：)()()(, 0111aajaajjFdxexfdxexfaaxax有有当当综上有：综上有：含义含义: f (at):表示将表示将 f (t)波波形沿大轴压缩形沿大轴压缩a倍倍.表示将表示将F(j)波形沿波形沿轴扩展轴扩展a倍，幅度减小倍，幅度减小|a|倍倍。)()(2SajF01abjaaejFbatfjFtf)()(. 2)()(. 1142例：例：t220)()(tgtf)()(42221SajF21t440)()2(2tgtf48 可见：可见：信号的持续时间与带宽成反比。信号的持续时间与带宽成反比。 电子技术中为加快信息传输，在时域压缩持续时间，电子技术中为加快信息传输，在时

30、域压缩持续时间， 但是在但是在域不得不展宽频带，在实际应用中应该权衡考虑。域不得不展宽频带，在实际应用中应该权衡考虑。推论：推论：dejFtftj)()(21)(2)(211)(ttttjdejFtf)()(2dtejtFftj)()(2)(2)(fjtFbjaabjaejFbatfejFbtf)()()()(1再再先先)()(jFtf若若)(2)(fjtF则则abjaaabaaejFtafjFatf)()()()(11再再先先证一：证一：先进行时移后进行尺度变换先进行时移后进行尺度变换证二：证二：先进行尺度变换后进行时移先进行尺度变换后进行时移注意：注意：在时域，无论时移、尺度都是对在时域，

31、无论时移、尺度都是对t来说的。来说的。五五. .对称性对称性：证：证：所以，性质成立！所以，性质成立！推论：推论：若若f(t)为为t的偶函数，则的偶函数，则例一例一 ：)()()(2)(122SgnjSgnjSgntSgntjtj)(2)()()(22gSaSatgt. )1 (21F)()()(),()(, 2222kkkkggktSagtSa有有令令则：则：jttjettf1)()()(, )()(),(2121jFjFtftf若：若：djFjFjFjF)()()()(2121其中：其中：例二例二：例三例三：求求F(1/t)。例四例四：求求)()()()()()()()(212121212

32、1jFjFtftfjFjFtftf) 1(2)1 (2而：而：jt1)()(解：解：)(2)()(2)(11tjjttt六六. .卷积定理卷积定理：)()(2)()()(Sagggtfttt且且)(tf)()(222Satft0dtetfftftfFtj)()()()(2121)()()()(2121jFjFdejFfj)(tfFddtetftftj)()(21ttttttf), 0()0 ,(0)()(应用傅立叶变换定义和时移性可证卷积。应用傅立叶变换定义和时移性可证卷积。证明如下：证明如下：例例：求求解：解： 含义：时域卷积运算可转换为频域相乘在求傅立叶反变换含义：时域卷积运算可转换为频域

33、相乘在求傅立叶反变换jjtt121)()(2)(2111)()()()()()(jjjdd时有时有净面积净面积即即当当0)(0)0(tfF)()()()()(1jtjFttfdxxf)2()()0()()()()1(FjjFdxxftft)(2)()(22jtjtj七七. .时域微分、积分时域微分、积分：)()(jFtf若若) 1 ()()()()()()()1(jFjtfjFjtfnn则则：jjFtf)()()1(式（式（2）证：）证：例一例一 ：jtt)(1)(由对称性得：由对称性得：由时域相乘得：由时域相乘得：)()()()(jFtfjtnn则则djFjttftf)()()()0(则则)

34、()()()()()(jFjFjFdjdF 2112)()()()()(22jjttttt)()(2)()(21211tftfjFjFF)()(2)()()(111FtfjfFjFF2)(tj)()()(2)(21tfjtjtfjfFt由线性、倒置性可得：由线性、倒置性可得：八八. .频域微分、积分频域微分、积分：1.1.频域微分：频域微分：)()(jFtf若若证：证：因为因为根据频域卷积定理根据频域卷积定理得：得：由前面结果由前面结果)(2jt 得：得：同理同理n阶微分也成立！阶微分也成立！2.频域积分：频域积分：)()(jFtf若若djFf)()0(2121)()(jtt211)()()(

35、jtjtjdd)()()()()()()()1()1(jFjFjFdjF)(2)()()(2)()()(111)1(1FtfFtfjFFjFFjt1)()()(2)(1jtt)()()0()()()()(11)1(1tftftfttfjFFjtjt如果如果f(0)=0，则有，则有djFjttf)()(证：证：按卷积微积分性质：按卷积微积分性质：考虑傅立叶反变换得下式考虑傅立叶反变换得下式1：由于由于按对称性得：按对称性得：将上结果代入将上结果代入1式得：式得：其中其中f(0)可由频域积分得到：可由频域积分得到：例例 ：jt1)()(djFdttfw2212)()(则则ddtetfjFtj)()

