向量知识点题型归纳

1、专题-平面 向 量1 .向向量的相关概念、2 .向量的线性运算二.向量的表小方法：1 .几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ,注意起点在前，终点在后；2 .符号表示法：用一个小写的英文字母来 表示，如a , b , c等；3 .坐标表示法：在平面内建立直角坐标系， 以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i , j为基底，则平面内的任一向量a可表示为 4 3 *-a =xi +y j =(x, y ),称(x, y)为向量a的坐标,a = (x, y )叫做向量a的坐标表示。如果向量 的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终 点坐标相同。三.平面向量的基本定理：如果ei和e2是 同一平面内的

2、两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数 九1、九2 ,使 a=，i ei+ 2e e2。如(i)若 a=(i,i)b=(ii),c=(1,2),则&=(2)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是-+TA.0 =(0,0), e2 =(I,2)B.ei =(I,2),e2 =(5,7)JTLTi3 ”C.ei (3,5), e2 (6,i0)D. e =(2,-3)e =(,-)(答.B)；，、一T T ,g”(3)已知AD,BE分另IJ是 MBC的边BC, AC，,、I T-E一口上的中线，且AD =a,BE =b，则BC可用向量.一、，必 2，4 .a,b表

3、小为 (答：-a+b);33(4)已知AABC中，点D在BC边上，且CD 二 2 DB , CD 二 r AB s AC , 贝U r + s的值是(答：0)四.实数与向量的积：实数九与向量a的积是一个向量，记作九a,它的长度和方向规I定如下：(1何平户,(2)当九0时，九a的方向与a的方向相同，当九0时，九a的方一j- -*、向与a的万向相反，当儿=0时，一a = 0,汪意：儿a金0。五.平面向量的数量积：1 .两个向量的夹角：对于非零向量a , b ,作OA=a,OB=b, /AOB=8(0M8 Mn )称为向量a , b的夹角，当日=0时，a , b同向，当8=n时，a , b反向，当日

4、=土时，a , 6垂直。22 .平面向量的数量积：如果两个非零向量a ,一 ,八1.b ,匕们的夹角为日，我们把数年|a|b|cos9叫做a与b的数量积(或内积或点积)，记作:ab ,即ab = a|b1 cose 0规定：零向量与任一向量的数量积是 0,注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如333(1) ABC 中，| AB |= 3 , | AC |= 4 , | BC |= 5 ,则 ABBC=(答：9);(2)已知1 .1 0I 一.a = (1,1),b = (0, ),c = a +kb,d=a b, c与 d22的夹角为-,则k等于 (答：1);4（3）已知a=2，b=5刀 =

5、4,贝屑十也等于（答：V23）；（4）已知a,b是两个非零向量,且a ='b' =|a -b1,则a与b的夹角为（答 30；）3. b在a上的投影为|b|cosH ,它是一个实数，但不一定大于00如已知 | a | = 3 , | b | = 5，且 a，b =12 ,则向量 a在向量b上的投影为（答：-）54. a * b的几何意义：数量积a * b等于a的 模| ： |与b在a上的投影的积。5. 向量数量积的性质：设两个非零向量a,b ,其夹角为日，则：G。$. c a_L bu a ,b =0 ；-一 一 4 4当a , b同向时，ab=ab,特别地,屯4 4 ,4 2

6、4 声、“ ra =a,a=a , a =va ;当a与b反向时， ab = a"b"当日为锐角时，a * b >0,且a b不同向，a b >0是日为锐角的必要非、八一 ，-J4充分条件；当日为钝角时，ab<0,且a、b一一. I曰入、，A S 、，" “、八八不反向，a b <0是8为钝角的必要非充分条件;非零向量a, b夹角8的计算公式:; |a ,b|3a|b|。如cos -二（1）已知a=（九,2九），M= （3九,2）,如果W与 b的夹角为锐角，则九的取值范围是41（答：儿<一一或九：>0且九黄一）；（2）已知AOF

7、Q的面积为S ,且OF ,记 =1 ,右1 < S < 一,则OF , FQ夹角9的取值范围 22JI 冗(,_)4 3六.向量的运算：i.几何运算：法则”：设AB=a,BC=b ,那么向量AC叫向量加法：利用“平行四边形法则”进行, 但“平行四边形法则”只适用于不共线的向 量，如此之外，向量加法还可利用“三角形 做a与力的和，即a + b = AB +BC = AC ；向量的减法：用“三角形法则”：设AB = a, AC = b,那么 a b = AB AC = CA , 由减向量的终点指向被减向量的终点。注意: 此处减向量与被减向量的起点相同（1）化简： AB+BC+CD=AB

