向量自回归模型讲义

1、第 8章 VAR 模型与协整1980 年 Sims 提出向量自回归模型( vector autoregressive model )。这种模型采用多方程联 立的形式，它不以经济理论为基础，在模型的 每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变 量的滞后值进行回归，从而估计全部内生变量 的动态关系。8.1 向量自回归 (VAR )模型定义8.1.1 模型定义VAR 模型是自回归模型的联立形式 ，所以称 向量自回归模型 。假设 y1t，y2t 之间存在关系， 如果分别建立两个自回归模型yi, t = f (yi, t-i, yi, t-2,y2, t = f (y2, t-i, y2, t-2,则无法

2、捕捉两个变量之间的关系。如果采用联 立的形式，就可以建立起两个变量之间的关系。 VAR 模型的结构与两个参数有关。 一个是所含 变量个数N，个是最大滞后阶数k。以两个变量yit, y2t滞后i期的VAR模型 为例，yi, t =ci + ii.i yi, t-i +i2.i y2, t-i + ui ty2, t =C2 + 21.1 yi, t-1 +22.i y2, t-i + U2 t(81)其中 Ui t, U2 tIID (0,2), Cov(ui t, u2 t) = 0。写成矩阵形式是，yitciii.ii2.iyi,t iuit畑=C2 +2i.i22.iy2,t i +u2t

3、(8.2)yitqii.ii2.iuit设，Yt = y2t,c =：c2 ,i =2i.i22.i, ut = u2t ,则，Yt = c + i Y t-i + Ut(8.3)那么，含有N个变量滞后k期的VAR模型表示如下：Yt = c +i Y t-i+ 2Yt-2+k Yt-k + ut,ut IID (0,)(8.4)其中，Yt =(yi, ty2, t yN, t)c =(ciC2 CN)ii.ji2.jiN.j2i. j22.j2N.j,j = i, 2, kNi.jN2.jNN.jut =(ui tu2,tun t),Yt为N 1阶时间序列列向量。C为N 1阶常数项列向量。 1

4、,，k均为N N阶参数矩 阵，5 IID (0,)是N 1阶随机误差列向量， 其中每一个元素都是非自相关的，但这些元素， 即不同方程对应的随机误差项之间可能存在相 关。因 VAR 模型中每个方程的右侧只含有内生 变量的滞后项，他们与 ut是渐近不相关的，所 以可以用 OLS 法依次估计每一个方程，得到的 参数估计量都具有一致性。估计 VAR 的 EViews 4.1 操作： 打开工作文件，点击 Quick 键, 选 Estimate VAR 功能。作相应选项后，即可得到 VAR 的 表格式输出方式。在 VAR 模型估计结果窗口 点击 View 选 representation 功能可得到 VA

5、R 的代数式输出结果。8.1.2 VAR 模型的特点是： (1)不以严格的经济理论为依据。 在建模过程中只需明确两件事：共有哪些变量是相互 有关系的，把有关系的变量包括在 VAR 模型 中；确定滞后期 k。使模型能反映出变量间相互影响的绝大部分。（ 2）VAR 模型对参数不施加零约束。 （对无 显着性的参数估计值并不从模型中剔除，不分 析回归参数的经济意义。 ）（3） VAR 模型的解释变量中不包括任何当 期变量，所有与联立方程模型有关的问题在 VAR 模型中都不存在 （主要是参数估计量的非 一致性问题）。（4） VAR 模型的另一个特点是有相当多的 参数需要估计。比如一个 VAR 模型含有三

6、个 变量，最大滞后期 k = 3，则有 k N 2 = 3 32 = 27 个参数需要估计。当样本容量较小时，多数参 数的估计量误差较大。（ 5）无约束 VAR 模型的应用之一是预测。 由于在 VAR 模型中每个方程的右侧都不含有 当期变量，这种模型用于样本外一期预测的优 点是不必对解释变量在预测期内的取值做任何 预测。（ 6）用 VAR 模型做样本外近期预测非常 准确。做样本外长期预测时，则只能预测出变 动的趋势，而对短期波动预测不理想。西姆斯（Sims）认为VAR模型中的全部变量都是内生变量。近年来也有学者认为具有单 向因果关系的变量，也可以作为外生变量加入 VAR 模型。附录：（ fil

