物理试验的基本知识

1、第一局部物理实验的根本理论教学目的：1. 了解科学实验的重要性，明确物理实验课程的地位、作用和任务。2. 了解测量的根本知识，掌握不确定度的计算。3. 理解实验数据的根本处理方法，明确进行实验的根本程序及要求。内容提要：本局部主要讨论进行物理实验所需要具备的有关 知识，包括物理实验的目的和任务，测量和误差的根本概念，误差的分类和计算， 有效数字及运算，测量结果的评价与表示，数据处理的根本方法，进行物理实验 的程序及考前须知。其中，重点是直测量的不确定度确实定，难点是间测量的不 确定度的计算。第一节物理实验课的目的和任务一、理论与实践的关系科学的开展历史已经证明：科学的理论来源于科学的实践，并指

2、导我们的实 践，而且要受到实践的检验，在实践中不断地修正、补充和完善。对于科学研究 来讲，科学实验是最重要、最根本的实践活动。而且，随着社会的开展和研究的 深入，科学实验的这种重要性和根本性越来越突出。科学实验是根据一定的研究目的，通过积极的构思，利用科学仪器设备等物 质手段，人为地控制和模拟自然现象，使自然过程或生产过程以比拟纯粹的或典 型的形式表现出来，从血在冇刑条件匚探索3然规律的一种研丸方法。科学实验的主要任务，是研究人类尚未认识或尚未充分认识的自然过程，发 现未知的自然规律，创立新学说，新理论，研制创造新材料、新方法、新工艺， 为生产实践提供科学的理论依据，促进生产技术的进步和革命，

3、提高人们改造自 然的能力物理理论也是通过由物理实践到物理理论，再由物理理论到实践这样的辩证 过程建立和开展起来的。通过对物理学历史地、全面地考察可以发现，物理学本 质上是一门实验科学。首先，物理概念的建立、物理规律的发现依赖于物理实验， 是以实验为根底的；其次，已有的物理定律、物理假说、物理理论还必须接受实 验的检验，如果正确就予以确定，如果不正确就予以否认，如果不完全正确就予 以修正。例如，普朗克在黑体辐射实验的根底上提出了能量子概念，爱因斯坦通 过分析光电效应现象提出了光量子；伽利略用新创造的望远镜观察的木星有四个 卫星后，否认了地心说；杨氏双缝干预实验证实了光的波动假说的正确性。可以 说

4、，物岬.学的每一软进步都离不歼真验C二、物理实践的根本类型在进行物理实践的过程中，由于所涉及的研究对象、实践的目的、采用的研 究方法、获得的结论的层次等方面特征的不同，我们通常将物理学的实践活动分 为观察和实验两种根本类亟卜面就简述其概念和rnL_观察所谓观察就是对自然界中发生的某种现象，在不改变其自然条件的情况下， 按照原来的样子加以研究的过程。比方，我们对天空观察后发现，睛朗无云的天 空是蓝色的；通过对气候的观察发现，一年可以分为春、夏、秋、冬四季。观察 的特征是：1现象是在自然状态下发生的，通常没有人为限制。因此，一般地讲， 观察这种实践活动是简便易行的，是一种可以经常进行的实践活动，也

5、是对现象 进行深入研究的根底。在科学实践中，养成观察的习惯，掌握观察的方法，对一 个科学研究者来说是极其重要的素质之一。2 一般来讲，影响自然现象的因素是 多而复杂的，通过观察只需对现象作定性研究，即了解影响现象的主要因素及大 致关系。其研究是不够准确、深刻的。二实验所谓实验那么是在人工控制的条件下，抑制次要因素，突出主要因素，使现象 能够向着更加直接、更加单纯的方向进行，并能反复重演，从而借助仪器设备对 影响现象的因素进行测量的研究过程。实验的特征是：1 可以按照研究的需要和目的人为地简化和控制现象发生和进行的条件。其目的是为了突出主要因素，排除或减少次要因素的干扰和影响， 使过程的 进行更

6、直接、更纯粹，以获得明确的结果。可见，实验也是物理学中一种重要的 研究方法，实验对物理学的开展起着十分重要的作用，过去是这样，现在是这样，将来也一定是这样。比方，伽利略用落体实验驳倒了亚里士多德的“重的物体落 得快，轻的物体落得慢的说法；他在斜面实验的根底上指出：力不是维持运动 的原因，物体的运动不需要力来维持。我们知道是伽利略开创了物理学的实验方 法，也正是因为实验方法的引入才使物理学真正成为一门科学。牛顿“最伟大的 宇宙定律的正确性，是因为它能计算出哈雷慧星的运行周期约76年，解释了 潮汐现象，指出了当时太阳系中还应有所谓冥王星、海王星的存在。伟大的詹 姆斯克拉克麦克斯韦于1864年将电和

7、磁“合在了一起，把描述电学规律和 磁学规律的关系式总结为优美的麦克斯韦方程组，他由此预言了电磁场和电磁波， 指出光是一种电磁波。而这一结论的正确性是在经过了 24年一一也是麦克斯韦逝 世1879年9年之后的1888年，才由赫兹实验向世界宣布的。我们现在的粒子物理学理论是以物质的夸克模型为根底的，即是说，如果找不到这六种组成物质的夸克上夸克，下夸克，奇异夸克，粲夸克，底夸克，顶夸克；或者说，即使找到了其中的五个，粒子物理学的现行理论也将重建。因 此，从1964年提出夸克模型后，许多著名的物理学家都开始致力于寻找夸克的工 作。到1976年就已经找到了前五种夸克，而顶夸克却不见踪迹，但科学家们并不