8、-AD -DC =；T T T T (AB -CD) -(AC -BD)=(答:AD；CB；0)；(2)若正方形ABCD的边长为1,一4 -1 ，AB = a,BC =b,AC = c，贝»a + b + c| =（答:2亚）；形状为（答：直角三角形）；（3）若O是1ABC所在平面内一点，且满 足 OBOCOB+OC2OA,则labc的在平面内有一点P,满足PA.BP.CPJ,(4)若D为AABC的边BC的中点，AABC所两点间的距离:若A(x1,y1 ),B (x2y2卜则则C、D的坐标分别是,11.(答：(1,),(-7,9)；2。T *""那么 |a+3b|

9、=(答：V13)；设叫=九，则人的值为 (答：2);|PD|(5)若点。是4ABC的外心，且OA +OB +CO =0 ,贝U4ABC 的内角 C为(答:120);*、J.i2.坐标运算：设a =仅)1)b (x,y)2，则: H向重的加减法运算：a 士b = (x1 士x2,yi ± y2)。如已知作用在点A(1,1)的三个力H_ -I人上Fi =(3,4), F2 =(2, 5),F3 =(3,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标是(答：(9,1)实数与向量的积：%a=Mx1,y1)=(九”,九% % 若 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB =(X2 -X1, y2

10、 -y1 ),即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如、几c c/x L 口 T 1 T T设 A(2,3), B(-1,5)，且 AC =1B , AD =3AB ,3平面向量数量积：ab = xx2 + y1y2。向量的模：| a |= Jx2 + y2, a =| a |2 = x2 + y如已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60 ,I AB M x2 - Xi ) + ( y2 y1 )。七.向量的运算律：,1 I *1 .父换律：a + b = b + a , K(Ra)=(?卅)a ,一 ab = b,a ；2 .结合律：Y)NJ、a+b+c = (a

11、+b )+c,ab c = a(b + c),，、，* 九 LLKa “b =7(a -b )=a 九b );3 .分配律：(九 + N )a = K a + N a,九(a + b )=' a + 九b ,J(a +b )*c = a ,c + b *c。卜列命题中：a (b- c) = a b- a c ;,'''22a(bc)=(ab) c;(a-b) =| a |r22|a|，|b| + |b| ;若 a，b = 0,贝Ua=0或勺 j * y 7 2T2b = 0;右 a，b =c b,贝U a = c ; a =a ；分 a b b 自 J 2*2

12、2 2 =斗；(a b) = a 1b ;a a1 ,2.2 一42(a -b) =a -2a b + b 。其中正确的是 (答：)提醒：(1)向量运算和实数运算有类似的 地方也有区别：对于一个向量等式，可以移 项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边 同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两 边同除以一个向量，即两边不能约去一个向 量，切记两向量不能相除(相约)；(2)向 量的“乘法”不满足结合律，即 F fF f fa(b *c)丰(a *b)c ,为什么？八.向量平行(共线)的充要条件：r T t 2a/b= a =，b= (a b)2 二(|a|b|)2u x1y 2 _ y1x2 = 0

13、。如若向量 a=(x,i),b=(4, X),当*= II时a与b共线且方向相同(答：2);(2)已知 a=(1,1),b=(4, x) , u=3+2b,v =2a+b ,且 u/v,贝U x =(答：4);(3)设 PA = (k,12),PB=(4,5),PC=(10,k),则k=时，A,B,C共线(答：2 或 11)九.向量垂直的充要条件：4 4H 4 4 Ha_b= a b=0=|a b|=|a-b|u xx2 +yy2 =0 .特另 1地(白十户)，(普一当)。如|ab |ac|ab| Iac I T T _T T(1)已知 OA=(1,2),OB=(3,m),若 OA_LOB,则

14、 m =(答：3)； 2(2)以原点。和A(4,2)为两个顶点作等腰直 角三角形OAB, /B=90)则点B的坐标是(答：(1,3)或(3, 1);(3)已知n =(a,b),向重n_Lm,且可=同，则m的坐标是(答：(b,-a)或(七,a)十.线段的定比分点：2 .定比分点的概念：设点P是直线P1P2上异于P1、P2的任意一点,若存在一个实数% , 使PP =?.PP2，则人叫做点P分有向线段PP2 所成的比，p点叫做有向线段Pm的以定比 为九的定比分点；3 . Z的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段P1P2上时。儿0;当P点在线段P1P2的延长线上时W儿1;当P点在线段P2 P1的

