关于热力学统计物理试题

1、1 .写出系统处在平衡态的自由能判据。一个处在温度和体积不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变 动，所引起的自由能的改变均大于零。即 F 0。2 .写出系统处在平衡态的吉布斯函数判据。一个处在温度和压强不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变 动，所引起的吉布斯函数的改变均大于零。即G 0。3 .写出系统处在平衡态的嫡判据。一个处在内能和体积不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的嫡变均小于零。即S 04 .嫡的统计解释。由波耳兹曼关系 s kgln 可知，系统嫡的大小反映出系统在该宏观状态下所具

2、有的可能的微观 状态的多少。而可能的微观状态的多少，反映出在该宏观平衡态下系统的混乱度的大小。故，嫡是系 统内部混乱度的量度。5 .为什么在常温或低温下原子内部的电子对热容量没有贡献？不考虑能级的精细结构时，原子内的电子激发态与基态的能量差为110eV,相应的特征温度为“4-510 10 K。在常温或低温下，电子通过热运动获得如此大的能量而跃迁到激发态的概率几乎为零，平均 而言电子被冻结基态，因此对热容量没有贡献。6 .为什么在常温或低温下双原子分子的振动对热容量贡献可以忽略？_ 3因为双原子分子的振动特征温度比10 K ,在常温或低温下 kT << k ev,振子通过热运动获得能

3、量h k %从而跃迁到激发态的概率极小，因此对热容量的贡献可以忽略。7 .能量均分定理。对于处在平衡态的经典系统，当系统的温度为T时，粒子能量的表达式中的每一个独立平方项的平均值为 kT。 8等概率原理。对于处在平衡态的孤立系统，系统的各种可能的微观状态出现的概率是相等的。9.概率密度 (q, p,t)的物理意义、代表点密度D(q, p,t)的物理意义及两者的关系(q,p,t):在t时刻，系统的微观运动状态代表点出现在相点(q, p)邻域，单位相空间体积内的概率。D(q, p,t):在t时刻，在相点(q, p)邻域单位相空间体积内，系统的微观运动状态代表点数。它们的关系是:其中，N 是系综中系

4、统总数填空题1.玻色分布表为al'al e 1: 费米分布表为 e 1 : 玻耳兹曼分布表为al l el当满足条件_e1 时，玻色分布和费米分布均过渡到玻耳兹曼分布。2玻色系统和费米系统粒子配分函数用N表示，系统平均粒子数为 lnU内能表为InY1 Jn,广义力表为嫡表为S k(lnIn3.均匀系的平衡条件是TTo且PP0;平衡稳定性条件是CV 0且节T 04.均匀开系的克劳修斯方程组包含如下四个微分方程:dU TdS pdV dndH TdS Vdp dndG SdT Vdp dndF SdT pdV dn5.对于含N个分子的双原子分子理想气体，在一般温度下，原子内部电子的运动对热

5、容量温度大大于振动特征温度时,CV - Nk2温度大大于转动特征温度而小小于动特征温度时,;温度小小于转动特征温度时,_5CV 5 Nk2无贡献 ；CV - Nk26准静态过程是指 过程进行中的每一个中间态均可视为平衡态 的过程；无摩擦准静态过程的特点是 外界对系综的作用力，可用系统的状态参量表示出来。7绝热过程是指， 系统状态的改变， 完全是机械或电磁作用的结果，而没有受到其他任何影响的过程在绝热过程中，外界对系统所做的功与具体的过程无关,仅由初终两态决定。8 .费米分布是指，处在 平衡态、孤立 的费米系统，粒子在 能级上 的 最概然 分布。9 .弱简并理想玻色气体分子间存在统计吸引作用；弱

6、简并理想费米气体分子间存在统计排斥作山。10玻色分布是指，处在 平衡态、孤立 的玻色系统，粒子在 能级上 的 最概然 分布。11 .对于一单元复相系，未达到热平衡时，热量从 高温相 传至 低温相：未达到相变平衡时，物质 从高化学势相向低化学势相作宏观迁移。12 .微正则系综是大量的结构完全相同的且处于平衡态的故里系统的集合微正则分布是指在微正则系综中，系统按可能的微观态的分布微正则分布是 平衡态统计物理学的基本假设,它与 等概率原理 等价。lnZ113.玻耳兹曼系统粒子配分函数用Z1表示,内能统计表达式为Y N lnZ1广义力统计表达式为 y ,嫡的统计表达式为S Nk(lnZ1叱）,自由能的

