离散时间信号与系统的变换域分析ppt课件

1、抽样信号nnTnTtnTxnTttxttxtxnTxnx)()()()()()()( )()(nSTdenTt)(nnsTenTxsX)()(nnznxnxzX)()()(ZSTeZ 0nnznxnxzX)()()(Z)()(sXzXSTez解：Reza00)()()(nnnnnzaznuazX1za|az 或|)(11)(azazzzXza1|1)(zzznuZ Z变换的定义变换的定义ImzjZ Z变换的定义变换的定义解：1az|az 或ImzjReza01)() 1()(nnnnnzaznuazX01)(1)(nnnnazaz|)(111)(azazzzXazZ Z变换的定义变换的定义解：

2、03113131)()()()(nnnnnnnnnzzzzX031131)()(nnznnz31zz3zz3|31 z)(3(3)(313831zzzzzzzzXRez310Imzj3Z Z变换的收敛域变换的收敛域)(nx对于恣意给定的序列 ，使其Z变换收敛的一切z值的集合称为 的收敛域。)(zX其收敛的充要条件是满足绝对可和条件，即：nnznx)(根据级数收敛的阿贝尔定理发散不定收敛111limnnna对于不同的序列 ，可求得相应的收敛域。)(nxZ Z变换的收敛域变换的收敛域00)()()(njnnnenxznxzX00)()()(njnnnenxznxzXImzjRez0ImzjRez0

3、Rez0ImzjZ Z变换的收敛域变换的收敛域逆逆Z Z变换变换从给定的Z变换表达式(包括收敛域)求原序列的过程称为逆z变换。其本质是求X(z)的幂级数展开式各项的系数。dzzzXjnxcn1)(21)(式中C为收敛域中的一条逆时针环绕原点的闭合曲线。 逆逆Z Z变换变换是被积函数X(z)zn-1在围线C内的一组极点是被积函数X(z)zn-1在围线C外的一组极点 kakb,)(Re)(1kknazzXsnx,)(Re)(1kknbzzXsnx假设 还满足在 有二阶或二阶以上的零点，那么根据留数辅助定理，有: z1)(nzzX)(nx假设被积函数 是有理分式，普通采用留数定理来计算围线积分 。根

4、据留数定理， 等于围线C内全部极点留数之和，即: 1)(nzzX逆逆Z Z变换变换在详细利用留数定理进展围线积分计算时，应根据被积函数的特点及n值灵敏选用公式来计算，可使问题得以简化。例如，在n小于某一值时，被积函数在围线内部z=0处能够具有高阶极点，这时采用围线外部的极点进展计算将方便得多。 假设 为单阶极点，按留数定理: kzznkkkknzzXzzzzzXs11)()(,)(Rekz假设 为 阶极点，那么其留数为: kzznmkmmknzzXzzdzdmzzzXs)()()!1(1,)(Re1111kzm 求 原 序 列x(n)知某序列的Z变换为: azazzX11)1 ()(解:dzz

5、azjdzzazjnxcncn121)1 (21)(111并且当 时，z=0处不是极点，被积函数仅有单阶极点a，在收敛域内取围线C包含极点a，可求得:0naz 由于收敛域为 ，可知该序列必定是因果序列。)()(0,1Re)(nuanxnaazazsnxnnn或例例1:1:逆逆Z Z变换变换逆逆Z Z变换变换例例2 2：)()(1 ()(11azazazazazzzzXnnn又| ,)1)(1()(111azaazazzX求原序列x(n)知序列的Z变换为：解：Rez0Imzja1/a收敛域|z|=|a|围线C| | |1aza 所给收敛域 为环域 原序列 必为双边序列)(nx|z|=|1/a|在

6、收敛域内作包围原定的围线C逆逆Z Z变换变换当 时，只需一个单阶极点z=a,其围线积分为：0n01,)(1Re)(21naaazazazasnxnn当n0时，被积函数在围线内除了在z=a处有一个单阶极点，在z=0处为高阶极点，由于这时在围线外X(z)zn-1只需一个单极点z=a-1 ，因此有: 01,)(1Re)(211naaazazazasnxnn2|1)(aanxn逆逆Z Z变换变换用部分分式展开法求反Z变换，)()()(zAzBzX通常为有理分式。1、单极点NiiiMiiizazbzAzBzX101)()()(假设序列为因果序列，且NM，当X(z)的N个极点都是单极点时，可以展开成以下的