8、气馁。幸运的是，到1993年至1994年间科学家们终于找到了顶夸克的踪迹，1995 年3月2日美国科学家正式向世界宣布了顶夸克已被捉到。 此外，值得一提的是： 世界科学界最崇高的奖励一一诺贝尔奖，一般都授予与实验有关的科学发现。2实验中，一般都需要对现象进行定量研究。即对影响现象发生的因素进行测量，以获得较为精确的结论或规律。现在， 几乎所有物理问题最终都要被定量化。正因为如此，物理学才成为一门定量的精 确的科学。物理学家们在长期的研究实践中，不仅创造了巧妙而丰富的实践方法， 而且在进行物理问题的定量化的过程中，还创造了许多物理学特有的研究方法。 所有这些，不仅对物理学，而且对自然科学的其他学

9、科，以及工程技术和社会科 学、社会生活的各方面都具有重要的作用和意义。物理实验在探索和研究新科技领域，在推动其他自然科学和工程技术的开展 中，同样起着重要的作用。自然科学迅速开展，新的科学分支层出不穷，但根底 学科就是数学和物理两门，物理实验是研究物理测量方法与实验方法的科学，物 理实验的实验技术和测量方法具有特殊的根本性和普遍性：力、热、电、光都有； 具有根本性一一它是其他一切实验的根底；同时它还具有通用性一一实用于一切 领域，很多工程技术问题或研究课题，如果把它们分解开来，实质上就是一些物 理问题。在工程技术领域中，研制、生产、加工、运输等都普遍涉及物理量的测 量及物体运动状态的控制，这正

10、是成熟的物理实验的推广和应用。现代高科技发 展，设计思想，方法和技术也来源于物理实验，因此，物理实验是工程技术和高 科技开展的根底。综上所述，对一个高等工科院校学生来讲，不管专业如何，大学物理实验都 是一门重要的根底课程。对于我们高等工科学校的学生来讲，了解和掌握这些进 行实验研究的方法和技巧，不仅对物理学理论的学习是重要的，而且对后续课程 的学习，尤其是对将来所从事的实际工作所需要具备的能力和素质来讲，也是十 分必要的。因此，物理实验应该是工科学生的一门独立的必修课程。二、物好实验谍廉的任务大学物理实验与大学物理理论课一起构成了高等工科学生必修的根底物理学 的整体。理论课主要注重对物理概念、

11、物理规律的讨论和学习，训练学生的理论 思维方法；实验课那么主要以实际动手实验为教学手段，对学生进行全面而系统的 实验方法和实验技能训练。它们具有同等重要的地位，具有深刻的内在联系。1987 年国家教委公布的?高等工业学校物理实验课教学的根本要求?，1995年经修订后，重新公布了?高等学校工科本科物理实验课程教学根本要求?，明确 了本课程的教学任务是：使学生在中学物理实验的根底上，按照循序渐进的原那么， 学习物理实验知识和方法，得到实验技能的训练，从而初步了解科学实验的主要 过和和根本方法，为今后的学习和丄作奠定虑好的实验根底具匚体任务建：1. 通过对实验现象的观察、分析和对物理量的测量，学习物

12、理实验知识，加 深对物理学原理的理解。2. 培养和提高学生的科学实验能力。包括：(1) 能够通过阅读实验教材或资料，作好实验前的准备；(4) 能够正确记录和处理实验数据，绘制曲线，说明实验结果，撰写合格的实 验报告;(5)3. 培养和提高学生科学实验的作风和素养。主要是理论联系实际、实事求是 的工作作风，一丝不苟、严肃认真的工作态度，积极主动的探索精神，遵守纪律、 团结协作、保护公共财物的优良品德。比方，伦琴在研究阴极射线的时候，偶然 观察到阴极射线管附近的荧光板发光，正是他实事求是、一丝不苟、严肃认真的 品格才使他认识到了 X射线的存在；开普勒(Kapler)在其老师弟谷大量的天文 观测资料

13、(700多颗星体)的根底上，经过近二十多年的不懈研究、分析计算才总 结出了行星三大定律。在近现代物理学研究中，如果一个物理学工作者没有高度 的合作精神，他是很难取得成就的。第二节测量与误差由物理实验的特征可以看出，实验离不开测量，测量是实验的根本任务。下 面就讨论一下测量与误差的根本概念，以及误差的类型。一、测量与误差的根本概念1. 测量：是借助仪器，通过一定的方法，将待测量与一个选作标准单位的同 类量进行比拟的过程。其比值即是该被测量的测量值。记录下来的测量结果应该 包含测量值的大小和单位，二者缺一不可。按测量的方式，测量可分为直接测量 和间接测量；按测量的条件分，测量可分为等精度测量和不等

