二面角及其度量试题

1、一、学习目标掌握二面角的概念，会利用向量和平面的法向量求解二面角的大小二、知识梳理（一）选择题（每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的1.已知二面角：-l-的大小为，直线a:v,a与：所成的角为v，则（）A.B.的平面角的关系是（）A.相等B.互补C.相等或互补D.既不相等也不互补3.如图所示, 值是（）PA=PB=PC,且它们所成的角均为60°,则二面角BPAC的余弦1A.2V3C.T4.在正三角形.3T1ABC中，AD，BC于D,沿AD折成二面角BADC后，BCAB,这时二面角B-ADC的大小为（）A.60°C.90D.120（二）填空题5.ABC的边BC在平面

2、内，A在内的射影是A1,设ABC的面积为S,它和平面。交成的一个二面角的大小为日（日锐角）,则aA1BC的面积是.6.若P是公ABC所在平面外一点，而PBC和公ABC都是边长为2的正三角形，PA二46,则二面角PBC-A的大小是7.已知二面角：-AB-棱AB上一点，PE、PF分别在面，一：内,/EPB=/FPB=45°,那么&给出下列四个命题：（1）过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直;1：是直二面角，P是EPF的大小是.（2）过平面外一定直线有且只有一个平面与已知平面垂直;（3）垂直于同一平面的两个平面可能相互平行，也可能相互垂直；（4）如果一个二面角的两个半平面分别

3、垂直于另一个二面角的两个半平面？那么这两个二面角的平面角相等或互补？其中正确的命题的序号是9. 已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，RA=3,AB=2,BC=13,则二面角P-BDA的正切值为.（三）解答题10. 在长方体ABCDAiBCiDi中，AA1=1,AD=DC=,3，在线段AQI上有一点Q,口1且GQCiAi,求平面QDC与平面AiDC所成锐二面角的大小.3如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD 中11.AD/BC,ZABC=90°,PA，平面ABC,FA=4,AD=2,AB=23,BC=6,求二面角APC-D的余弦值.*12.如图，在长方体ABCDAiBiCiDi中

4、，AD=AAi=1,AB=2,点E在棱AB上移动.AE等于何值时，二面角DiEC-D的大小为-.4三、自我评价完成时间成功率札记参考答案3.2.4二面角及其度量1.A2.C3.B4.A5.ScosJ6.90°7.60°10.解：建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),C(0.?.3,0),A(._3,0,1),C,0,.3,1)一1323CCAQW.设平面AiCD,平面QCD的一个法向量分别为n二(%,%,乙)，m=(x2,y2,Z2)r_LnDC=0,yi=0,由、-二厂nDA)=0卜/3为十乙=0令xi=1,.?Z"=-'3.y2 =0,n二(1,0,

5、f；3).±mDC=0,由*二mDQ=0,令x2=1,.Z1=-3.-.3m二(1,0,-g)'/3cos :n,m 一|n I '|m|n,m .2 6即平面QDC与平面A1DC所成锐二面角为11.解：如图，建立坐标系，则A(0,0,0),B(2.3,0,0),C(2.3,6,0),D(0,2,0),P(0,0,4),所以CD=(-23,-4,0),PD=(0,2,-4)PA=(0,0,4),AC=(2._3,6,0)设平面PCD的法向量为n=(x,y,1),则CDn=0,PDn=0厂Mx-4y=0,解得-竽内4=：一n=(一弩,2,1).同理可求得平面PAC的法向量为m=(-2、.3,2,0)39331所以cos :m, n393 ?面角A- PC D的余弦值为31|m|n|12.解：以D为坐标原点，直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x,则A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0).CE=(1,x-2,0).DQ=(0,2,-1),DD厂(0,0,1).设平面DIEC的法向量n=(a,b,c),WQ2bc=0令b=1,?c=2,a=2x.nCE=0,ab(