7、部分分式的方式：max1)(110kNkkkzzzzAAzX那么其逆Z变换为：)()()(10nuzAnAnxnkkNk逆逆Z Z变换变换阐明：阐明：1 1、X(z)X(z)较简单时可按算术展开求各系数较简单时可按算术展开求各系数Ak(k=0,1,N) Ak(k=0,1,N) 。 2 2、X(z)X(z)较复杂时可按留数定理求各系数较复杂时可按留数定理求各系数Ak(k=0,1,N)Ak(k=0,1,N)，此时为了方便通常利用，此时为了方便通常利用X(z)/zX(z)/z的的方式求取：方式求取：,)(Re)()1 (0 ,)(Re)0(10kzzkkNNzzzXszXzzAzzXsabXAk逆逆

8、Z Z变换变换2、高阶极点当上述有理分式中的MN且具有高阶极点时，假设设除单极点外，在zi处还有一个s阶的极点，那么其展开式修正为：sikskkksNkkkNMkzzCzzAzBzX)1 (1)(11110式中Bk(k=0,1,N)为X(z)整式部分的系数，可用长除法求得。Ak仍按上面的方法计算，Ck的计算公式为：skzzXzzdzdksCizzsiksksk, 1)()()!(1逆逆Z Z变换变换例：例： 知知 ，求，求X(z)X(z)的原序列。的原序列。 2) 5 . 0)(2()(2zzzzzX解：3/ 1, 3/421AA由求系数Ak的公式求得 )() 5 . 0(31)() 2(34

9、)(nununxnn由于X(z)的收敛域为 ，为因果序列，从而求得 2z5 . 02)5 . 0)(2()(21zAzAzzzzzX将X(z)变为X(z)/z的方式并化为部分分式逆逆Z Z变换变换210)2() 1 ()0()()(zxzxxznxzXnn在详细进展长除法时，要根据收敛域先确定序列是左边序列还是右边序列。对于左边序列Z变换为z的正幂级数，分子分母多项式应按升幂陈列展开；对于右边序列，Z变换为z的负幂级数，分子分母应按降幂陈列进展展开。 )()(nuanxn 用长除法求 azazzX11)1 ()(的逆Z变换。 由收敛域知，这是一右边序列。用长除法将其展开成z的负幂级数时应将分母

10、多项式按降幂陈列。 1 2222111 zazaazazaz 2211111zaazaz例例:解：解：nnnzazaazzX02211)(即：逆逆Z Z变换变换逆逆Z Z变换变换例例: 用长除法求| | | ,)1)(1()(111azaazazzX的逆Z变换收敛域 为环域，x(n)必为双边序列。|1aza1111)1)(1 (1)(21azazaaazazzX解：解：对右边序列 2323121212 zazazazazaa 33221zazaazaaz右边序列为: 01)(2naanxn对左边序列 az-1 3333222222zazazazazaazaz 3322111zazaazaz左边

11、序列为: 01)(2naanxn综上可得: 21)(aanxn逆逆Z Z变换变换例例: 求 的逆Z变换。|)1ln()(1azazzXaz 由收敛域 知原序列应为因果序列。)1ln(x的幂级数展开式为 111|)1()1ln(nnnxnxx|)1()(11nnnnaznzazX故有 ，即： 1 azx1x用 代入上式，因az 001)1()(1nnnanxnn解：解：)(n)(nu1111zzz1z)(nuan111azazzaz )(nRN1111)1(1zzzzzNNN0z)(nnu2112)1()1(zzzz1z)()sin(0nun20101020cos21sin1cos2sinzzz

12、zzz1z)()cos(0nun201010202cos21cos11cos2coszzzzzzz1z)()sin(0nuneanaaaezezez220101cos21sinaez)()cos(0nuneanaaaezezez220101cos21cos1aez)()sin(0nun20101cos21)sin(sinzzz1zZ Z变换的性质与定理变换的性质与定理yyxxRzRzYnyZRzRzXnxZ)()()()(设RzRzbYzaXnbynaxZ)()()()(则,min,maxyxyxRRRRRR其中xxRzRzXnxZ)()(若xxnRzRzXznnxZ)()(00则xxRzRz

