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文档简介

1、Poisson方程五点差分格式例题及解答写在前面本文针对偏微分方程数值解中出现的一道例题进行分析，详细介绍了五点差分格式的公式推导及应用。例题在单位正方形Q：0<x<1,0<y<1上，"u=-16,(x,y)WQdu'u|x=L=0，cdyb=i=-ududu、dxx=o=dyy=o=0在Q上布置以人=1为步长的正方形网格，写出五点差分格式解上述问题的方程组。解题过程1个边界点。首先计算内点：对于9个正则内点Uij,i=1,2,3;j=1,2,3，由五点差分格式公式可以得到：1ui+1,j+ui,j+1+ui,j-1+ui-1,j4ui,j=16X42

2、=1(1)即：4ui,j-(ui+1,j+ui,j+1+ui,j-1+ui-1,j)=1,i,j=1,2,3再计算边界点：对于下边界dyy=0=0,用一阶中心差商代替一阶偏导数，得到ui,1-ui,-12h=0,即Ui,i=Ui,1,又因为J=0时，4ui,0-(ui+1,0+ui,1+ui,-1+ui-1,0)=1,代入ui,i=ui,1得到11)2ui,0(2ui+1,0+ui,1+2ui1,012,i=1,2,3(2)对左边界dxL=o=o,同理得到:11)2u0,J(2u0,J+1+u1,J+2u0,J112,J=1,2,3(3)du1对上边界dyy=1=U,用一阶中心差商代替一阶偏导

3、数，得至Ui,5=Ui,31Ui,4,所以得到:94ui,4112ui+1,4+ui,3+2ui1,412,i=1,2,3(4)对点uo,o=(0,0),根据下边界和左边界的式子，可以分别得到:2u0,0112u1,0+u0,1+2u1,012,2u0,0112u0,1+u1,0+2u0,112,=1以及内点差分方程4u0,0(u1,0+u0,1+u0,1+u1,0)可得:11u0,02u1,02u0,11=4.12,对点U0,4,同理可由左边界和上边界的式子分别得到:112u0,4(2u0,5+u1,4+2u0,3以及内点差分方程94u0,4112u1,4+u0,3+2u-1,412,114u0,4-(u1,4+u0,5+u0,3+u-1,4)=1.11可得：191118u0,4-2u1,4-2u0,3=4.总结在运用五点差分格式时，要把握好对初值及边值条件的求解，其步骤一般为:1. 作草图，找正则内点和边界点；2. 代入五点差分格式公式，得到正则内点表达式；3. 分别根据边值及初值条件计算边界上的点和

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