14、精度测量。2. 直接测量：是指待测物理量的大小可以从选定好的测量仪器或仪表上直接 读出来的测量。相应的待测物理量称为直接测量量。例如，用米尺测长度，用秒 表测时间，用电表测电压、电流，用温度计测温度等。3间接测量：是指待测量需要根据其他物理量的直接测量值，通过一定的 函数关系，才能计算出来的测量。相应的待测量称为间接测量量。例如，如果先测量出圆柱体的底面直径D和高h，再利用V = 1二D2h计算其体积。在这一测量4中，对D和h是直接测量，对V那么是间接测量。在实验中我们发现，直接测量是 间接测量的根底。然而，对一个给定的待测物理量，它属于直测量，还是属于间 测量，与待测量本身没有直接联系，而是

15、取决于实验方法的采用和实验仪器、仪 表的选用。比方，用伏安法测电阻时，电阻是间测量；而当使用欧姆表和电桥作 测量仪器时，电阻为直测量。4. 真值：被测物理量所具有的、客观的、真实的数值。记为X。严格地讲， 真值只是一个理想化定义，真值是不能获得的。5. 测量值：被测物理量通过测量所获得的数值。记为X。一般地，X总是不会等于真值的，只能接近真值。6. 平均值：在相同条件下，对某物理量进行的一组 n次测量的值X1、X2、 X3、之和再除以测量次数n。记为X。即1 nXX i。n i 4对这组测量来讲，X是最接近真值的，故又称为测量的最正确值或近真值。它与真 值的关系为lim X = X0。n 二因

16、此，常用X代替Xoj7. 误差：测量值Xi与真值X0之差。记为*。即；j-X0。由于真值是不能获得的，因此，严格的误差也是不能求得的。8. 偏差(残差)：测量值Xi与平均值X之差。记为j即 X 二 Xi-X。由于可用X近似代替X。，故通常也可用代替；i。即，一般情况下，我们 说的误差都是指的偏差。三、误差的分类研究测量误差是物理实验的重要内容，在物理实验中，由于测量对象、测量 仪器、实验方法、测量环境、观测者等因素的作用，测量结果与真值之间总存在 一定的差值。根据引起误差的主要因素的不同，一般将误差分为系统误差、随机 误差和疏失误差三大类。这种划分及其相应的概念，虽然与现在广泛采用的描述 测量

17、结果的不确定度概念之间不一定存在简单的对应关系，甚至有些概念还是不 太严格的。但是作为思维和理解的根底，还是作一了解为好。1. 系统误差定义：在相同的条件下，屡次测量同一物理量时，假设误差的大小及符号都保 持不变或按一定规律变化，这种误差称为系统误差。特征：系统误差是具有系统性和方向性的。来源：(1)仪器。由于仪器本身的缺陷或没有按照规定条件使用仪器而造成 的，如零点偏离、安装错误、元件老化等。(2) 环境。实验条件不能到达理论公式所规定的要求，如温度、湿度、 气压、电源等条件对实验条件的偏离。(3) 方法。测量所依据的理论公式本身的近似，或测量方法所带来的等。(4) 观测者。观测者本身生理或

18、心理特点造成的，如动态滞后、读数有偏大或偏小的痼癖等。规律：(1)定值。如零点不准。(2) 累积性的。如用受热的钢卷尺测长度。(3) 周期性的。如秒表转轴不在表盘的几何中心。系统误差是测量误差的重要组成局部，在任何一项实验工作和具体测量中， 首先要想方法，最大限度地消除或减少一切可能存在的系统误差。消除系统误差，首先要找到引起系统误差的原因，针对性地采取措施；或者对测量结果进行修正。 发现系统误差需要改变实验条件和测量方法，反复进行比照，系统误差的减小或 消除是比拟复杂的问题。2. 随机误差定义：在相同条件下，屡次测量同一物理量时，假设误差的大小和符号都不确 定，这种误差称为随机误差。特征：单

19、次测量的随机误差是无法预测的。来源：(1)环境。如温度、气压等的波动。(2)观测者。如读数不稳定。规律：对单次测量的随机误差虽然无法确定，对屡次测量来讲，随机误差的 分布却是服从一定的统计分布规律的。当测量次数很多时，可近似为统计分布中 的正态分布。其概率密度函数的特征如下图。其中：；为随机误差；f ；为误差分布的概率密度函数，它表示在误差为；附近单位误差间隔内出现随机误差为；的测量的几率。了解正态分布是很有意义的，这一方面是因为实际测量分布很多都可近似为 正态分布，或是以正态分布为极限的；另一方面正态分布是一种连续型分布，便 于处理，而且对它的研究是比拟全面的，再加之，许多实际分布的处理都是

20、以正 态分布为根底的。通过对正态分布情况下误差的概率密度分布图的分析可知，正态分布具有如下三大特点：(1) 单峰性。随机误差的绝对值小的测量比绝对值大的测量出现的几率大。 这一特点说明实际的测量是有意义的。(2) 对称性。随机误差绝对值相等的测量出现的几率相同。 这一特点告诉我们， 在屡次测量中用测量列的平均值 X代替真值X。是可以的。(3) 有界性。在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不超过一定限度，这 一特点为我们提供了去除粗大误差的依据，以使测量结果更趋于有意义。分析研究测量的随机误差是处理实验数据， 并从中寻找出具有的规律性的东 西，评定测量结果的重要内容。因此，了解随机误差计算的意义