15、延长线上时u -1儿 0 ;若 点P分有向线段钳所成的比为九，则点P八，1,， 1 L分有向线段P2P所成的比为一。如九3若点P分AB所成的比为 则A分BP所成4的比为(答：-7)34 .线段的定比分点公式：设P(x1,y1)、P2(x2, y2) , P(x, y)分有向线段取所成的比xx2x 二为九，则1f ，九='二=上1匕线y1+九y2x2-x y2-yy=L. 1 十 九x= U52段P1P2的中点公式1y1 + y2 0在使用定比分点的坐标公式时，应明确(x, y) , (x1, y1)、(x2,y2)的意义,即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵

16、活地确定起点，分点和终点，并根据这些点 确定对应的定比九。如(1)若 M(-3,-2) ,N(6,-1) ,1-M ;M ,3则点P的坐标为(答：(3-7)；(2)已知 A(a,0), B(3,2+a),直线 y=1ax与 2线段AB交于M ,且AM =2MB ,则a等于(答：2或4)H一.平移公式：如果点P(x,y)按向量. . . -：a = (h, k ”移至 P(x , y),则 a = pp , jx，=x+h ；曲线 f(x,y)=0按向量 a =(h,k ) y' =y k平移得曲线f (xh,yk) =0 .注意：(1)函 数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？ (2

17、)向量平移具有坐标不变性，可别忘了 啊！如(1)按向量a把(2,-3)平移到(1,-2),则按向量a把点(-7,2)平移到点(答：(-8, 3);(2)函数y =sin 2x的图象按向量；平移后，所得函数的解析式是y -cos2x 1,则a'=若A1x，y1 ),B(x2,y2要以芈),则其重心的坐标为Gg 一 若/ABC的三边的中点分别为(2,1)、(-3,4)、(-1, -1),则/ABC的重心的坐标为 三角形三条高的交点，称为三角形的垂心.（下左图）四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.是三角 形三内角平分线的交点.三角形内角平分线性质定理：三角形内角平 分线分对边所得的两条线

18、段和这个角的两 边对应成比例.（上右图）题型一：共线定理应用例一：平面向量a,b共线的充要条件是（）A. a,b方向相同B. a, b两向量中至少有一个为零向量C.存在九w R, b = Ka D存在不全为零的实数, 1, '2, '1 a- -2 b =0变式一：对于非零向量a, b , “a + b=0”是 “ a/b” 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充 分必要条件D.既不充分也不必要条件变式二：设a, b是两个非零向量（）."T T f TiT T 4T T -A.右 a + b = a b 贝 Ua_LbB.右 a_Lb,贝（2）如果AB =

19、e1+e2,BC = 2e1 3最阮=2耳k£ 且 A,C,D 三点 求实数k的值。变式一：设e与32两个不共线向量，FF »-FF F9-AB =2ei ke2,CB =e 3e2,CD =2e -e2, 若三点A,B,D共线，求实数k的值。变式二：已知向量a,b ,且AB = a +2b,BC = -5a + 2b,CD =7a + 2b,贝 U一定共线的三点是（）A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D题型二：线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用例一：设P是三角形ABCT在平面内的一点，2Bp = bC+bA,WJ （）A. 0 - PA PB

20、 B. 0 - PC PA C.0 = PB PC D. 0 = PC PA PB变式一：已知。是三角形abCT在平面内一点，D为BC边的中点，且0 = 2OA + oB+oC ,那么（）A. A0 = OD B. A0 =2OD C. A0 = 3ODT T a + bD. 2A0 = ODb =，=a D若存在实数九,使得b = K a ,则 '' b1例二：设两个非零向量e1与% ,不共线, （1）如果AD =b , AN =3NC川为BC的中点，则MN =（用a,b表示）例二：在三角形 AB/, AB=c, AC = b,若点D满足BD = 2DC，则AD =（）AB=

21、e1 -e2,BC =3e1+2e2,CD =Te1 -2e2,求证：A,C,D三点内线； A. b + c, B.331 h2 .一 b c, 335 . 2.2/1 ._ c - _ b, C. _ b - - c, D.3333则存在实数九，使得变式二：在平行四边形 ABCmAB = a,变式一：（高考题）在三角形ABC中，点D在边 AB上，CD¥分角 ACB,CB=a, CA=b,a =ub=2,则玩=（）.1-2_ 21 _3-4- _A. 1 2 -a2b, B. 2a1b,C.3题型三：三点共线定理及其应用例一：点P在AB上，求证：OP = ?.OA + OB且九十 N

