1-5极限存在准则两个重要极限ppt课件

1、 第一章第一章 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 一、极限存在准则一、极限存在准则 二、两个重要极限二、两个重要极限 1.1.夹逼准则夹逼准则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 )( 充分大以后充分大以后n,011 ayNnNn时时恒恒有有当当,max21NNN 取取恒有恒有时时当当,Nn , ayan即即,022 azNnNn时时恒恒有有当当, azan, azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限,0 证证,azaynn机动机动 目录目录 上页

2、上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 上两式同时成立，上两式同时成立，时时当当,Nn 注意注意: :.,的极限是容易求的的极限是容易求的与与并且并且与与键是构造出键是构造出利用夹逼准则求极限关利用夹逼准则求极限关nnnnzyzy原则原则和准则和准则称为夹逼准则称为夹逼准则. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn机动机动 目

3、录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 证明证明则则记记,maxEba EEEbannnnnnn2 nnEEEEnn 2lim而而由夹逼定理得由夹逼定理得,maxlimbaEbannnn 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 x1x2x3x1 nxnx2.2.单调有界准则单调有界准则满足条件满足条件如果数列如果数列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释: :AM机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 解：解：10

4、1 y11246yyy 1 kkyy假假设设kkyy 6116 kyky ，由由归归纳纳假假设设nnyy 1单调下降单调下降ny,0 ny显显然然故极限存在，故极限存在， 设设Aynn lim,6AA 则则23 AA或或解得：解得：（舍去）（舍去）3lim nny例例4 4.333的的极极限限存存在在证证明明数数列列 nx证证 ;是是单单调调递递增增的的nx, 331 x, 3 kx假定假定kkxx 3133 , 3 ;是是有有界界的的nx,33312xx 又又,1 kkxx假假定定kkkkxxxx 1133机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 .lim存在存在nnx ,

5、31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解解得得( (舍去舍去) ).2131lim nnx.limAxnn 设设 相应于准则相应于准则II II，函数极限在下面几种变化过程，函数极限在下面几种变化过程中也有类似的准则：中也有类似的准则：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 0)1(xx 0)2(xxx)3(x)4(0)5(xx x)6(xyo xyarctan 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 (一一)1sinlim0 xxx（1 1几何解释几何解释,xAB 的的弧弧长长设设xD

6、Bsin ,22xBABB xxxxxx2sin2limsinlim00 1lim0 BBBBx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 xAOB 则则xDBBBsin22 Ox1BAB Dxtanxsinxy)20(, xxAOBO 圆圆心心角角设设单单位位圆圆.ACO ，得得作作单单位位圆圆的的切切线线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形,BDOAB的的高高为为 ACxoBD(2) 给出基本不等式：给出基本不等式：,tansinxxx )20( x,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有,tan2121sin21xxx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页

7、 返回返回 完毕完毕 ,tansinxxx )20( x, 1sincos xxx即即)20( x都是偶函数都是偶函数1,sin,cosxxx即即也也成成立立上上式式对对于于,02 x , |tan|sin|xxx 或或)2|0( x)2|0( x, 1sincos xxx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 ,20时时当当 xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回

8、完毕完毕 （3求极限求极限由夹逼法则由夹逼法则例例5 5.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原原式式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 (二二)exxx )11(lim证明证明ennn )11(lim)1(证明证明nnnx)11( 设设 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 ).11()221)(

9、111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 显显然然 ;是是单单调调递递增增的的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存存在在nnx ennn )11(lim记记为为)71828. 2( e类似地类似地, ,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 ,1时时当当 x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(l

10、im xxxxxxxx, e .)11(limexxx exxx )11(lim)2(证明证明机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 , xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(lim机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 exxx )11(lim例例6 6xxx)11(lim)1( xxx )11(1lim1)11(lim xxx.1e 机动机动 目录目录 上页上

11、页 下页下页 返回返回 完毕完毕 xxxtanlim)2(0 xxxcot0)tan1(lim)3( xxxxcos1sinlim0 1 xxxtan10)tan1(lim e 1sinlim. 10 xxxexxx 10)1(lim. 4exxx )11(lim. 3ennn )11(lim. 2必须记住必须记住例例7 7xxxsin20)1(lim xxxxxsin210)1(lim 2e 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 例例8 8xxxx2)23(lim 222)211(lim xxxxx.2e lim x.)1cos1(sinlimxxxx 解解: : 原式

12、原式22)1cos1(sinlimxxxx 2)2sin1(limxxx )2sin1(x e xx22sin机动 目录 上页 下页 返回 完毕 x2sin1例例9. 9. 求求 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e例例10 10 求极限求极限 xxxx193lim 解解: : 数列数列nx收敛的充分必要条件为：收敛的充分必要条件为：对于任意给定的正数对于任意给定的正数0 ，存在正整数，存在正整数N，使得当，使得当Nm ，Nn 时，就有时，就有 |mnxx 柯西极限收敛准则柯西极限收敛准则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回

13、 完毕完毕 1.1.两个准则两个准则2.2.两个重要极限两个重要极限夹逼准则夹逼准则; ; 单调有界准则单调有界准则 . .; 1sinlim10 某某过过程程.)1(lim210e 某过程某过程,为某过程中的无穷小为某过程中的无穷小设设 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 3.3.幂指函数求极限幂指函数求极限xxxsin20)1(lim)2( xxxx2)23(lim)3( .cos1lim)1(20 xxx 求下列极限求下列极限习题习题1-6P56） 1(5)(6)(7)(8)， 2(1)(3)(5)， 3(1)(2)(4) 1. 1. 如何判断极限不存在如何判断极

14、限不存在? ?方法方法1. 1. 找一个趋于找一个趋于或极限不存在的子数列或极限不存在的子数列; ;方法方法2. 2. 找两个收敛于不同极限的子数列找两个收敛于不同极限的子数列. .2. 2. 知知),2, 1(21,111 nxxxnn 求求nnx lim时时, ,下述作法是否正确下述作法是否正确? ? 说明理由说明理由. .设设,limaxnn 由递推式两边取极限得由递推式两边取极限得aa21 1 a不对不对! !此处此处 nnxlim机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 故极限存在，故极限存在，1.1.设设 )(211nnnxaxx ),2,1( n,0 a,01

15、x, , 且且求求.limnnx 解解1 1：设设Axnn lim则由递推公式有则由递推公式有)(21AaAA aA )(211nnnxaxx nxnxaa nnxx1 )1(212nxa )1(21aa 1 数列单调递减有下界，数列单调递减有下界，,01 x故故axnn lim利用极限存在准则利用极限存在准则,0 nx机动 目录 上页 下页 返回 完毕 解解2)(211nnnxaxx axaxnn 2)(21,1axn 显显然然axn有下界有下界即即因因此此又又,21axn 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 )(21112 nnnxaxx)(211211 nnnxxx1 nx单单调调减减少少即即nx,lim存在存在nnx .limAxnn 设设, )(21limlim1nnnnnxaxx )(21AaAA aAaA ,解得解得( (舍去舍去)