13、XnxZ)()(若xxnRazRazaXnxaZ)()(1则Z Z变换的性质与定理变换的性质与定理xxRzRzXnxZ)()(若xxRzRzXnxZ/1/1)()(1则xxRzRzXnxZ)()(若xxRzRzXnxZ)()(则xxRzRzXnxZ)()(若xxRzRdzzdXznnxZ)()(则Z Z变换的性质与定理变换的性质与定理假设x(n)为因果序列，它的初值为：)(lim)0(zXxz假设x(n)为因果序列，且其Z变换的极点除在z=1处可以有一个一阶极点外，其它极点均在单位圆内，那么有：)()1(lim)(lim1zXznxznhhxxRzRzHnhZRzRzXnxZ)()()()(设

14、RzRzHzXnhnxZ)()()()(则,min,maxhxhxRRRRRR其中Z Z变换的性质与定理变换的性质与定理hhxxRzRzHnhZRzRzXnxZ)()()()(设hxxhcRRzRRdvvvHvzXjnhnxZ1)()(21)()(则yyxxRzRzYnyZRzRzXnxZ)()()()(若yxxyRRRR1且cndvvvYvXjnynx1*)1()(21)()(则Z Z变换的性质与定理变换的性质与定理对序列抽取运算时，将序列x(n)以M：1抽取后构成的新序列y(n)。两者之间的关系为： ,2, 1,0)()(nnMxny)()(zXnxZ若10)/2(/1)(1)(MllMj

15、MezXMzY则求序列 的z变换，并确定其收敛域。)()cos()(0nunrnxn解：解：rrezzrenuerZrrezzrenuerZazaznuaZjjnjnjjnjnn00000011111)(11)(11)(221010110)cos2(1)cos(1111121)()cos(00zrzrzrzrezrenunrZjjnrz 线性性线性性xRznxZzXnunxnx),()(),()()(设求 的z变换和收敛域。nmmxny0)()(解：解：) 1()()()()(100nynymxmxnxnmnm)1()()(nynyZnxZ)()()(1zYzzYzX 1 ,max)(11)(

16、1xRzzXzzY即序列的移序列的移位性位性).(|)1ln()(1nxZazazzX变换的逆求解：解：121)(azazdzzdX111)()(azazdzzdXznnxZaznunanxnn)1()1()(1) 1()()(111111111nuaaazzaZazazZnX(z)对z进展微分：Z域微分性逆Z变换用卷积定理求 )()(nunx设)()(nuanhn1a)()()(nhnxny1|11)()(1zznuZzX|11)()(1azaznuaZzHn1|1111)()()(11zazzzHzXzYdzazzzjzHzXZnync)(1(21)()()(11)(11111,)(1(R

17、e 1 ,)(1(Re1111nuaaaaaaazzzsazzzsnnnn解：解：卷积定理逆Z变换),()(nuanxn已知)()(nubnhn)()()(nhnxny1|1|ba、其中用复卷积定理求 )()(nyZzY解：解：|11)()(1bzbznubZzHn|11)()(1azaznuaZzXndvbvzavazjdvbvvvzajnyZzYcc)(/(/211)(1121)()(111复卷积定复卷积定理理在v平面中，被积函数有2个极点，即v1=z/a 和v2=b。因x(n)和h(n)都是因果序列，其收敛域为：azvb可见，只需一个极点v2=b在围线C内。由留数定理求得：| |,max

18、|11,)(/(/Re)(1bazabzbbvzavazszYZ Z变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系Z变换与拉氏变换的关系: )(| )(sXzXaezsT这一关系实践上是经过 将S平面的函数映射到了Z平面。 sTez 假设将Z平面用极坐标表示 ，S平面用直角坐标表示 ，代入 ，得：jrez sTez jsTerT上述关系阐明： z 的模 r 仅与 s 的实部 相对应，z 的幅角 那么仅与 s 的虚部 对应。 映射关系：映射关系：)(10)(10)(10平面单位圆外平面单位圆内平面上的单位圆zrzrzrZ Z变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系Tzs/102,00(S平面实轴映射到