7、e:B8c1 ）VAR 模型静态预测的 EViews 操作：点击 Procs选Make Model功能。点击Solve。在出现 的对话框的 Solution option （求解选择） 中选择 Static solution （静态解）。VAR 模型动态预测的 EViews 操作：点击 Procs选Make Model功能（工作文件中如果已 经有 Model ，则直接双击 Model ）。点击 Solve。 在出现的对话框的 Solution option （求解选择） 中选择 Dynamic solution （静态解）。注意：Model窗口中的第一行， “ ASSIGN ALL F ”表示

8、模拟结果保存在原序列名后加 F 的新序列中，以免原序列中的数据被覆盖掉。静态预测的效果非常好。动态预测的表现 是前若干期预测值很接近真值，以后则只能准 确预测变化的总趋势，而对动态的变化特征预 测效果较差。综上所述，用 VAR 做样本外动态 预测 1， 2期则预测效果肯定是非常好的。8.2 VAR 模型稳定的条件VAR 模型稳定的充分与必要条件是(1 见(8.3) 式)的所有特征值都要在单位圆以内 (在 以横轴为实数轴， 纵轴为虚数轴的坐标体系中， 以原点为圆心， 半径为 1 的圆称为单位圆) ，或 特征值的模都要小于 1。1先回顾单方程情形。以 AR(2) 过程 yt = 1 yt-1 +

9、2 yt-2 +ut(8.11)为例。改写为(1- 1 L - 2 L 2) yt = (L) yt = ut (8.12)yt稳定的条件是 (L) = 0的根必须在单位圆以 外。2对于 VAR 模型，也用特征方程判别稳 定性。以(8.3)式，Yt = c + i Yt-i + ut,为例， 改写为(I -1 L) Yt = c + ut(8.13)保持 VAR 模型稳定的条件是 | I -1L | = 0 的根都在单位圆以外。| I - iL| = 0在此称作相 反 的 特 征 方 程 ( reverse characteristic function )。(第 2 章称特征方程)例 8.1

10、 以二变量( N = 2)， k = 1 的 VAR模型u1t(8.14)y1t 5/81/2yi,tiy2t= 1/45/8Y2,ti+ u2t5/8 1/21L | =其中1 = 1/4 5/8为例分析稳定性。相反的特 征方程是1 0(5/8)L (1/2)L0 1(1/4)L (5/8)L=(1- (5/8) L)2 - 1/8 L 2(8.15)=(1-0.978 L) (1- 0.27 L) = 0 求解得L 1 = 1/0.978 = 1.022, L 2 = 1/0.27 = 3.690因为L 1, L 2都大于1，所以对应的VAR模型 是稳定的。3. VAR模型稳定的另一种判别

11、条件是， 特征方程I 1 - I | = 0的根都在单位圆以内 特征方程|1 - I | = 0的根就是1的特征值。例8.2仍以VAR模型(8.14)为例，特征方 程表达如下：5/8 1/21/45/85/81/21/45/8(5/8 - )2 -1/8 = (5/8 - )2 1/8)2=(0.978 - ) (0.271 - ) = 0(8.16)得 1 = 0.9786, 2 = 0.2714。1,2 是特征方程| 1 - I | = 0的根，是参数矩阵1的特征值。因为 1 = 0.978, 2 = 0.271，都小于 1，该 VAR 模型是稳定的。注意：(1) 因为 L1=1/0.97

12、8 =1/ 1, L2 =1/0.27=1/ 2, 所以特征方程与相反的特征方程的根互为倒数，L = 1/。(2) 在单方程模型中，通常用相反的特征方程 (L) = 0的根描述模型的稳定性，即单变量 过程稳定的条件是(相反的)特征方程(L) = 0 的根都要在单位圆以外；而在VAR模型中通常用特征方程|1 - I | = 0的根描述模型的稳定性。VAR模型稳定的条件是，特征方程|1 - I | = 0的根都要在单位圆以内，或相反的 特征方程| I -L 1 | = 0的根都要在单位圆以 外。4 .对于k1的k阶VAR模型可以通过 友矩 阵变换(companion form )，改写成1阶分块

13、矩阵的VAR模型形式。然后利用其特征方程的根判别稳定性。具体变换过程如下。 给出 k 阶 VAR 模型，Yt = c+1 Yt-1 +2 Y t-2 + + k Y t-k + ut(8.17) 再配上如下等式，Yt -1 = Yt -1Yt -2 =Yt -2Yt -k +1 =Yt - k +1把以上 k 个等式写成分块矩阵形式，Ytcni口2nk 1nkYt 1utYt 10I000Yt 20Yt 2=0+0I00Yt 3+0MYt k 1 NK 10 NK 100I 0 NK NKYt k NK 10 NK 1(8.18)其中每一个元素都表示一个向量或矩阵。令Yt = (Yt-1Yt-