7、统计表达式为F NkT 1n乙14.与分布 al 相应的，玻色系统微观状态数为i ai 1 !B.E"oi?r1 a1. 1；费米系统的微观状态数B. Ea! a !L_aL_1_a1 '；玻耳兹曼系统微观状态数为N!B-Ea1 !ai l lp_VT v S pBEF DME的关系为 . N! . o15.热力学系统的四个状态量 S、V、P、T所满足的麦克斯韦关系为V _PT p S v16.设一多元复相系有个相，每相有个k组元,组元之间不起化学反应。此系统平衡时必同时满足条件:(i 1,2,L k)5.由热力学基本方程dG SdT Vdp可得麦克斯韦关系SV T(B)二

8、卫p S S p(C) vs6 .孤立系统指(A)与外界有能量交换但无物质交换的系统(B)与外界既无物质交换也无能量交换的系统(C)能量守恒的系统(D)温度和体积均保持不变的任意系统7 .吉布斯函数作为特性函数应选取的独立态参量是(A)温度和体积(B)温度和压强(C)嫡和体积(D)嫡和压强8.自由能作为特性函数应选取的独立态参量是(A)温度和体积(C)嫡和体积(B)温度和压强(D)嫡和压强9.下列各式中不正确的是HF(A(B)n s,pn T,V,U,G(C)(D)n p,vn t ,p10 .当经典极限条件成立时，玻色分布和费米分布均过渡到(A)麦克斯韦分布(B)微正则分布(C)正则分布(D

9、)玻尔兹曼分布11 .下列说法正确的是(A) 一切与热现象有关的实际宏观物理过程都是不可逆的(B)热力学第二定律的表述只有克氏和开氏两种说法。(C)第一类永动机违背热力学第二定律。(D)第二类永动机不违背热力学第二定律。12.由热力学方程dFSdTpdV可得麦克斯韦关系/a、TpTV(A)(B)V SS Vp sSVSpS(C)(D)iT pP TT VVPT13 .已知粒子能量表达式为其中a、b为常量，则依据能量均分定理粒子的平均能量为(A) 3kT2(B) 2kTb2(C) 2kT 4a5(D) - kT21 (0)0 (0)14 .具有确定的粒子数、确定的体积、确定的能量的系统满足(A)

10、微正则分布 (B)正则分布(C)巨正则分布(D)以上都不对15.玻耳兹曼统计中用粒子配分函数Zi表示的内能是一、ln 乙lnZi(A) U 乙1(B) U N1(C) U1 ln Z1(D) UN ln Z116.不考虑粒子自旋，在长度L内，动量处在 px px dpx范围的一维自由粒子的可能的量子态数为(A) Ldph(B)(C) 2Ldp(D)2LdPx17.均匀开系的热力学基本方程是(A) dF(C) dUSdT pdVTdSpdVdn dn(B)(D)dG dHSdT VdpTdS Vdpdn dn推导与证明1.证明：CP(1)证：C PCV S(T,p)S(T,V(T,p)(2)(2

11、)代入(1)CPCVT -S V(3)将麦氏关系:代入(3)2.证明，0K时电子气体中电子的平均速率为34mFF ( PF为费米动量)。证明： 0K时，f在单位体积内，动量在pp dp范围内的电子的量子态数为8y p2dp h在此范围内的电子数为3.一容积为V的巨大容器dNp f hy p2dp器壁上开有一个极小的孔与外界大气相通,其余部分与外界绝热。开始时，内部空气的温度、压强与外界相同为 To ,Po。假定空气可视为理想气体 ，且定压摩尔热容量 cp为常量。给容器内的空气以极其缓慢的速率均匀加热,使其温度升至 T。证明，所需热量为PoV CplnT。To证明：系统经历准静态过程,每一中间态

12、均可视为平衡态对于容器内的气体，初态:P0V n°RT,任一中间态：P0V n（T）RTn（T）TT n(T) cp dT T°n0cp当 T0n0cpl咤即：Q当nTRTo4.将空窖辐射视为平衡态光子气体系统，光子是能量为h的玻色子，由玻色分布，每个量子态上平均光子数 fh-/kTe 1试导出普朗克黑体辐射公式:解：在体积V内，动量在pp+dp 范围的光子的量子态数为:8 V 2 .p dp h由圆频率与波矢关系:=ck及德布罗意关系，可得：p =-c故，在体积V内，能量在 在此范围内的光子数为：故，在此范围内的辐射能量为:+d范围内的光子的量子态数为:5.证明始态方程:

13、 证：选T、p作为状态参量时，有而,dH（2）代入（3)得:比较（1）、（4）得:dTdHdpT(1)dS dT T ppdp (2)TdHTdSVdp(3)SS1dT VTdp(4)T pp TSHS /、T -(5)V T -一 （6）T pV Tp T将麦氏关系- 代入（6）,即得p TTpU 6.证明能态方程：T _ppV TT v证：选T、V作为状态参量时,有UUdUdTTVV T而，（2）代入(3)得：dU比较（1）、(4)得：-UT v_ Sp将麦氏关系 代入（6）,即得V TTV7.证明，对一维自由粒子，在长度L内,能量在SVdV(1)dSSTdTVSVdVT(2)dUTdS