19、Z平面的正实轴) (S平面原点映射到z =1点)(当由- /T 添加到+ /T 时,对应于 由- 添加到+ ) 由于 是 的周期函数，S平面每添加一个宽为2 /T 的程度条带时，对应于Z平面从- 到+ 旋转了一周。这样就有： jrez 1)(z即S平面的整个虚轴都映射到了Z平面 =1 的单位圆上,因此由S平面到Z平面的映射是多值映射,这些关系示于以下图示： zZ Z变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系抽样序列的傅立叶变换即抽样序列的频谱。由于傅抽样序列的傅立叶变换即抽样序列的频谱。由于傅立叶变换是拉氏变换在虚轴上立叶变换是拉氏变换在虚轴上 的特例，按照的特例，按照前面的前面的SZSZ平面的

20、映射关系，它映射到平面的映射关系，它映射到Z Z平面平面 =1 =1 的单位圆上，故有的单位圆上，故有 jSz)()()(jXeXzXaTjezTj12()()()jTjanX eX eXjjnTT 或定义：定义：Z Z平面的角变量平面的角变量 ，称为数字频率，单位为弧度。，称为数字频率，单位为弧度。sffT2序列的傅立叶变换是从频域对离散时间信号和系统进展分析。它是用 作为基函数对序列进展正交展开，这与延续时间信号中的傅立叶变换用 对模拟信号进展展开类似。njetje 1序列傅立叶正变换 nnjjenxnxFeX)()()(x(n)的傅立叶变换定义如下: 是 的延续函数。但由于 其中M为整数

21、，故有 nMjnjee)2()()()()2()2(MjnMjnjeXenxeX可见 还是 的周期函数，周期为2 。 )(jeX序列傅立叶变换的定义序列傅立叶变换的定义2 2序列傅立叶变换与序列傅立叶变换与Z Z变换的关系变换的关系 比较后可见：序列的傅立叶变换是Z变换在 时的Z变换，即Z变换在的单位圆上 的特殊情况。jez 1zjezjzXeX)()(序列的傅立叶变换式： nnjjenxnxFeX)()()(nnznxzX)()(序列的Z变换定义式： 序列傅立叶变换的定义序列傅立叶变换的定义由于单位圆上的由于单位圆上的Z Z变换就等于抽样序列的傅立叶变变换就等于抽样序列的傅立叶变换，也就是序

22、列的频谱，因此，序列的傅立叶变换，也就是序列的频谱，因此，序列的傅立叶变换也就是序列的频谱。由于序列的傅立叶变换直换也就是序列的频谱。由于序列的傅立叶变换直接给出了序列的频谱，在频谱分析与数字滤波器接给出了序列的频谱，在频谱分析与数字滤波器设计中经常用到，因此它是信号处置的重要工具设计中经常用到，因此它是信号处置的重要工具之一。之一。 序列傅立叶变换的定义序列傅立叶变换的定义普通为 的复变函数，可表示为: )(jeX)(arg| )(|)()()(jweXijjIjRjeeXejXeXeX其中， 分别为 的实部和虚部；通常称 为序列的幅频特性或幅度谱，而称 为相位谱，并且有：)(jeX、)(j

23、ReX)(jIeX)(jeX)(arg)(jeX2/122)()(| )(|jIjRjeXeXeX)(/ )()(arg)(jRiIjeXeXarctgeX显然 都是 的延续函数和周期为 2 的周期函数。 、)(jeX)(序列傅立叶变换的定义序列傅立叶变换的定义3 3序列的傅立叶反变换序列的傅立叶反变换 )()(1jeXFnx通常傅立叶反变换记为deeXdzzzXjnxjnjceznj)(21|)(21)(14 4序列的傅立叶变换的收敛条件序列的傅立叶变换的收敛条件 )()(nxenxnnjn即序列绝对可和该条件是序列傅立叶变换存在的充分但非必要条件有些序列虽然不满足以上条件，但满足平方可和，