36、(21djFjF)()(21nnTFdttfTT22122)(dttfw)(2dtdejFtftj)()(21九九. .帕什瓦尔定理帕什瓦尔定理: :)()(jFtf若若 对于周期信号的帕什瓦尔定理有：对于周期信号的帕什瓦尔定理有： 表明周期信号的功率该信号在完备正交函数集中各分表明周期信号的功率该信号在完备正交函数集中各分量功率之和。量功率之和。 周期信号是功率信号，但一般而言，非周期信号不是功周期信号是功率信号，但一般而言，非周期信号不是功率信号，其平均功率为零，其能量为有限值，故为能量信号，率信号，其平均功率为零，其能量为有限值，故为能量信号，只能从能量观点研究。只能从能量观点研究。 非

37、周期信号总能量：非周期信号总能量：时域定义时域定义交换积分次序交换积分次序2)()()()()(, )()(jFjFjFjFjFjFjF故故dFdjFdttfw)()()(22212可证：可证：最后得：最后得：nTnTtt)()()(tT22)(,2,)(1TTdtetfFTeFtftjnTnntjnnTnnntjnnTnFeFFtfF)(2)()(十十. .周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换: :方法一：方法一：说明：说明：fT(t)的傅立叶变换由无穷多个冲激函数组成，它位于信的傅立叶变换由无穷多个冲激函数组成，它位于信 号各谐波角频率号各谐波角频率n n处，其强度为各谐波分量幅度处，

38、其强度为各谐波分量幅度Fn的的 2倍倍 。例例：单位冲激序列的傅立叶变换。：单位冲激序列的傅立叶变换。1tTT20nanjnF)()(TdtetdtetFTTTTtjnTtjnTTn1)()(222211)()()(ttftfTaTnaaTnjFjFtfF)()()()()(nTTnt)()()(2)(tT说明：说明：的傅立叶变换是周期为的傅立叶变换是周期为强度为强度为的冲激序列。的冲激序列。方法二：方法二：综上：综上：nnaannTnTjFnjnFnFtfF)()(2)()()(2)(nnnSa)()2(nTnnSatfF)()2()(. 2nnnTnnSaTnFtfF)()2(2)(2)(

39、. 1式式。关关系系满满足足 2)(. 3tgFn:)(关关系系与与傅傅立立叶叶交交换换傅傅立立叶叶系系数数jFFan)(2)(2jnFTjnFFaannaTaTnjFjnFF)()(11)2()()2(SatgnSaTFn1)(tfTTT202例例 ：)(tfs的最高频率范围。的最高频率范围。为信号为信号)(2tffmmm)()(集中在低频范围，集中在低频范围，tfFjFmm一一.低通信号与样值信号低通信号与样值信号： 1.1.低通信号（也称带限信号）：低通信号（也称带限信号）：2.2.样值信号样值信号 信号信号f (t)加在抽样器的输入端，抽样器相当于一个定时开加在抽样器的输入端，抽样器相

40、当于一个定时开关，它每隔关，它每隔Ts秒闭合一次，闭合时间为秒闭合一次，闭合时间为，输出端输出，输出端输出f fs s(t)(t)3.7 连续信号的抽样定理连续信号的抽样定理)()(tftfs样值信号样值信号模拟信号模拟信号。恢复出恢复出无失真地无失真地或可由或可由的全部信息；的全部信息；保留保留在何条件下，在何条件下，)()()()(. 2tftftftfsssssssfTfT21)(ts开关序列信号开关序列信号关系。关系。、)()(?)(. 1jFjFtfFss抽样周期抽样周期抽样频率抽样频率抽样角频率抽样角频率2.2.抽样数学模型：抽样数学模型：研究两个问题：研究两个问题：snTTnjF

41、s2)(s1其中其中nsnjFjFjF)()()()()(221nsTsnTttfttftfs)()()()()(二二.样值信号的傅立叶变换样值信号的傅立叶变换：设：设：f (t)(t)为低通信号，为低通信号，S(t)S(t)为均匀冲激序列。为均匀冲激序列。信号的抽样及其频谱图示：信号的抽样及其频谱图示：。，无法截取，无法恢复，无法截取，无法恢复否则，将发生混选现象否则，将发生混选现象恢复。恢复。时域来说，实现无失真时域来说，实现无失真，从，从中中要用理想滤波器截取其要用理想滤波器截取其函数且不发生重叠。只函数且不发生重叠。只为周期内容的周期为周期内容的周期是以是以的频谱的频谱样值信号样值信号

42、)()()()(jFjFjFtfss时。时。即：即：可见，当可见，当msmsmfTorff212(2nsmsmsnTtSanTftffT)()()(21时，时，当当)()()(jHjFjFs)()()()()()(tSaTnTtnTfthtftfmmsnsss)()()()()(smsnmsmssnmsnTtSanTfTtSaTnnTfT三三.f (t)的恢复的恢复： 频域处理：频域处理：恢复公式恢复公式 可见：连续信号可见：连续信号f(t)(t)可由多个位于抽样点的可由多个位于抽样点的Sa函数组成，函数组成，各各Sa函数的幅值为该点的抽样值函数的幅值为该点的抽样值f (nTs),依据上述公式