14、2 Yt-k+1) NK 1C = (c 00 0) NK 1ni巴nk imI000A = 0I00NK NK00Ut = (ut 00 0) NK 1上式可写为Yt = C + A Y t -1 + Ut （8.19） 注意， 用友矩阵变换的矩阵（向量）用正 黑体字母表示。 k 阶 VAR 模型用友矩阵表示成 了 1 阶分块矩阵的 VAR 模型。例如，2 变量 2 阶 VAR 模型的友矩阵变换 形式是 其中等式的每一个元素（项）都表示一个 4 1 阶向量或 4 4 阶矩阵。YtYt 1c0+Yt 1 + utYt 20(8.20)例如，2 变量 3 阶 VAR 模型的友矩阵变换 形式是Yt

15、c123Yt 1utYt i =0+I00Yt 2+ 0(821)Yt 200I0Yt 30其中等式的每一个元素（项）都表示一个 6 1 阶向量或 6 6 阶矩阵。VAR 模型的稳定性要求 A 的全部特征值， 即特征方程 | A - I | = 0 的全部根必须在单位 圆以内或者相反的特征方程 | I - L A | = 0 的全 部根必须在单位圆以外。注意：特征方程中的A是Nk Nk阶的 特征方程中的I也是Nk Nk阶的。以2阶VAR模型的友矩阵变换为例，I I - AL| =02lILiL=I -1 L -2 L2 = 0(8.22)的全部根必须在单位圆以外。以3阶VAR模型的友矩阵变换为

16、例，I0 0| I - AL| =0I 0I 00L00 I0I 0I1L2L3L二ILI00ILI=| I-1 L -2 L2-3 L3 | = 0 (8.23)的全部根必须在单位圆以外。因此，对于k阶VAR模型的友矩阵变换 形式，特征方程是，| I -1 L -2 L 2 -k L k I = 0 (8.24)附录：求VAR模型特征根的EViews 4.1操作：在VAR模型估计结果窗口点击 View选LagStructure, AR Roots Table功能，即可得到VAR模型的全部特征根。若选 Lag Structrure, AR Roots Graph 功能，即可得到单位圆曲线 以及

17、VAR模型全部特征根的位置图。VAR Stability Condition CheckRoots of Chara匚t巳risti匚 PolynomialEr dog 朗 mie 阳価川閔：IJNGP LNCP LNIPExogsrious variables: CLag specification: 1 3Date 05/16/05 Time: 22:23RootModulus1.0154971.0154970.466948 - 0.673264i0.8193440 46694B +0 673264)0.8193440.605736O.0O573E-0.220604 - 0 4807521

18、0 636232-0 220604 +0 4SS752i05362320 44019404401940.158644 - 0 229352i0 2789070 158844 +0.229352i027B987Warning: Al least one root outside the unit circle. VAR does not satisfy the sta bi I it y co rid itionIn verse Roots of AR Characteristic Polyno mialVAR Stability Condition CheckRoots of Characte

19、ristic PHynonnial Endogenous variables PHO QHO NHO Exogenous Yariible8： CLag 即ecificalion: 1 8Date： 05/1M5 Time： 22:19RootModulus 841175-0.4913431 9741630.841175+0.491343) 9741630.966912 9669120.9446240.9446240.414063 +0.79351210.3954180.414863 0.7935121 3954180768707 +CL4324怕 i.062064-0766787-0.432

20、41010.902054 115255 + 0.817329i0.92541601115256-0,8173291 32S415-0.462531-0.6S2775! 3082110.4K2531 +0.68277510.908211-0.146717-0.7B5193i0.7987930.146717 +0.795193!0.7967B30.692431 - 0.337520i0.7934940.692431 十 0.387520!0.7934940.756B83 - 0.22727510.7091210L7556B3 十 D.227275i0.7091210764318 +Q10Bie?i

21、771657-0764310 -0.106167i.7716570 090582 十 0,56723110 594176.090582 - 0.507231!0.594176*0.419544 + 0.37563910.56317E0.419544 - 0.37969910.563176No root lias outside the unit circle. VAR satisfies lhe stability condilion.Inverse Roots of AR Characteristic Polynomial8.3 VAR模型的稳定性(stability )特征现在讨论VAR模