24、其傅立叶变换依然存在。见后例。某些既不满足绝对可和的条件也不满足平方可和条件的序列，假设引入频域的冲击函数 ，其傅立叶变换也存在。如 、某些周期序列，见后例。 njenu、)()(序列傅立叶变换的定义序列傅立叶变换的定义5 5常用序列的傅立叶变换常用序列的傅立叶变换 )(n11)(anuan1)1 (jae)(nRN)2/sin(/)2/sin(2/)1(NeNj1kk)2(2)(nukjke)2()1(1nje0kk)2(20)cos(0nkkk)2()2(00知 ，求它的傅立叶变换。 )()(5nRnx)2/sin(2/5sin)()(11)()(22/2/2/52/52/2/5540jj

25、jjjjjjjnjnjeeeeeeeeeenxFeX解：解：其幅度谱和相位谱分别为： , |)2/sin(2/5sin|)(jeX)2/sin(2/5sinarg2)(|0|01)(ccjeH知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。 解：解：deeHFnhnjccj21)()(1nnnjnejnecnjnjcc,sin)(21cccjncdeHnn22| )(|21|sin|显然序列 不是绝对可和的，而是平方可和的 ，但其依然存在傅立叶变换。)(nhParseval定理njenx0)(证明复指数序列 的傅立叶变换为： kjkeX)2(2)(0证：证： 根据序列的傅立叶反变换定义，利用冲击函数 的

26、性质，有：)( knjdeknx)2(221)(0njnjede00)(1000nje，则若kkF)2(21 即mnmjmeanx)(假设序列为复指数和的方式： 推推论论 kmmmjkaeX）则2(2)(求余弦序列 的傅立叶变换 nnx0cos)()2()2(00kkk21cos)()(000njnjjeeFnFnxFeX解：解：可见：序列 的傅立叶变换表现为在 处的冲击，强度为 ，并以2 为周期进展周期延拓。 n0cos0利用上例结论序列傅立叶变换的性质序列傅立叶变换的性质下面所列出的性质都可直接由Z变换令 得到，可自行证明。因序列的傅立叶变换是Z变换在 的单位圆上的特例，故一切Z变换的性质

27、对傅立叶变换都成立。jez 1z序列傅立叶变换的性质序列傅立叶变换的性质),()(jeXnxF若)()(jeYnyF)()()()(jjebYeaXnbynaxF则)()(jeXnxF若)()(00jnjeXennxF则)()(jeXnxF若)()(00jnjeXnxeF则),()(jeXnxF若)()(jeXnxF则序列傅立叶变换的性质序列傅立叶变换的性质)()(jeXnxF若)(*)(*jeXnxF则)()(jeXnxF若dedXjnnxFj)()(则对时域信号进展线性加权对应于频域的微分),()(jeXnxF若)()(jeHnhF)()()(jjjeHeXeY则)()()(nhnxny设

28、序列傅立叶变换的性质序列傅立叶变换的性质),()(jeXnxF若)()(jeHnhF)()()(nhnxny设)()(21)(jjjeHeXeY则deHeXjj)(21)()()()(jjjxyeYeXeR则),()(jeXnxF若)()(jeHnhFnxymnynxmr)()()(设2)()()()(jjjjxxeXeXeXeR推论序列的序列的自相关自相关函数的函数的傅立叶傅立叶变换就变换就是序列是序列的功率的功率谱谱-维维纳纳-辛欠辛欠定理定理序列傅立叶变换的性质序列傅立叶变换的性质)()(jeXnxF若deXnxjn22)(21)(则该定理阐明：信号在时域中的能量等于频域中的能量)()(jeXnxF若10)2()(1)(MlMlMjjeXMeY则 2, 1,0)()(nnMxny设10)2()(1)(MlMljMjeXMeY或该性质阐明：重抽该性质阐明：重抽样序列的频谱是将样序列的频谱是将原来序列的频谱展原来序列的频谱展宽了宽了M倍，并将展倍，并将展宽后的频谱以宽后的频谱以为周期扩展了为周期扩展了M个个，幅度那么下降到，幅度那么下降到原来的原来的1/M。M/2序列傅立叶变换的对称性序列傅立叶变换的对称性假设序列 满足 )()(nxnxee)(nxe)(nxe那么称 为共轭对称序列)(