21、，掌握其计算方 法是非常重要的。3. 疏失误差定义：实验中，由于实验设计、方法的选择、仪器使用、数据读取和记录等错误引起的测量结果的明显歪曲，这种由错误引起的误差叫疏失误差。由定义可以看出，严格地讲，疏失误差应叫作错误，它是通过实验者的主观 努力能够克服的。而系统误差和随机误差是客观的，不可防止的，只能通过实验 条件的改善和实验方法的改良予以减小，它们是由客观环境和人的感官的局限决 定的。根据学生实验的根本要求和主要目的，下面我们将主要讨论随机误差(简称 误差)的计算问题。第三节误差的估算由于物理量的数值的获得途径有直接测量和间接测量两种，无论直测量，还 是间测量都有误差，误差的计算也分两种情

22、况。广义地讲，两种情况的处理都属 于误差计算。然而，间测量是由直测量决定的，以直测量为根底的，间测量的误 差是由直测量通过给定的函数关系确定的。因此，狭义地讲，常把直测量的误差 计算称为误差计算，而将间测量的误差计算叫误差传递。此外，由于严格意义上 的误差是无法计算的，因而只能通过各种方法进行近似计算，故将误差计算称为 误差的估算，而且可有多种方法进行估算。下面就介绍几种常用的误差估算方法。一、直测量的误差估算1. 算术平均误差在测量列中，各次测量的误差的绝对值的算术平均值叫算术平均误差。记为X。n按定义KX =送Xi -X。n i 二n或 X = Xin i=其中 X Xi - X。当n较大

23、时，可用下式估算为z Xi -XX = fJn(n T )此法比前法得到的偏差要大些。2. 绝对误差误差的绝对值叫绝对误差。狭义的绝对误差， 如上面的Xi， X。而广义的 绝对误差还有后面要讨论的Sx，二x，二，Q等。3.绝对误差与平均值的百分比叫相对误差，又叫百分误差。记为Er。其估算方法为Er100%。X广义地讲，后面要讨论的Sx、二等都可叫相对误差。X X3. 标准误差实验标准差二 x按定义，标准误差是测量列中各次误差的方均根，记为匚X。即.I I i需要注意的是，上式是在测量次数很多时，测量列按正态分布时所得到的结果。 实际上，由于真值无法获得，而测量次数也只能是有限的。因此，标准误差

24、 二x只能通过偏差进行估算。常用的估算方法有：最大偏差法、极差法、Bessel法等，它们的估算结果根本一致。应用上，一般使用Bessel方法。由统计理论可推导出，对有限次测量的Bessel标准偏差Sx的计算公式n2' Xi -X 。 n -1 i 吕Bessel公式为：1柩 x- E Xi I n -1 i£n lim丿即最后是用Sx代替匚x。通常所说的标准误差，实际上是 Sx。4. 算术平均值的标准差算术平均值的标准差与实验标准差的关系为1SxSxVn类似的关系还冇算术平均值的平均差与算术平均差的关系1XXV n而且 X : 0.80Sx。二、间测量的误差计算误差的传递上面

25、所讨论的误差计算方法是对直测量而言的，在此根底上我们可以进一步 讨论间测量的误差计算问题。我们知道，间测量是由直测量通过一定的函数关系 决定相应的间测量的误差，它们之间的这种关系叫误差的传递，相应的计算公式 叫误差传递公式。下面我们首先讨论误差传递公式的一般形式，然后再将其运用 于一些具体情况。1. 误差传递公式的一般形式设间接测量量f与彼此独立的直接测量量x、y、z只取3个间的函数关系为f = fx,y,z测量结果用平均值和绝对误差表示为x = x - x其中,f = f x, y,z。将f x,y,z在x, y, z点按泰勒级数展开有-z-:z_ _ _f-f_f x,y,z = f x,

26、y,z x-x y-y ；x；y+高阶小量将此结果与前面假定关系式f二f 一廿比拟，忽略高阶小量，并考虑到误差传递 中通过组合可能产生的最大值，取间测量的绝对误差为-y相对误差为讦=ex :x-'z根据标准差的定义，由上述展开式，在考虑到x, y,z是彼此独立的情况，可相对形式为其中兰、虫丄分别为兰、血丄在x,y,z A处的*exexexex为了较好地使用标准误差的传递公式，需要说明的是：1如果f由x, y, z按加减关系确定时，常用标准误差传递的绝对形式计2如果f由x, y,z按乘除住系请定时，常厂i吴养传递.的相炖疗式计車3如果x, y, z彼此不独立，还需计算相关系数协方差。例如

27、：假设f =xy , 当x = y 仅数值相等时的误差传递，与取x = y x与y完全相关后f =x2的 误差传递是不一样的。因为，当f = x *y时有再取x二y时，化为二、2壬而当fx=x2时x可见，前者在取X二y时，仅为数值上相等，而它们仍是彼些独立的两个变量；而 后者，那么为完全相关，即X与y为同一个变量了，故结果也不一样了。2 误差传递公式的具体形式为了实际计算方便，我们将一些常见函数关系确定的误差传递公式列于下函数关系一般误差传递公式标准差传递公式f = x ± yf = Ax + Ay0f =店；十砒f =x *yfAx 十 Ayfxyf =kxAf =k5 =kjf

