2.1.多元函数的概念ppt课件

1、 7.2 多元函数的概念一、多元函数的定义二、二元函数的极限与连续性nnR. 1维空间维空间即即维维空空间间，记记作作合合称称为为的的全全体体组组成成的的集集元元有有序序实实数数组组由由,R),(21nnnxxxn,2,1,R),(R21nixxxxinn 间的距离定义为间的距离定义为与与中任意两点中任意两点维空间维空间个点的坐标分量个点的坐标分量就是这就是这个实数个实数也称为这个点的坐标也称为这个点的坐标中的一个点中的一个点称为称为其中每个有序数组其中每个有序数组),(),(R., )(R),(21212121nnnnnnyyyQxxxPnxxxnxxx一、多元函数的定义2222211)()

2、()(nnyxyxyxPQ 2.n 2.n 元函数定义元函数定义定义定义7.27.2记为记为元函数元函数上的上的定义在定义在为为则称对应规则则称对应规则唯一地确定一个实数唯一地确定一个实数都能有都能有内每一个点内每一个点使得对于使得对于应规则应规则若有一个对若有一个对中的一个非空点集中的一个非空点集是是设设,),(,21nDfyfDxxxPDfRDnn Dxxxxxxfynn ),(, ),(2121DPPfy , )(或或. )(,),21fDDyxxxn一一般般记记为为称称为为函函数数的的定定义义域域点点集集称称为为因因变变量量称称为为自自变变量量（其其中中有有时时记记为为数数值值所所对对

3、应应的的函函称称为为,),(),(2121nnxxxxxxf),(21),(21nxxxxxxfyn 即即值值域域的的称称为为函函数数为为全全体体函函数数值值的的集集合合，记记, )(ffR)(),( , ),()(2121fDxxxxxxfyyfRnn .统称为多元函数统称为多元函数二元与二元以上的函数二元与二元以上的函数.,即对应规则和定义域即对应规则和定义域个要素个要素多元函数的概念包含两多元函数的概念包含两3. 二元函数的定义域与几何图形二元函数的定义域与几何图形 给定一个多元函数，则其定义域也相应给定，给定一个多元函数，则其定义域也相应给定， 若从实际问题中建立一个多元函数，则该函数

4、若从实际问题中建立一个多元函数，则该函数的自变量有其实际意义，其取值范围亦即函数的的自变量有其实际意义，其取值范围亦即函数的定义域要符合实际定义域要符合实际. . 若是用解析式表示的函数，它的定义域就是使若是用解析式表示的函数，它的定义域就是使解析式中的运算有意义的自变量取值全体，通常需解析式中的运算有意义的自变量取值全体，通常需要我们去确定要我们去确定. .),ln(yxz 0),()( yxyxfD),arcsin(22yxz 1),()(22 yxyxfD例如，例如，,DouglasCobb, LKCY 函数为函数为生产生产著名的著名的在西方经济学中在西方经济学中 设长方体的长、宽、高分

5、别为设长方体的长、宽、高分别为 x, y, z, 则则长方体的体积长方体的体积 V = xyz，这是关于，这是关于 x, y, z 的三的三元函数，元函数，例例1 1例例2 2,的的二二元元函函数数这这是是一一个个关关于于LK,均均为为常常数数表表示示生生产产量量函函数数资资本本数数量量分分别别表表示示劳劳动动力力数数量量和和其其中中 CYLK. 0,0),( LKLK它的定义域为它的定义域为. 0, 0, 0),( zyxzyx其其定定义义域域为为例例3 3.,122的的示示意意图图并并作作出出的的定定义义域域求求函函数数DDyxz 解解由函数表达式知由函数表达式知,0122 yx. 1),

6、(22 yxyxD故故.的图形如图所示的图形如图所示D,122 yx即即xyO11 解解要是函数有意义，必须要要是函数有意义，必须要 010022yxxyxy故定义域故定义域 1, 0, 0),(22 yxxyxyyxDD 的图形如图阴影部分所示的图形如图阴影部分所示.例例4 4.,1)ln(22的示意图的示意图并作出并作出的定义域的定义域求函数求函数DDyxxyxyz xy11 Oxy 例例5 5即上半球面即上半球面分分上方的部上方的部单位球面）在单位球面）在半径为的球面（称为半径为的球面（称为表示以原点为中心表示以原点为中心二元函数二元函数,122xOyyxz 它的定义域它的定义域 D 是