22、型的稳定性特征。稳定性是 指当把一个脉动冲击施加在 VAR模型中某一 个方程的新息(inn ovation )过程上时， 随着 时间的推移，这个冲击会逐渐地消失 。如果是 不消失，则系统是不稳定的。下面分析一阶VAR模型Yt = c+ 1 Yt-1 + ut(8.29)为例。当 t = 1 时，有Y1 = c + 1 Y0 + u1(8.30)当 t = 2 时，采用迭代方式计算，Y2 = c += (I +1 Y1 + u2 = c +1) c + 12 Y0 +1 (c + 1 Y0 + u1) + u21 u1 + u2(8.31)当 t = 3 时，进一步迭代，Y3 = c +1 Y2

23、 + u3= c +21 (l +1) c +12 Yo +1 u1+ u2 + u3= (l +1 +12) c +13 Yo +12 u1 +1 u2 +u3(8.32)对于 t 期，按上述形式推导 t 1 iYt =(l+ i + i2 + + it-1)c + itYo+i 0n1 ut-i(8.33) 由上式可知， 10 = l 。通过上述变换，把 Yt 表示成了漂移项向量 、初始值向量 Y0 和新 息向量 ut 的函数 。可见系统是否稳定可以通过 观察漂移项向量c、初始值向量Yo和新息向量 ut 经受冲击后的表现。假定模型是稳定的，将有如下 3 个结论。 (1)假设 t = 1 时

24、，对 c 施加一个单位的冲击， 那么到 t 期的影响是(I +1 +12 + + 1t-1)当 t 时，此影响是一个有限值， (I -1) -1。(2)假设在初始值 Y0 上施加一个单位的冲击。到t期的影响是It。随着t , It 0,影响消失(因为对于平稳的 VAR 模型， 1 中的 元素小于 1,所以随着 t ,取 t 次方后,1t0)。t 1 i(3)从i0nii ut-i项可以看出，白噪声中的冲t1击离t期越远，影响力就越小。n 1 = (I - 1)-1,i0t 1 i称作长期乘子矩阵，是对 i 0n 1 Ut-i求期望得到 的。对单一方程的分析知道，含有单位根的自 回归过程对新息中

25、的脉动冲击有长久的记忆能 力。同理，含有单位根的 VAR 模型也是非平 稳过程。 当新息中存在脉动冲击时， VAR 模型 中内生变量的响应不会随时间的推移而消失。平稳变量构成的一定是稳定 ( stability )的模型，但稳定的模型不一定由平稳变量构成。也 可能由非平稳( nonstationary )变量(存在协 整关系)构成。8.4 VAR 模型滞后期 k 的选择建立 VAR 模型除了要满足平稳性条件外， 还 应该正确确定滞后期k。如果滞后期太少，误差项的自相关会很严重，并导致参数的非一致 性估计。正如在第 4 章介绍 ADF 检验的原理 一样，在 VAR 模型中适当加大 k 值(增加滞

26、 后变量个数) ，可以消除误差项中存在的自相 关。但从另一方面看， k 值又不宜过大。 k 值过 大会导致自由度减小，直接影响模型参数估计 量的有效性。下面介绍几种选择 k 值的方法。1) 用 LR 统计量选择 k 值。 LR (似然比)统 计量定义为，22LR = - 2 (log L(k) - log L(k+1) )(N2) (8.34)其中 log L(k) 和 log L(k+1) 分别是 VAR( k) 和 VAR( k+1) 模型的极大似然估计值。k 表示VAR 模型中滞后变量的最大滞后期。LR 统计量渐近服从 2(N2) 分布。显然当 VAR 模型滞后 期的增加不会给极大似然函

27、数值带来显着性增大时，即LR统计量的值小于临界值时，新增 加的滞后变量对 VAR模型毫无意义。应该注 意，当样本容量与被估参数个数相比不够充分 大时，LR的有限样本分布与LR渐近分布存在 很大差异。2) 用赤池(Akaike)信息准则(AIC)选择 k值。AIC = log + 辛(8.34)其中Ut表示残差，T表示样本容量，k表示最大 滞后期。选择k值的原则是在增加k值的过程 中使AIC的值达到最小。EViews 3.0的计算公式是log L 2kAIC = -2 T +3) 用施瓦茨(Schwartz )准则(SC)选择k 值。T1?2 klogTSC = log(8.35)其中Ut表示残