22、=1 （ % N w R,）变式：在三角形ABC+,点O是BC的中点， 过点O的直线分别交直线AB AC于不同的两点 M和 N,若 AB = mAM, Ac =nAN,则m+n=例二：在平行四边形ABCm,E,F分别是BC,CD的中点,DE与AF交于点H,& AB=a,BC =b,贝U AH = a-b, D.3333554 ,3 ja _ b,5 5变式二：设D,E,F分别是三角形ABC勺边BC,CA,AB上的点，且 DC =2BD, CE = 2EAAF =2FB,则 AD +BE,+CF 与 BC （）A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不 平行也不垂直变式三：在平行四边形

23、ABC时,E和F分别 是边CD和BC的中点，若AC = ?uAE + NAF,“ 2 4- 2 424;一A. a b, B. ab, C. ab,D.5555552 -4 a b, 55变式：在三角形ABC中，点M是BC的中点，点N是边AC上一点且 AN=2NC,AMT BN相交于点P,若AP = ?uPM,求九的值。题型四：向量与三角形四心一、内心例一 ：O是AABCf在平面内一定点，动点P满足,则点P的轨迹一定通过A ABC的（）A.外 心B.内心C.重心D.垂心变式一：已知非零向量 AB与AC满足（ABAB其九,N w R,则 + N =变式四：在平行四边形ABC时,ACt B皿 于点

24、O,E是线段OD的中点，AE的延长线与CDi于点F,若人（5=2,36=工贝（人匚=（）人.1 L 12 L 11 L 1. a b, B. a b, C. a b, D.423324AC 一十一）BC =0,且ACAB AC1i=r = T ,则 abc（）AB ACab,A.等边三角形B.直角三角形C.等腰非等边 三角形D.三边均不相等的三角形 变式二：|AB| - pc + |Bc| 'PA十 |CA，PB = 0uP为 ABC勺内心 二、重心例一：O是 AABCft一点，4餐,fOC + OA + OB = 0 ,则为 ABC的（）A.外心B.内心C重心D.垂心变式一：在A A

25、BCt, G为平面上任意一点，1 证明：GO （GA GB GC）= O 3为 ABC的重心变式二：在 ABC中，G为平面上任意一点,证明：GO = 1(AB + AC)y o为aabc 3的重心三垂心：例一：求证：在 ABC中,Oa ob = OB OC = OC OA = o 为 ABC的垂心变式一：。是平面上一定点，A, B, C是平面上不共线的三个点，动点P满足ABACOP = OA十九(r+：AB COSB AC COSC则点P的轨迹一定通过AABC的()A.外心B.内心C.重心D垂心四外心例一：若。是 ABC的外心，H是A ABC的垂心，则 OH - OA OC OB变式一：已知点

26、0, N, P在AABCff在平面内，且 OA = OB = 0C,求此时k和t满足的函数关系式k=f(t);(2) 若x y ,求此时k和t满足的函数关系式 k=g(t).变式二：平面内给定3个向量a = (3,2), b = (-1,2),c= (4,1),回答下 列问题。(1)求3a + b - 2C ； (2)求满 足a = mb + nC的实数m,n;(3)若(a+ kc)/(2b - a),求实数 k； (4)设), d = RRx, y)满足(d - c) /( a + b)且d - c = 1 ,求 d。题型六：向量平行(共线)、垂直充要条件 的坐标表小例一：已知两个向量a =

27、 (1.2),b = (-3,2),当实数k取何值时，向量ka + 2b2a-4b 行？变式一:设向量a,b满足|a|= 2j5,b=(2,1 ),=(-k,10)且和k为不同时为零的实数，(1)若x -L y ,0 = NA + NB + NC ,PA PB = PB PC = PC PA ,则 0,N, P依次是AABC的()A.重心、外心、垂心B.重心、外心、内心C.外心、重心、垂心D.外心、重心、内心 题型五：向量的坐标运算例一：已知 A(-2,4),B(3 , -1) , C(-3 , -4), 且 CM =3CA,CN = 2CB，试求点 M,N和MN的坐标。变式一：已知平面向量a

28、 = (%6,-1), b = (1，3向量2 2-*x=a + (t - 3) b, y = -ka + tb,其中 t 且 a与b反向，贝U a坐标为例二：已知向量OA = (k,12),0B = (4,5),OCA,B,C三点共线，则k=()A:3B:2C:-D:_231、 一变式一： 已知 a = (-sina ), b = (cos",-),且 23a/b ,则锐角民为变式二：ABC勺三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c设向量p = (a+c,b),q=(ba,c a),若 p/q，则/C的大小为()7111nA: -B: -C:-D:题型七：平面向量的数量积 例一：