7、是 xOy 平面上的以原点为中心的单平面上的以原点为中心的单位圆位圆.xyz)1 , 0 , 0()0 , 1 , 0()0 , 0 , 1(O例例6 6,22上上的的平平面面是是定定义义在在整整个个二二元元函函数数xOyxyz ., )(如图所示如图所示马鞍面马鞍面抛物面抛物面它表示通过原点的双曲它表示通过原点的双曲xyzO1. 二元函数的极限二元函数的极限二、二元函数的极限与连续性)()()(lim00PPApfAPfPP 或或者者上面的极限若用点的坐标表示就是上面的极限若用点的坐标表示就是Ayxfyxyx ),(lim),(),(00,)(,)(00APfPDPDPDPf无限趋于数无限趋

8、于数时时且无限趋于且无限趋于当当的定义域是平面区域的定义域是平面区域设函数设函数 记记为为收收敛敛于于时时也也称称时时的的极极限限当当是是则则称称,)(,)(00APfPPPPPfA注意：注意：.)(,)(00为为极极限限都都以以时时任任意意不不同同路路径径趋趋于于内内沿沿着着在在区区域域是是指指：收收敛敛于于时时APfPDPAPfPP .)(, )()(,)(,00的的极极限限不不存存在在或或散散发发不不收收敛敛时时则则称称的的极极限限不不同同时时内内沿沿着着不不同同的的路路径径趋趋于于在在区区域域若若PfPfPPPfPDP例例7 7判断下列极限是否存在，若存在求出值：判断下列极限是否存在，

9、若存在求出值：;1lim)1(22)0,0(),(yxyx . 0, 0, 0,),(, ),(lim)2(222222)0,0(),(yxyxyxxyyxfyxfyx其中其中;lim)3(222)0,0(),(yxxyyx .sinlim)4()2,0(),(xxyyx解解,)0 , 0(),(,)1(时时当当如如图图可可知知yx,1122 yx.11lim22)0,0(),( yxyx因此因此,)00(),(2时时，轴轴趋趋于于沿沿着着当当）（xyx,0,0,0 xxy这时这时0lim),(lim220)0,0(),(0)0,0(),( yxxyyxfyyxyyxxyz)1 , 0 , 0

10、()0 , 1 , 0()0 , 0 , 1(O,0),(lim,0)0,0(),( yxfkkxyyx时时当当21kk 22)0 , 0(),()0 , 0(),(lim),(limyxxyyxfkxyyxkxyyx 22220limxkxkxx .),(lim)0,0(),(不不存存在在yxfyx,),()0 , 0(),(,的的极极限限不不同同时时使使得得因因此此存存在在不不同同的的方方式式yxfyx,)00(),(时时，的直线趋于的直线趋于沿着斜率为沿着斜率为当当kyx,0, xkxy这时这时.0lim222)0 , 0(),( yxxyyx,)0 , 0(),(,22222的的有有界

11、界量量时时是是可可知知这这时时由由 yxyxxyxyyx,0,)0 , 0(),()3(22 yxyx时时当当,)0 , 0(),(时时的的无无穷穷小小量量是是而而yxy可得可得有界量仍然是无穷小量有界量仍然是无穷小量因此根据无穷小量乘以因此根据无穷小量乘以yyx)2,0(),(lim ,)2 , 0(),()4(时时当当yxxxyxxyyxyx)2,0(),()2,0(),(limsinlim 因因此此,sin,0 xyxyxy . 2 2. 二元函数的连续性二元函数的连续性定义定义7.37.3),(),(,),(),(,),(),(00000000000yxfyyxxfzzyxfyyxxy

12、xyxyxPyxfz 的改变量的改变量得到函数得到函数这时这时的定义域的定义域属于属于使得使得一个改变量一个改变量分别给分别给个邻域内有定义个邻域内有定义的某的某在点在点设二元函数设二元函数).,(),(lim,0lim0000)0,0(),()0,0(),(yxfyyxxfzyxyx 即即如如果果. )(),(),(,),(),(0000不不连连续续处处间间断断在在否否则则称称处处连连续续在在则则称称yxyxfyxyxfz .)(2tan22的连续范围的连续范围指出指出 yxz例例8 8解解,1,0,212tan可知可知的定义域为的定义域为由由 kkuuz, 3, 2, 1, 12)(2tan2222 kkyxyxz的定义域为的定义域为,)(2tan22是初等函数是初等函数由于由于 yxz.,所所示示其其连连续续范范围围如如图图处处处处连连续续因因此此在在定定义义域域的的区区域域内内xyO性质性质7.17.1.),(,),(, ,),(,