倍长中线法证三角形全等教师版

1、倍长中线法证三角形全等（教师版）例1、如下图所示，已知ABC中，AC=BC,/ACB=90,BD平分/ABC,我们想到翻折BCD,使得求证：AB=BC+CD.【分析】要证AB=BC+CD,由BD平分/ABC,BC与AB重合，如上图，翻折了以后再证明AE=DE就可以了.证明：BD平分/ABC,将BCD沿BD翻折180°,点C落在BA上的E点，则有BC=BE,在4BCD和ABED中，BCDABED(SAS)ZDEB=ZACB=90,CD=DE,（全等三角形对应边，对应角相等）丁./DEA=90°,vABC中，/ACB=90,AC=BC,/A=45,./EDA=/A=45,DE=

2、EA,AB=BE+EA=BC+CD,即AB=BC+CD.例2、如下图所示，ABC中，/C=2/B,/1=/2,求证：AB=AC+CD.【分析】本题要证的结论也是两条线段长度之和等于一条线段的长度，与前面例2的思路相同，我们想到使不共线两条线段AC、CD组合成一条线段，延长AC是必然的（如上图）.由于有条件/1=/2,然后再证明ABDAAED就轻而易举.证明：延长AC至E,使AE=AB,连接DE,在4ABD和4AED中，乂E,£1二”，AABDAAED./B=/E.vZACD=ZE+ZCDE,/ACD=2/B,丁./ACD=2/E./E=/CDE.CD=CE.AB=AC+CD.【小结】

3、本例中用到的方法叫补短法”，是将较短的线段AC补长，构造全等三角形，从而达到求解目的.也可采用截长法”，即在AB上截取AF=AC,连接DF,构造三角形全等，这两种方法通常适合于证明一条线段等于两条线段的和.例3、如下图所示，在ABC中，AD为BC边上的高，/B=2/C.求证：CD=AB+BD.【分析】在DC上截取DE=DB后显然ADEADB,然后再证明AE=EC就可以了.证明：在DC上截取DE=DB,连接AE,ADEWMDB.AE=AB,/AEB=/B,v/AEB=/C+/CAE,/B=2/C,ED=BD,丁./AEB=2/C./C=/CAE,故CE=AE=AB.CD=CE+ED=AE+ED=

4、AB+BD.例4、如下图所示，在DEF中，DE=DF,过EF上一点A作直线分别与DE、DF的延长线交于点B、C,且BE=CF.E求证：AB=AC.g【分析】要证AB=AC,我们很自然想到过点B做CD的平行线，然后再证AGBAFC.条件DE=DF和BE=CF结合所作的平行线可得出BG=CF,有了边的相等关系证AGB04AFC就容易多了.证明：过B作BG/CD交EF于G.vBG/CD,./EGB=/EFD.vDE=DF,./E=/EFD,/E=/EGB,BE=BG.vBE=CF,.BG=CF.vBG/CD.丁./GBA=/ACF,/AGB=/AFC.上已R4二2乂CP,在AAGB和AAFC中,FC

5、i&C=CFtAGBAAFC.AB=AC.例5、如图所示，AD是4ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF求证：AC=BF0证明：延长FD至H,使得DH=FD,连结HC:D为BC中点BD=CD在4BFD和4CHD中BD=CD.ABFDACHD(SAS)/H=/BFHvAE=FE丁./HAC=/AFE又:/AFE=/BFH/H=/HACCH=CABF=AC例6、如图，AD/BC,EA,EB分另1J平分/DAB,/CBACDS点E,求证;AB=AD+BC.例7、正方形ABCm，E为BC上的一点，F为CD±的一点，BE+DF=EFBEC求/EAF的度数.DAC<

6、DAB.例8、如图，ABC中，AB<AC,AD是中线.求证:【解析】延长AD至1JE,使ADDE,连结BE.在ADC和EDB中ADEDADCEDBADC©EDBDCDB.ACEB,CADBEA在ABE中，AB<AC,ABEBAEB<EAB,DAC<DAB.A例9、如图，在ABC中，AD交BC于点D,点E是BC中点，£尸/八口交。八的延长线于点F,交EF于点G,若BGCF,求证：AD为ABC的角平分线.【解析】延长FE到点H,使HEFE,连结BH.在CEF和BEH中CEBECEFBEHFEHECEBEHEFCEHB,CFBHBGEHBBGE,而BGEA

7、GFAFGAGF又;EFIIADAFGCAD,AGFBADCADBADAD为ABC的角平分线.H例10、已知，AB=ACE、F分别为AB和AC延长线上的点，BE=CFEF交BC于G.求证：EG=GF例11、已知ABC中，AB=AC,BD为AB的延长线，且的AB边上的中线.求证CD=2CE【解析】（等边、中点、线段倍数）（一）延长CE至ijK,使CE=EK,连接BKAEEBECEK例12、.AECABEKAC=BK=BD/A=/3.AB=AC./5=/ACB./KBC=/3+/5=/A+/ACB=/4BC=BC.,.CKBACDB.CK=CD2CE=CD如图，ABC中，ABAC,BAC90,FD与AC交于F.求证:方法一：连结例12、:ABAC,二BCBAC45'D是BC中点BAD45且ADEDDFEDA:ADEBDE在BDE与ADBD,BDE©90BCADFEDBADFADFDAFADFB