28、=vxf1Ax fkxaf _1 J f 一 k * xxpyq f -：zfZAyAz=p +q 十 r fxyz何丫何丫 U2 ix丿丿iz丿f =sin xf = cosxpxf = C0SXCrxf = l n xAf =xj x第四节测量结果的评定在对物理量进行测量后，应对测量结果作出正确的、合理的评定与表述，在 给出最后结果时，不仅要给出被测物理量的最正确值，还要指出其具有一定置信水 平的测量值对真值的取值范围，这是很重要的。至今为止，已建立的评定方法有两种，可称之为传统方法和现代方法。传统 方法讨论的是已定系统误差已被尽可能地消除了或减少了或修正了，主要是估算 随机误差，不考虑未

29、定系统误差如由观测对象引起的误差；现代方法不 确定度，那么能全面地分析各种因素对误差的影响，进而进行统一评定。下面首先讨论上述两种评定方法，其后再介绍测量结果的表述和相应的置 信水平。一、 传统的评定方法评定测量结果的传统方法，通常是用精密度、准确度和精确度三个概念来说 明。1 精密度：描述测量可重复性的程度， 是指重复测量所得结果相互接近的程 度。它反映了随机误差的大小，测量的精密度高，是指测量数据比拟集中，那么测 量的重复性好，各次测量结果误差的分布密集，随机误差较小。因此，精密度反 映了随机误差对测量影响的大小。可由测量仪器的最小测量单位确定。2 准确度：是指测量值与真值之间符合的程度。

30、它反映了系统误差的大小， 测量的准确度高，是指测量数据的平均值偏离真值较小，测量结果与真值接近的 程度好，测量结果的系统误差较小。因此，准确度反映的是系统误差对测量影响 的大小。由于可知的系统误差可以修正，因此准确度一般表示仪器误差的大小，测量 仪器和测量方法一经选定，测量的准确度就确定了。用同一台仪器对同一物理量 进行屡次测量，只能确定其重复性的好坏，而不能确定其准确度；一台仪器的精 密度高不一定准确度高， 如果是一台比拟粗糙的仪器， 也能做到测量的精密度高， 但仪器本身和测量方法限制了测量的准确度；使用准确度高的仪器，有时即使测 量的精密度较低，其测量结果也有可能是准确的。3精确度：是对测

31、量的随机误差与系统误差的综合评定，是综合评定测量 结果的重复性与接近真值的程度的。测量的精确度高，是指测量数据比拟集中在 真值附近，即测量的系统误差和随机误差都比拟小。 精密度高， 不一定准确度高 反之，准确度高，不一定精密度高。而精确度高就是精密度和准确度都高。以上 定义都与真值相连，但是，由于真值是一个理想化的概念，无法直接定义操作， 而且上述评价方式都为定性概念，在应用上准确度很难定量化。二、不确定度的评定方法关于测量的不确定度，国内外早就有人使用，只是因为对其概念和计算没有 形成统一规定，处于混乱状态，无法进行交流。为了解决这一问题，一九八零年 国际计量局召集了一个国家标准实验室的专家

32、进行合作研究，讨论提出了?实 验不确定度的规定建议书?，经过进一步研究后，又于1993年提出了“测量不确 定度表示指南。现在，国际上已开始广泛使用。(一) 不确定度的概念1. 不确定度：用于表示测量结果可能出现的具有一定置信水平的误差范围的 量。常记为二。由定义可见，此概念是一个更全面、更准确的概念。其实，我们后面将要讨 论的X，衣，Sx等都局部地具有这样的作用和含义。2. 说明：(1) 二的大小反映了测量结果的可信赖的程度。二小,说明测量更接近真值， 可信程度高。测量误差在所确定的范围内出现的可能性是很大的，但不一定为100%(2) 不确定度的产生原因不仅涉及测量仪器、测量装置、测量方法、环

33、境和 观测者，还包括测量对象的影响。即涉及整个测量系统。(3) 不确定的数值一般包含几个分量，按照它们的数值评定方式，可分为两 类，常称为A类和B类。即，A类 用统计方法确定的分量；B类一一用其他方法确定的分量。可见，要计算不确定度，首先要求出所有的A类和B类分量，然后再合成不 确定度二。3. 不确定度与误差的关系不确定度是在误差理论的根底上开展起来的。不确定度和误差既是两个不同 的概念，有时相互联系的。误差是一个理想化的概念。根据传统的误差定义，由于真值是未知的，那么误 差也是未知的，是不可能准确求得的。因此，一般无法表示测量结果的误差。不 确定度那么是表示由于误差的存在而对被测量值不能确定

34、的程度，反映了可能存在 的误差分布范围，表征被测量的真值所处的量值范围的评定，所以不确定度能够 更准确的用于测量结果的表示。误差和不确定度都是由测量过程的不完善引起的，不确定度概念和体系是在 现代误差理论的根底上建立和开展起来的，在估算不确定度时，用到了描述误差 分布的一些特征参量，因此两者不是割裂的。不确定度的引入并不意味着误差需放弃使用。实际上，误差仍可用于定性的描述理论和概念的场合；不确定度那么用于给出具体数值或进行定量运算、分析的 场合。(二) 不确定度的计算1 A类分量的计算按照国际计量局发布的“实验不确定度的规定建议书第2条规定，用标准差来表征A类分量的数值，相应的计算公式前面已讨

35、论了。2. B类分量的计算按照“建议书第3条之规定，B类分量的数值用近似标准差Uj来表征。 规定为测量的极限误差,.：Bj与的或假定的测量误差的统计分布规律所对应的 分布因子KB.之商。即Uj'：Bj爲那么，*和Kb如何确定呢？jjKb确实定jKb.的意义为，对一组测量乂 并知道其分布规律，如果取误差范围为KB Sx，那么落在此误差范围的测量的几率置信水平为P%可见，要确定KB， 应先知道测量的误差分布规律，还要确定测量所要求的置信水平。对具体实验， Kb.的一般确定方法为：Ja. 如果某组测量的次数很多，而误差的数值相差不大，可将其分布视为正态 分布，那么当 KB=1 时，P=68.