28、差，T表示样本容量，k表示最大 滞后期。选择最佳k值的原则是在增加k值的过程中使SC值达到最小EViews 3.0的计算公式是log L klogTSC =-2 +T例8.3以第8章案例为例，k =1、2、3、4时的 logL、Akaike AIC 和 Schwarz SC 的值见 下表。VAR(1)VAR(2)VAR(3)VAR(4)logL184.6198.9200.0207.8-2 (log L(k) - log28.62.215.62(9)=L(k+1)16.9Akaike AIC-7.84-8.27-8.09-8.23Schwarz SC-7.36-7.41-6.85-6.6VAR

29、Lag Order Slettiar CniariaEndogenous variables: LNGP LNCP LN IPExogenous variables: CDate: 05f25/05 Time Z3:52Sampler 1963 1907Included obser/ation&- 42La aLogLLR0 12 322 ytiULIJMA7 75E-05-0.951430-0.3273110 905935175.5519276 06258.34E-0a-77631677.291710-7.606203196.769233.67880*4 93E-D8*8.321857*-7

30、.453032*-8003404*199 96546.409457G.31 E-08-8.093591-G .852398-7.G38G45FPEAICSCHQindicates order selected by the criterionLR: sequential modified LR tesl statistic (each test at 5% level)FPE: Final predictiori errorAIC: Akaike information criterionSC: Schwarz irfarmatiori criterionHQ Hannan-Quinn inf

31、ormaliori criterion建立滞后2期的VAR模型是可以的附录：考察VAR模型最大滞后期的EViews 4.1操 作：在VAR模型估计结果窗口点击 View选 Lag Structure, Lag Lengyh Criteria功能， 即可得到5个评价统计量的值。8.5 VAR模型的脉冲响应函数由于VAR模型参数的OLS估计量只具有一 致性，单个参数估计值的经济解释是很困难的。 要想对一个VAR模型做出分析，通常是观察 系统的脉冲响应函数（1）脉冲响应函数。脉冲响应函数描述一个内生变量对误差冲击 的反应。具体地说，它描述的是在随机误差项 上施加一个 标准差大小 的冲击后对内生变量的

32、 当期值和未来值所带来的影响。对于如下VAR模型，t表示GDP， y2, t表 示货币供应量，j y1, t = C1 + 11.1 y1, t-1 + 12.1 y2, t-i + ui t、 y2, t = C2 + 21.1 y1, t-1 + 22.1 y2, t-1 + U2 t（8.36）在模型（8.36）中，如果误差U1t和U2t不相 关，就很容易解释。uit是yi, t的误差项；U2t是 y2, t的误差项。脉冲响应函数衡量当期 uit和U2t 一个标准差的冲击 分别对 GDP 和货币存量的 当前值和未来值的影响。对于每一个 VAR 模型都可以表示成为一个 无限阶的向量 MA(

33、 )过程。具体方法是对于 任何一个VAR(k)模型都可以通过友矩阵变换 改写成一个 VAR(i) 模型(见 8.i.2 节)。Yt = Ai Yt -i + Ut(I - L A i) Yt = UtYt = (I - L A i)-i Ut=Ut + A iU t-i + Ai2 Ut-2 + + Ais Ut-s + 这是一个无限阶的向量 MA( s)过程。或写成，Yt+s = Ut+s + AiUt+s -i + Ai2 Ut+s -2 + + Ais Ut + 全部的移动平均参数矩阵用改用j, (j=i, s)表示，Yt+s =Ut+s+ iUt+s -i +2 U t+s-2 + +

34、 sUt + (8.37) 其中i = Ai,2 = Ai2, , s = Ai s,显然，由 (8.37)式有下式成立，_ Yt ss = Uts中第i行第j列元素表示的是，令其它误差 项在任何时期都不变的条件下，当第j个变量yjt对应的误差项ujt在t期受到一个单位的冲击 后，对第i个内生变量yit在t + s期造成的影响。把s中第i行第j列元素看作是滞后期 s 的函数严,s = 1,2, 3,jt称作脉冲响应函数 (impulse-response function)，脉冲响应函数描述了其它变量在t期以及以前各期保持不变的前提下，yi,t+s对uj, t 时一次冲击的响应过程。对脉冲响应