43、，可由依据上述公式，可由各抽样值恢复出各抽样值恢复出f（t）。图示如下：）。图示如下：四四.时域抽样定理时域抽样定理：，可唯一由其，可唯一由其号号以上频谱为零的低通信以上频谱为零的低通信内容：在频率内容：在频率)(tfHfzmnsmsnTtSanTftf)()()(nsTsnTtgtfPtftfs)()()()(特特速速率率。最最低低抽抽样样频频率率为为奈奈奎奎斯斯mmsff 2min奈奎斯特间隔。奈奎斯特间隔。确定，其恢复公式为确定，其恢复公式为上的样点值上的样点值在均匀间隔在均匀间隔)()(21sfssnTfTTm期（间隔）为期（间隔）为，这一最大允许抽样周，这一最大允许抽样周通常称：通常

44、称：mmsfT21max五五.周期脉冲抽样周期脉冲抽样： 理想抽样在理论上是成立的，但实际上无法实现。因为冲理想抽样在理论上是成立的，但实际上无法实现。因为冲激序列无法得到。实际工作中，抽样器用电子开关实现，开激序列无法得到。实际工作中，抽样器用电子开关实现，开关函数用周期矩形脉冲函数关函数用周期矩形脉冲函数。 对于周期脉冲抽样：对于周期脉冲抽样：1.1.样值信号：样值信号：器得器得通过一个理想低通滤波通过一个理想低通滤波而不会发生混叠，这样而不会发生混叠，这样中就包含有中就包含有。其。其，即，即结论：只要结论：只要)()(2221jFjFTffsfsmsmmnTnssnjFnSannSaTj

45、FtfF)()2()()2(2)()(21函函数数分分布布。整整体体幅幅度度按按谱谱函函数数，间间隔隔为为频频谱谱为为一一系系列列的的函函数数分分布布。抽抽样样信信号号频频大大小小按按，强强度度系系列列冲冲激激函函数数，间间隔隔为为矩矩形形脉脉冲冲序序列列频频谱谱为为一一率率为为为为低低通通信信号号，最最高高角角频频可可见见：SajFSatfm)()()(tfFs)()2(2)()(nnSaTnTtgtPnsnsTs2.2.脉冲抽样过程及其波形，频谱如下页图脉冲抽样过程及其波形，频谱如下页图. .ommF(j)(a)tototo(b)(c)Ts-Ts22-Ts-TsoTs2PT (t)soFs

46、(j)Tsmm PT (t)sFf (t)1图图 ：矩形脉冲抽样：矩形脉冲抽样(a) f(t)的波形及其频谱；的波形及其频谱； (b) PTs的波形及其频谱；的波形及其频谱； (c) fs(t)的波形及其频谱的波形及其频谱 gggg成成立立。抽抽样样，其其抽抽样样定定理理仍仍然然对对。可可见见用用周周期期矩矩形形脉脉冲冲号号。反反变变换换后后恢恢复复出出原原信信到到)()()(tftfjFg六六.频域抽样频域抽样：3.8 连续系统的频域分析连续系统的频域分析 3.8.1 基本信号基本信号e jt激励下的零状态响应激励下的零状态响应 设线性时不变系统的单位冲激响应为h(t)，根据时域分析公式(3

47、.8-1)，系统对基本信号ejt的零状态响应为 tjtjeH)j (ede )j ()j (21d)j (21tjtjHFeF3.8.2一般信号一般信号f(t)激励下的零状态响应激励下的零状态响应由于任意信号f(t)可以表示为无穷多个基本信号ejt的线性组合，因而应用线性叠加性质不难得到任意信号f(t)激励下系统的零状态响应。其推导过程如下：(式(3.86) (齐次性) dejHejdejtjtjtj)()(21)(21)()()()(1jHjFFtytff所以 (叠加性) 由此可得用频域分析法求解系统零状态响应的步骤为： 例例 3.8-1 已知激励信号f(t)=(3e-2t-2)(t)，试求

48、图 3.8-1 所示电路中电容电压的零状态响应uCf(t)。 图 3.8-1 例 3.8-1 的图 注意到()的取样性质，并为了较方便地求得UCf(j)的逆变换，将UCf(j)按如下形式整理: 例 3.8-2 如图 3.8-2(a)所示系统，已知乘法器的输入 ,2000cos2sin)(ttttfs(t)的波形如图 3.8-2(b)所示，系统函数 图 3.8-2 例 3.8-2 图(a) 系统组成； (b) s(t)的波形 先求f(t)的傅里叶变换F(j)，由于 再求s(t)的傅里叶变换S(j)。由于s(t)为周期信号，T=1ms，则 , 因而有 sradT/20002图 3.8-3 y(t)的求解 由冲激函数的卷积特点及F(j)、S(j)的图形可知，X(j)为无穷多个分别位于n2000处的矩形脉冲，每个脉冲的宽度为4但幅度不等。考虑到随后的系统函数H(j)，在|1时H(j)=0，因而我们仅关心