36、3;当 KB =2时，P=95.4;当 KB =3时，P=99.7。一 般取 Kb. =2或 Kb. =3。b. 如果测量在一定范围内各处出现的几率差不多，可近似为均匀分布。例如,用数字式仪表、带传动齿轮的仪器测量时，其读数在一定区间为一个定值，故其 误差分布为均匀分布。只要取 KBj =、3，就可使P：TOO；c. 对于不能确切掌握的误差分布如测量次数不多时，可近似为均匀分布。 如果取Kb.= 3，也可使置信水平到达较高程度。可见，均匀分布是物理实验中 的一种重耍分彳仁2gj旳禎定亠.是指实验中所涉及仪器引起的最大误差，其具体计算通常是很复杂的。一股悄况可按如下方法确定ca. 可直接取仪器出

37、厂检定书或仪器上注明的仪器的误差。即二Bj =匚仪。b. 对量具仪表可取其最小刻度的一半。即亠=最小刻度/2。jC.对电子类仪表可由其准确度级别 K和量程确定为二 B.=量程 X K%j其中K的值标在仪器上，有 0.1、0.5、1.0、1.5、2.0、2.5等。3.合成不确定度T合成方法：不同类分量按方和根合成；同类独立分量按方和根合成，否那么还 需计算协方差。下面讨论简单情况下的计算方法。设测量结果的不确定度的 A分量和B分量的表征值分别为S 1、S2、$、 ；U 1、U、4、；且彼此独立，那么S2=e s2。u 2=e u2。 合成不确定度为c =s - u 2。(T = . s2 U 2

38、。当进行的测量只有一次时，取 s=o,那么c =U=二 Bj / K Bj。可以证明，对均匀分布情况，此结果的 c与标准差相同，均为c = p (b _ a )。J12其中，b - a为仪器的最小分度值。4. 总不确定度(又叫展伸不确定度)总不确定度为合成不确定度c乘以一个分布因子K)。即Q=K p c。在特殊情况下，需要用总不确定度表示测量结果时，应指明&的值。K p的值由测量的误差分布规律决定，一般界于正态分布与均匀分布之间，可 取 W3,这与要求的置信水平有关。例如，要求 P=95时，可取K=2。5. 不确定度的传递不确定度的A分量、B分量和合成不确定度c的传递满足标准差的传递关

39、系 (如何计算？步骤怎样?)6. 应用条件(1) 不考虑过失误差。(2) 不考虑规律性变化的系统误差。二、测贤结果的表述_设待测量为f，平均值为f，算术平均差为f，标准差为Sf，不确定度为 J，总不确定度为Qf，贝U测量结果表示为f =f 土 讦(57.5%)f = f ± Sf(68.3%)f = f 土二 ff = f ± Qf = f ± Sf。一般情况下，计算f和不确定度时，不确定度的数值只保存 1位，最多不超过两 位。例1:用毫米刻度的米尺，测量物体长度十次，其测量值分别为l (cm)=53.27，53.25，53.23，53.29，53.24，53.2

40、8，53.26，53.20，53.24，53.21 试计算合成不确定度，并写出测量结果。解:1 计算I的近真值1 101Ili (53.2753.25 53.23 巧3.21) = 53.24(cm)n 1102. 计算A类不确定度c j 1 * 2_=7'(53.27 53.24)2 +(53.25 53.24)2 + +(53.21 53.24)2si = ：2-i _ X )=十n -1 i 110 -1二 0.03(cm)3.4.5.计算B类不确定度BjBj最小刻度/230.05cm=0.03 cm合成不确定度J -；'Sl2= .0.032 0.032 =0.04(c

41、m)测量结果的标准式为I =53.24 ± 0.04(cm)第五节有效数字及其运算实验离不开测量，测量是借助仪器读取数据，测量的结果总有误差。那么, 实验中如何读取数据，测得的数据如何进行运算，才能既方便，又具有合理的准 确度呢？这就是有效数字及其运算所要讨论的问题。下面就作简要介绍。一、冇敎数字的意义1.在实验中，使用仪器读取待测量的数值时，所读取的数字的准确程度直接 受仪器本身的精密度一一最小刻度的限制。为了获得较好的测量结果，在读取数 字时，我们通常的作法是：首先读出能够从仪器上直接读出的准确数字，对余下 局部再进行估计读数。即将读数过程分为直读和估读。例如，如图2所示，用米尺