35、函数的解释出现困难源于实际中 各方程对应的误差项从来都不是完全非相关 的。当误差项相关时，它们有一个共同的组成 部分，不能被任何特定的变量所识别。为处理 这一问题，常引入一个变换矩阵M与ut相乘，vt = M u t (0,)从而把ut的方差协方差矩阵变换为一个对角矩 阵。现在有多种方法。其中一种变换方法称 作乔利斯基（ Cholesky ）分解法，从而使误差 项正交。原误差项相关的部分归于 VAR 系统中的第 一个变量的随机扰动项。在上面的例子里，u1 t和U2t的共同部分完全归于 Ult，因为Ult在U2 t、彳、八之前。 虽然乔利斯基分解被广泛应用，但是对于共 同部分的归属来说， 它还是

36、一种很随意的方法。 所以方程顺序的改变将会影响到脉冲响应函 数。因此在解释脉冲响应函数时应小心。注意：对于Ut中的每一个误差项，内生变量 都对应着一个脉冲响应函数。这样，一个含有 4个内生变量的 VAR 将有 16个脉冲响应函数。附录： VAR 模型残差序列及其方差、协方 差矩阵的求法。点击VAR窗口中的Procs键，选Make Residuals （生成残差）功能，工作文件中就会 生成以residOI, resid02, 为编号的残差序列 （残差序列的顺序与 VAR 模型估计对话框中 输入的变量顺序相一致），并打开残差序列数 据组窗口。在这个残差序列数据组窗口中点击 View键，选择Cova

37、riances功能，即可得到残差序列的方差、协方差矩阵。选择Correlation功能，即可得到残差序列的相关系数矩阵。Coriance MatrixRESID01RESID02RESID03RESID0125 85272-.56293*7.166736RESID027 1667366.190975Coirelation MdUixRESID01RESID02RESID03RESIDQ11 .DOOQOO-0.002836-0.232497RESID021.0000000.2S1936RESID03-0.232497.2616351.000000附录：脉冲响应的EViews操作（file:VA

38、R01）点击VAR窗口中的Impulse键。在随后弹 出的对话框中做出各项选择后点击0K键。例8.4美国民用燃油价格、生产量、储量的脉冲响应图图3图1表示美国民用燃油价格（PHO ）分别 对燃油价格（PHO ）、生产量（QHO ）、储量 （NHO）3个方程相应新息过程一个标准差冲击的响应图 2 表示美国燃油生产量 （QHO ）分别对 燃油价格（PHO ）、生产量（QHO ）、储量（NHO ） 3 个方程相应新息过程一个标准差冲击的响 应。图 3 表示美国燃油储量 （ NHO ）分别对燃 油价格（ PHO ）、生产量（ QHO ）、储量（ NHO ） 3 个方程相应新息过程一个标准差冲击的响 应

39、。8.6 格兰杰非因果性检验VAR 模型还可用来检验一个变量与另一个 变量是否存在因果关系。经济计量学中格兰杰（ Granger ）非因果性定义如下：格兰杰非因果性：如果由yt和xt滞后值所决 定的 yt 的条件分布与仅由 yt 滞后值所决定的条 件分布相同，即（yt yt -i,xt -i,）=（yt yt -1,）,（8.38） 则称Xt -1对yt存在格兰杰非因果性。格兰杰非因果性的另一种表述是其它条件 不变，若加上Xt的滞后变量后对yt的预测精度 不存在显着性改善，则称xt-1 对 yt 存在格兰杰 非因果性关系。为简便，通常总是把 xt-1 对 yt 存在非因果关 系表述为xt (去

40、掉下标-1 )对yt存在非因果关 系(严格讲， 这种表述是不正确的) 。在实际中， 除了使用格兰杰非因果性概念外，也使用“格 兰杰因果性”概念。顾名思义，这个概念首先 由格兰杰( Granger 1969 )提出。西姆斯( Sims 1972)也提出因果性定义。这两个定义是一致 的。根据以上定义， xt 对 yt 是否存在因果关系的 检验可通过检验 VAR 模型以 yt 为被解释变量 的方程中是否可以把xt 的全部滞后变量剔除掉而完成。比如 VAR 模型中以 yt 为被解释变 量的方程表示如下：kkyt = i 1 i yt i + i 1 i xt i + u1 t (8.39) 如有必要，