14、pdV(3)T -dT TT vSVpTdV(4)T -ST 1 VUVTTSVpT(6)e £ d e的范围内，可能的量子态数为L 1/21/2 ,D d (2m) dh证：由量子态与相空间体积元之间的对应关系，对于一维自由粒子，在相空间体积元dxdpx内的可能的量子态数为dxdpxh因此，在长度 L内，动量大小在p p dp范围内粒子的可能的量子态数为雨 12. m .而， p , dp Jd2m2故，在长度L内，能量在 £ £ d e范围内，可能的量子态数为L 1/21/2 ,D d (2 m) dh8.证明，对于二维自由粒子，在面积L2内，能量在£

15、; £ de范围内，可能的量子态数为2 mL2h2证：由量子态与相空间体积元之间的对应关系，对于二维自由粒子，在相空间体积元dxdydpxdpy 内的可能的量子态数为dxdydpxdpyh2因此，在面积L2内，动量大小在 p - p dp范围内粒子的可能的量子态数为而,12mpdp md故，在面积L2内，能量在£ £d e范围内，可能的量子态数为2 mL2D d 2-h29 .导出含有N个原子的爱因斯坦固体的内能和热容量表达式：U 3Nh23Nh eh 1Cv 3NkeE/Te/te解：按爱因斯坦假设，将个原子的运动视为 3N个线性谐振子的振动,且所有谐振子的振动

16、频率相同。谐振子的能级为:(n1/2)h(n0,1,2L )则，振子的配分函数为:(n1/2)h /2 eh n(e )0h /2 ehh1 e lnZ1 Uln(1 e引入爱因斯坦特征温度10.对于给定系统,解:设物态方程为dp将v-bv v-be： h若已知dTv3NhP.T vp(T,v),则P.T vdvTv-b和（3）代入（1）h eh- e-Nh 23Nh-h- eRv-b(1)(2)2a3Nk Te/T ee/tep v-bv-b-代入(2)得 Rv3R T 2a v-b3v-b v-b Rv2a v-bRv32a3 v,求此系统的物态方程。-RT7 (3) v-b积分得： pR

17、Tv-bav-b RT v11.将空窖辐射视为平衡态光子气体系统,导出普朗克黑体辐射公式:解：在体积V内，动量在P P+dP范围的光子的量子态数为因为，光子气体是玻色系统遵从玻色分布，由于系统的光子数不守恒，每个量子态上平均光子数为n - - hp 一一 c 所以，在体积V内，圆频率在+d 范围内的光子的量子态数为2在此范围内的光子数为N df D( )d故，在此范围内的辐射能量为：12.单原子分子理想气体孤立系统的可能的微观运动状态数为:3N E(E),其中V h33N/2(2 mE)N !(3N /2)!由此导出系统嫡的表达式:解:lnln3N2EENlnV3h3N ln(2 mE)3/2

18、 ln( N!)ln 3N!2ln( N !)N In NIn3N3N 3N! ln lnln3N E2EVN ln NmE3/25N3NEh,23 10kT10 ln NlnmE3/2由玻耳兹曼关系:- 23Nhkln13.试用麦克斯韦关系,导出方程体的绝热过程方程TV3Nh2212,E 105NTdS CVdTC （常量）。ln3N2E13 八100dV，假定Cv可视为常量，由此导出理想气S解： dSTdTVVTdV'. TdS T T vdTdV CVdTTdVT由麦氏关系V t T vTdS CvdT TdV T v绝热过程dS 0 ,理想气体p 2RT ,Vp nRT v V

19、-一 dT_ dV_一 ._CvnR0积分得CvlnTnRlnV C'（常量）T V Cp/Cv, nR Cp Cv Cv（1）1_1_故：InTV C',即：TV C （常量）14 .证明，理想气体的摩尔自由能为: 证明：选T, V为独立变量，则理想气体的物态方程为：pv RT丸du SdT，dS ?dT 噂故：uCvdT Uo , SoCdT Rln v s015 .证明:T,np T,nVn T,p证明：选T, V为独立变量，则而-GV，故p T n,16.导出爱因斯坦固体的嫡表达式:S 3Nk-ln 1 e h1解：设固体系统含有 N个原子，按爱因斯坦假设，将N个原子的运动视为 3N个线性谐振子的振动，且所有谐振子的振动频率相同。谐振子的能级为:则，振子的配分函数为：-玻耳兹曼系统计公式17.已知处在平衡态的孤立的玻耳兹曼系统，其可能的微观运动状态数由麦克