42、测量一物体的长度时，物体的长度在7.47.5厘米之间。那么首先直读，可以 直接读出的局部准确数字应为 7.4cm ;然后估读，估计余下局部约为 0.5mm即0.05cm;物体的长度为7.45cm。贝匚其中7.4cm局部为可靠数字，0.05cm部 分为存疑数字。2. 效数字的定义我们把通过直读获得的准确数字叫做可靠数字；把通过估读得到的那局部数 字叫做存疑数字。把测量结果中能够反映被测量大小的带有一位存疑数字的全部 数字叫有效数字。如上例中测得物体的长度7.45cm。数据记录时，我们记录的数据和实验结果的表述中的数据便是有效数字。3. 说明(1) 实验中的数字与数学上的数字是不一样的。如8.35

43、=8.350=8.3500 ,8.35 工 8.350 工 8.3500。(2) 有效数字的位数与被测量的大小和仪器的精密度有关。如前面长度为 7.45cm的物体，假设用千分尺来测，其有效数字的位数有五位。(3) 第一个非零数字前的零不是有效数字。(4) 第一个非零数字开始的所有数字(包括零)都是有效数字。(5) 单位的改变不影响有效数字的位数。因此，实验中要求尽量使用科学计数法表示数据。女口 100.2m可记为0.1002km。但假设用cm和mm作单位时，为10020cm 和100200mm就改变了有效数字的位数。采用科学计数法就不会产生这个问题了。即1.002 102m=1.002 104

44、km=1.002 104 cm=l.002 105mm(6) 有效数字与不确定度的关系。有效数字的末位是估读数字，存在不确定性。一般我们的不确定度的有效数 字只取一位时，任何测量结果，其数值的最后一位应与不确定度所在的那一位对 齐。由于有效数字的最后一位是不确定度所在位，因此有效数字在一定程度上 反映了测量值的不确定度(或误差限值)。测量值的有效数字位数越多，测量的相 对不确定度越小；有效数字位数越少，相对不确定度就越大。一般来说，两位有 效数字对应于10-110-2的相对不确定度，三位有效数字对应于10-210-3的相对不确定度，依次类推。可见，有效数字可以粗略反映测量结果的不确定度。二、运

45、算规那么一般来讲，有效数字的运算过程中，有很多规那么。为了应用方便，我们本着实用的原那么，加以选择后，将其归纳整理为如下两类。1.(1) 可靠数字之间运算的结果为可靠数字。(2) 可靠数字与存疑数字，存疑数字与存疑数字之间运算的结果为存疑数字。(3) 测量数据一般只保存一位存疑数字。(4) 运算结果的有效数字位数不由数学或物理常数来确定，数学与物理常数的 有效数字位数可任意选取，一般选取的位数应比测量数据中位数最少者多取一位。1例如：可取二=3.14或3.142或3.1416；但在公式 E 1 mv2中计算结果 2不能由于“ 2的存在而只取一位存疑数字，而要根据m和v来决定。(5) 运算结果将

46、多余的存疑数字舍去时应按照“四舍六入五凑偶的法那么进行 处理。即小于四那么舍；大于六的入；等于五时， 根据其前一位按奇入偶舍处理(等 几率原那么)。例如，3.62化为3.62，4.2理那么化为4.24。3. 具体规那么(1) 有效数字相加(减)的结果的末位数字所在的位置应按各量中存疑数字所 在数位最前的一个为准来决定。例如30.4 _26.65_+ 4.325 _- 3.905_34.725_22.745取 30.4+4.325=34.乙 26.65-305=22.74_：(2) 乘(除)运算后的有效数字的位数与参与运算的数字中有效数字位数最少 的相同。由此规那么(2)可推知：乘方、开方后的有

47、效数字位数与被乘方和被开方之数 的有效数字的位数相同。(3) 指数、对数、三角函数运算结果的有效数字位数由其改变量决定。 例如： 35.580中存疑数字为0.08，那么Sin35.58°= ?我们将35.58°的末位数改变1后比 较，找出Sin35.580发生改变的位置就能得知。因为， Sin35.580.58183911，而 Sin35.590 =0.58198105，那么 Sin35.580 =0.5818。(4) 有效数字位数要与不确定度位数综合考虑。一般情况下，表示最后结果的不确定度的数值只保存1位，而最后结果的有效数字的最后一位与不确定度所在的位置对齐。如果实验测

48、量中读取的数字没有 存疑数字，不确定度通常需要保存两位。但要注意：具体规那么有一定适用范围，在通常情况下，由于近似的原因，如 不严格要求可认为是正确的。第六节数据处理的根本方法 前面我们已经讨论了测量与误差的根本概念，测量结果的最正确值、误差和不 确定度的计算。然而，我们进行实验的最终目的是为了通过数据的获得和处理， 从中揭示出有关物理量的关系，或找出事物的内在规律性，或验证某种理论的正 确性，或为以后的实验准备依据。因而，需要对所获得数据进行正确的处理，数 据处理贯穿于从获得原始数据到得出结论的整个过程。包括记录、整理、计算、 作图、分析等方面的处理方法。常用的方法有：列表法、图示法、图解法