41、常数项，趋势项，季节虚拟变量等 都可以包括在上式中。 则检验 xt 对 yt 存在格兰 杰非因果性的零假设是H0:1 =2 =k = 0显然如果( 8.39)式中的 xt 的滞后变量的回归参数估计值全部不存在显着性，则上述假设不能被拒绝。换句话说，如果Xt的任何一个滞后 变量的回归参数的估计值存在显着性，则结论 应是Xt对yt存在格兰杰因果关系。上述检验可 用F统计量完成。(SSEr SSEU)/k F = SSEu (T kN)其中SSEr表示施加约束(零假设成立)后的 残差平方和。SSEu表示不施加约束条件下的残 差平方和。k表示最大滞后期。N表示VAR模 型中所含当期变量个数， 本例中N

42、 = 2，T表示 样本容量。在零假设成立条件下，F统计量近似服从F( k, T - k N )分布。用样本计算的 F值如 果落在临界值以内，接受原假设，即Xt对yt不 存在格兰杰因果关系。例 8.5 :( file: stock )以 661 天(1999.142001.10.5)的上海(SH)和深圳(SZ) 股票收盘价格综合指数为例，7 0 06 0 05 0 04 0 03 0 0 SZ _ SH1 0 02 0 03 0 04 0 05 0 06 0 02 0 0 015 0 010 0 0滞后10期的Gran ger因果性检验结果如下:(当概率小于0.05时，表示推翻原假设)Paiiv

43、/iso Granger Causality TestsDate: 06/1B/04 Timo: 19:56Sample: 1 661Lags；: 10Null Hypothesis：ObsF-StatisticProbabilitySHriot Granger Csuse SZ511.363750.19316SZ doet not Grainger Cause SH23.43950.00000上表中概率定义为，P(F1.36) = 0.19316图示如下：图7P(F23.44) = 0.00000因为F值(1.36)落在原假设接受域，所 以原假设“上海股票价格综合指数对深圳股票 价格综合指数

44、不存在 Granger因果关系”被 接受。因为F值（23.44）落在原假设拒绝域，所 以原假设“深圳股票价格综合指数对上海股票 价格综合指数不存在Granger因果关系”被推 翻。附录：格兰杰因果关系检验EViews操作方法是，打开数剧组窗口，点 View键，选Granger Causility。在打开的对话 窗口中填上滞后期（上面的结果取滞后期为 10），点击0K键。用滞后5, 10, 15, 20, 25期的检验式分别检 验，结果见下表：k=5k=10k=15k=20k=25H0 : SH does not Gran ger1.081.361.211.291.40接受HCause SZHo

45、 : SZ does not Gran ger43.923.415.912.610.3拒绝H0Cause SH结论都是上海股票价格综合指数不是深圳 股票价格综合指数变化的原因，但深圳股票价 格综合指数是上海股票价格综合指数变化的原 因。注意：（ 1）滞后期 k 的选取是任意的。 实质上是一 个判断性问题。一般来说要试检验若干个不同 滞后期 k 的格兰杰因果关系检验，且结论相同 时，才可以最终下结论。（2）当做 xt 是否为导致 yt 变化的格兰杰原 因检验时，如果 zt 也是 yt 变化的格兰杰原因， 且 zt 又与 xt 相关，这时在 xt 是否为导致 yt 变化 的格兰杰因果关系检验式的右

46、端应加入zt 的滞后项（实际上是 3 个变量 VAR 模型中的一个 方程）。（3）不存在协整关系的非平稳变量之间不能 进行格兰杰因果关系检验。8.7 VAR 模型与协整如果 VAR 模型Yt =1 Yt-1 +2 Yt-1 + + kYt-k + ut,utIID （0, ）的内生变量都含有单位根，那么可以用这些变 量的一阶差分序列建立一个平稳的 VAR 模型Yt=1*Yt-1 +2*Yt-2 +k*Yt-k + ut*然而，当这些变量存在协整关系时，采用 差分的方法构造 VAR 模型虽然是平稳的，但 不是最好的选择。如果 Yt I(1) ，且非平稳变量间存在协整 关系。那么由这些非平稳变量组