29、（1）在 RtABC中，/C=90° ,AC=4, 贝1晶，品=（）A: -16B:-8C:8D:16（2）（高）已知正方形ABCD勺边长为1,点E是AB边上的动点，则DE CB的值为;DE CB的最大值为（3）在ABC, M是 BC中点，AM=1,点 P 在am±满足 AP=2pM，则 PA.（PB+PC）等 于（）A: -4B: -4C:4D:4 9339变式一：（高）如图所示，平行四边形ABCD 中，API BD垂足为P,且AP=3,则AP.AC变式二：在 ABC中，AB=1, BC=-2 , AC=,3 ,若。为abc勺重心，则AO,AC的值为例二：（高）在矩形 A

30、BCm，AB=12,BC=2, 点E为BC的中点，点F在边CD上，若 AB .AF = J2,则 AE BF 的值是变式一：（高）在ABC, /A = 900,AB =1,AC=2.设点 P,Q 满足AP =>uAB,AQ =（1 71）AC,九三 R,若 一，124BQ CP=2，则 £=（） A: -B: -C:-D:2 333例三：已知向量a,b,c满足a + b + c = 0, a =1, b =2,卜=V2,则«11TM fa b b c c a =变式一：在 ABC中，若AB =3, BC =4,园=6则AB BC BC CA CA AB =变式二：已知

31、向量a,b,c满足a + 6 + c =0,且2 _L b, a = 1,b = 2,则忖= 变式三：已知向量a,b,c满足 a+b+c = 0,且（a 一 b） _l c,a _l b, "0| = 1,则 a|2+bf+|c2 =题型八：平面向量的夹角例一：已知向量 a=（1,j3）,b=（2,0），则a与b 的夹角是例二：已知a,b是非零向量且满足（a 2b） ±a,（b-2a） 1 b,则a与b 的夹角是_ 变式一：已知向量a, b,c满足a =1, b =2,c = a + b,a_L c,则a与b 的夹角是, 变式二：已知a,b是非零向量且满足 |a| =|b|

32、 =|a -b|,则 a与a + b 的夹角是 变式三：若向量a与b不共线， -' a a "a，b¥0,且c = a-（=）b,则a与c的夹角是 a b变式四：（高）若向量羡与e满足R=1,相1, 且以向量与日为邻边的平行四边形的面积 为0 . 5 ,则3与下的夹角的取值范围是 例二：已知|a=V5,W=1,a与b的夹角为450, 求使向量a十尢b与九a+b的夹角为锐角的人 的取值范围。变式一：设两个向量&,金，满足3 = 2, e2 =1 , e与备的夹角为,若向量32te1+762与3 +te2的夹角为钝角，求实数t 的范围。变式二：已知Mb均为单位向

33、量，其夹角为0 ,有下列4个命题：-2nPi : a+b a1u Hw0,)； 3'/ 八 ,2冗 ,P2 : a +b a1 u 9(，叫；3r rC 冗P3 : a b a1u a W0,)； 3p4 : a -b a 1 u 6 e ( ,n；其中的真命题是 3()A. Pi, P4B. Pi, P3C. P2, P3 D. P2, P4题型九：平面向量的模长ff一 f一例一：已知a = b =5 ,向量a与b的夹角为一,3» Tt T求 a +b , a b。变式一：已知向量a与b满足a =1, b =2, a -b =2 ,贝U a + b =变式二：已知向量a与b

34、满足R=i用=2,，一Jl 一 J 7a与b的夹角为一，则a-b = 3变式三：在 ABC中，已知AB =3, BC =4,/ABC =60°，求 AC .例二：已知向量a与b的夹角为, 3a =3, a + b = Jl3，则 |b| =变式一：(高)已知向量a与b的夹角为土，且 4a =1, 2a -b = v10,则 b =变式二：设点M是线段BC的中点，点A在 2直线 BO, BC =16, AB+AC = AB-AC , m|am变式三：已知向量a = (2,4),b = (1,2),若c = a - (a b)b,则 C=例三：已知向量o(,B(ot 0 0,a # P)

35、,满足P =1 ,且与6 - £的夹角为120°,则的取值范围是变式一：已知单位向量a, b,c ,且a，b=0,(a -c) (bc) w 0,则 6+ bc1的最大值为变式二：(高)已知直角梯形ABCm，AD/BC, /ADC =90O,AD=2, BC=1 P是腰 DC上的动点，贝U pA+3PBi的最小值为题型十：平面向量在三角函数中的应用 例一：在 ABC中，A,B,C所对边的长分别 为a,b,c ,已知向量m = (1,2 sin A), n = (sin A,1 + cos A),且满足m/ n,b c = 3a(1)求A的大小(2)求 sin(B+,)的值6变式一：已知变量xxx - x-m = (cos -, cos-), n = (sin 一, V3 cos), 函数 3333f (x) = m