49、、逐差 和最小二乘法线性拟合等，下面分别予以简单讨论。一、列表法列表法是将实验所获得的数据用表格的形式进行排列的处理方法。列表法的作用有两种：一是记录实验数据，二是能显示出物理量间的对应关系。 其优点是, 能对大量的杂乱无章的数据进行归纳整理，使之既有条不紊，又简明醒目；既有 助于表现物理量之间的关系，又便于及时地检查和发现实验数据是否合理，减少 或防止错误；同时，也为作图法等处理数据奠定了根底。用列表的方法记录和处理数据是一种良好的科学工作习惯，要设计出一个栏 目清楚、行列清楚的表格，也需要在实验中不断训练，逐步掌握、熟练，并形成 习惯。一般来讲，在用列表法处理数据时，应遵从如下原那么：(1

50、)栏目条理清楚，简单明了，便于显示有关物理量的关系。(2) 在栏目中，应给出有关物理量的符号，并标明单位 (一般不重复写在每个 数据的后面)。(3) 填入表中的数字应是有效数字。(4) 必要时要加以说明。例如，用螺旋测微计测量钢球直径的数据列表处理如下。用螺旋测微计测量钢球直径的数据记录:二 0.004mm次数初读数(mm)未读数(mm)直径(mm)偏差(mm)10.0046.0025.998+0.001320.0036.0005.997+0.000330.0046.0005.996-0.000740.0046.0015.997+0.000350.0056.0015.996-0.000760.

51、0046.0005.996-0.000770.0046.0015.997+0.000380.0036.0025.999+0.002390.0056.0005.995-0.0017100.0046.0005.996-0.0007从表中，可计算出D 二n二 5.9967 mm取 D 5.997mm, Di - D。不确度的A分量为运算中D保存两位存疑数字SD ='n -1:0.0011 mmB分量为按均匀分布A-.3:0.0023 mm那么 <i=JsD+uD 肚 0.0026mm以 ：.=0.003 mm测量结果为 D =5.997 一 0.003 mm。二、图示法图示法就是用图线

52、来表示物理规律的一种实验数据处理方法。物理规律既可用解析函数关系表示，又可用图线来表示，图示法的优点是直 观、形象、便于比拟、易于显示物理量的关系。一条图线上可以有无数组数据， 可以方便地进行内插和外推，特别是对那些尚未找到解析函数表达式的实验结果, 可以从图示法所画出的图线中寻找到相应的经验公式。因此，图示法是处理实验 数据的好方法。要怕制作一幅完幣血止确的图线,必须遵循如卜原那么及步縣1. 选择适宜的坐标纸。作图一定要用坐标纸，常用的坐标纸有直角坐标纸、 双对数坐标纸、单对数坐标纸、极坐标纸等。选用的原那么是尽量让所作图线呈直 线，有时还可采用变量代换的方法将图线作成直线。2. 确定坐标的

53、分度和标记。一般用横轴表示自变量，纵轴表示因变量，并标明各坐标轴所代表的物理量及其单位可用相应的符号表示。坐标轴的分度要根 据实验数据的有效数字及对结果的要求来确定。原那么上，数据中的可靠数字在图 中也应是可靠的。即不能因作图而引进额外的误差。在坐标轴上应每隔一定间距 均匀地标出分度值，标记所用有效数字的位数应与原始数据的有效数字的位数相 同，单位应与坐标轴单位一致。要恰中选取坐标轴比例和分度值，使图线充分占 有图纸空间，不要缩在一边或一角。除特殊需要外，分度值起点可以不从零开始， 横、纵坐标可采用不同比例。3. 描点。根据测量获得的数据，用一定的符号在坐标纸上描出坐标点。一张图纸上画几条实验

54、曲线时，每条曲线应用不同的标记，以免混淆。常用的标记符 号有。、+、X、A、等。4. 连线。要绘制一条与标出的实验点根本相符的图线，图线尽可能多的通过 实验点，由于测量误差，某些实验点可能不在图线上，应尽量使其均匀地分布在 图线的两侧。图线应是直线或光滑的曲线或折线。5. 注解和说明。应在图纸上标出图的名称，有关符号的意义和特定实验条件。 如，在绘制的热敏电阻-温度关系的坐标图上应标明“电阻一温度曲线 ；“ + 实验值 ；“ X理论值；“实验材料：碳膜电阻等。三、图解法图解法是在图示法的根底上，利用已经作好的图线，定量地求出待测量或某 些参数或经验公式的方法。由于直线不仅绘制方便，而且所确定的

55、函数关系也简单等特点，因此，对非 线性关系的情况，应在初步分析、把握其关系特征的根底上，通过变换变量的方 法将原来的非线性关系化为新变量的线性关系。即,将“曲线化直。然后再使用图解法。下面仅就直线情况简单介绍一以下图解法的一般步骤：1. 选点。通常在图线上选取两个点，所选点一般不用实验点，并用与实验点 不同的符号标记，此两点应尽量在直线的两端。如记为Axi,yi和Bx2,y2，并用“ + 2. 求斜率。根据直线方程y=a+bx，将两点坐标代入，可解出图线的斜率 为b»yi。X2 _Xr3. 求与y轴的截距。可解出-X2% -x2 a _X2 为X2% -細2。4. 求与X轴的截距。记为X。y2 - yi例如，用图示法和图解法处理热敏电阻的电阻Rt随温度T变化的测量结果。(1) 曲线化直：根据理论，热敏电阻的电阻一温度关系为Rt ae T。为了方便地使用图解法，应将其转化为线性关系，取对数有丄bIn Rt = ln a 01令 y = I n Rt , a = n a , x ，有y =a bx。这样