47、成的线性组合 则是平稳的。建立单纯的差分 VAR 模型将丢 失重要的非均衡误差信息。因为变量间的协整 关系给出了变量间的长期关系。同时用这种非 均衡误差以及变量的差分变量同样可以构造平 稳的 VAR 模型。从而得到一类重要的模型， 这就是向量误差修正模型。对于 k 阶 VAR 模型，Yt =1 Yt-1 +2 Yt-2 + +k Yt-k + ut，其向量误差修正模型 (VEC )的表达式是 k-I )Yt-1-(2+ 3+ k)Yt-1Yt=( 1+ 2+ +-(3 + k)k Yt - (k-1) +ut(8.45)ki 1 i - I =i1k+ k- Iij1j = 1, 2,k-1,

48、 ，Yt-2 -Yt=Yt-i + i Yt-i + 2 Yt-2 + + k-1 Yt - (k-1) + ut(8.47)称为压缩矩阵(impact matrix ,影响矩 阵)。 是全部参数矩阵的和减一个单位阵。为多项式矩阵，其中每一个元素都是一个多 项式。运算规则于一般矩阵相同。滞后期的延 长不影响对协整向量个数的分析。根据 Granger 定理，向量误差修正模型( VEC )的表达式是A?(L) (i- L) Yt = Yt-i + d (L) ut(8.48)其中A?(L)是多项式矩阵A(L)分离出因子(1- L) 后降低一阶的多项式矩阵，d (L)是由滞后算子 表示的多项式矩阵。

49、上式与 (8.47) 式完全相同。其中A?(L) (i- L) Yt = A?(L) Yt= Yt- 1 Yt-1 - 2 Yt-2 -k-1 Yt - (k-1) d(L) ut = ut在这里 d (L) 退化为单位列向量。若 Yt CI(1, 1)，比较 (8.47) 和 (8.48) 式 必然有其中 是协整矩阵， 是调整系数矩阵。 和 都是 N r 阶矩阵。表示有 r 个协整向量， 1,2，r，存在r个协整关系。因为Yt 1(1), 所以 Yt I(0) 。从 VAR 模型变换为模型向量误差修正模 型 称 为 协 整 变 换 ( cointegrating transformation

50、 )。压缩矩阵 决定模型 VAR 模型中是否存在，以及以什么规模存在 协整关 系。若 Yt CI(1, 1) ， Yt I(0) ，所以除了 Yt-1 ， 模型中各项都是平稳的。 而对于 Yt-1 有如下三 种可能。1 )当 Yt 的分量不存在协整关系， 的特 征根为零， = 0。2) 若 rank ( ) = N (满秩)，保证Yt-1 平稳的唯一一种可能是 Yt I(0) 。3) 当Yt 1(1)，若保证Yt-i平稳，只有 一种可能，即 Yt 的分量 存在协整关系 。Yt I(0)rank ( ) =r N, 可以分解= 和 都是 N r 阶矩阵。 其中 是协整矩阵，是调整系数矩阵。表示有

51、 r 个协整向量，2,r，存在个协整关系。假定 Yt I(1) 具有一般性。 如果某个变量 的单整阶数高于 1，可通过差分取其相应单整 阶数为 1 的序列加入模型。上式也可以加入位 移项与趋势项。若 = 成立，且存在 r 个协整关系，则 Yt-1 的一般表达式是Yt-1 =Yt-1y1,t 1111r111Ny2,t 1212rN1Nr Nr1 rrN r NyN,t 1 N 1111r11 y1,t 1. 1NyN,t 1212rr1y1,t 1. rNyN,t 1 r 1N1NrNrr111 (11 y1,t 1 .1N yN,t 1)1r (r1y1,t 1 .rN yN,t 1)N1(

52、11 y1,t 1 .1N yN,t 1)Nr (r1 y1,t 1 .rN yN,t 1) N 18.8 单位根与降秩的关系。下面分析 VAR 模型中存在单位根与压缩 矩阵 降秩的关系。以 k = 1 的 VAR 模型为例，Yt = 1 Yt-1 + ut （8.56）它的 VEC 表达式是Yt= Yt-1 + ut。如果 VAR 模型中存在单位根， 一定降秩 。8.9 VAR 模型中协整向量的估计与检验8.9.1 VAR 模型中协整向量的估计 （略 ）8.9.2 VAR 模型中协整向量的检验检验存在 r 个协整向量 （存在 r 个协整关系 ）， 即（N -r）个非协整向量，或者（N -r）个单 位根，可以表达为特征方程 | - I | = 0 相应（ N -r ）个特征值，r+1,n，为零。几个等价检验 :1）存在r个协整关系也特征方程|- I | = 0存在 r 个非零特征值 （根 ）2）存在r个协整关系幻VA