1-2-2-1-分数裂项教师版

1、教学目标分数裂项计算本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为 观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分 运算，使其变得更加简单明了。本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分， 列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的 前提，是能力的体现，对学生要求较高。目t帷分数裂项知识点拨、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的 观察每项的分子和分

2、母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂 的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b,a b那么有-J(1 1) a b baa b(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即:1形式的，我们有：n (n 1) (n 2) (n 3)1 11,2 n(n1) (n1)(n2)111-n (n 1) (n 2) (n 3) 3 n (n 1) (n 2) (n 1) (n 2) (n 3)n (n 1) (n

3、2)1n (n 1) (n 2)1裂差型裂项的三大关键特征：(1) 分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是 x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。(2) 分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”(3) 分母上几个因数间的差是一个定值。、“裂和”型运算:常见的裂和型运算主要有以下两种形式:22(1) 511 (2) a bab ab ab baa b裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。22a b a ba b a b b a,裂

4、和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,例题精讲11111例 1 。1223344556【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】美国长岛，小学数学竞赛1 11 111 115【解析】原式 - L 一一 一一 一1 22 35 61 6 6提醒学生注意要乘以（分母差）分之一，如改为：111 ,计算过程就要变为1 3 3 5 5 7 7 9111111113 3 55 779192【答案】56【巩固】11110 11 11125960【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【解析】原式（上101京1(111)-.1(59160)1111210 60 12【答案】112【巩固】22-L221

5、0 9 98544 3【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【解析】原式 21 111L111 111279 1089453 43 1015【答案】二15【例2】111L L11 1 21 2312L100【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有-11(1 1) 12(1 2) 2原式100 101(11 ) 200101)1011竺101【答案】1丝101【例3 工工工l1 3 3 5 5 7【考点】分数裂项【

6、解析工工二l1 3 3 5 5 7【答案】-50101199 101【难度】2星11八11_(1- 99 101233【题型】计算11 599L）10150101【巩固】计算：25 L5 7123 25【解析】原式125 -1111L1125111252423352325225225【答案】12【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】2009年，迎春杯，初赛，六年级1232【巩固】25125125112512514 8 8 12 12 162000 2004 2004 2008【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】2008年，台湾，小学数学竞赛,初赛【解析】原式25111

7、_ _1_L11161 2 23 3 4500 501 501 5022511 11 -1 11 L11162 23 34501 50225150150121 15 165023232【巩固】计算：224567155 77 11 11 1616 22 22 29 29【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式111 11111.1 ± A ± ±255 77 11 11 1616 22 22 29 29122【例4】计算：（1 8【考点】分数裂项1111124 48 80 120 168【难度】2星11)128 224 288【题型】计算【解析】原式(-

8、1_1_1 L12824466 816 181-, 111111、-L)1282244616 18/ 11、-、)64218【关键词】2008年,101中学42891111【答案】【巩固】6 12 20 30 42 56 72 90【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】2008年，第六届，走美杯，初赛，六年级【解析】根据裂项性质进行拆分为：111111612203042561111_233 44 556112210511729011116 77 8 8 9 9 10【巩固】3 6分数裂项【关键词】2008年,【考点】【解析】原式11111115 2128【难度】6届,走美杯，121

9、012121233111223121324第16星6年级,11【题型】计算【巩固】计算：-111111112【考点】分数裂项【关键词】2006年,6第12 20 30【难度】4届，走美杯，42 563星6年级，72伏焚90【题型】计算【解析】原式1011021(23113 4 4 515 616 717 81_8 9 9121(21311L3 4119 110)【巩固】140【考点】110分数裂题型】计算【例5】原式111_1_125588 111114 14 17111111 11111325588 111114 14 17111_5_321734【解析】【难度】3

10、星534计算:15 7 9【难度】3星【考点】分数裂项【关键词】2005年，第10届，华杯赛，总决赛，二试2001 2003 2005【题型】计算【解析】2001 2003 2003 2005100400320032005120480451004003120480454.518113- 3.75 3.23【考点】分数裂项【关键词】2007年，仁华学校79 16_佰 2 ""90113-37413-3【例6】【解析】原式12【例7】2336计算:46241.2512615 3563【题型】计算0.823361312【考点】分数裂项【关键词】第五届,小数报,初赛【解析】原式 1

11、【巩固】【考点】21021020210 2114 -20【难度】L 20204201 22 313 4 4 52011 111111L22 33 42021612201111212101120210 2121【题型】计算420计算：200818分数裂项12009201054108【难度】2星【关键词】2008年，学而思杯，6年级，20111801 2012=270【题型】计算201020112012311 11 1L91 22 31试612010 55【解析】原式2008 20099 1212 15 15 18510050 54【答案】10050 2【题型】计算54132537 511 726

12、153577111111 111223355 771111101111【解析】原式【巩固】计算：1 1 _2 _L ±2 6 15 35 77-【考点】分数裂项【难度】2星【关键词】2009年，学而思杯，6年级【答案】1°11【巩固】计算:11111113 15 35 63 99 143 195【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】分析这个算式各项的分母， 可以发现它们可以表示为： 3 22 1 1 3, 15 42 1 3 5, 2195 141 13 15,133 55 779 91111 1111111-L21 32352131511 1721 15151所

13、以原式上二口1111 13 13 15【答案】-15【巩固】计算：-2【考点】分数裂项【关键词】2008年，四中【解析】原式 1 1211 19 29L12 20 309702【难度】3星99 L2 3999910097019899.9900【题型】计算1990099 10099 100198 -100100【例 8 -J一 一1一 L 一11 2 3 2 3 47 8【考点】分数裂项【难度】【题型】计算【解析】首先分析出n 1 n 1112 n 1 n n 12 n 1原式1 112 r2 t1二工212 8 93514411Y41n n n 111F"8 8"9【答案】

14、144【巩固】计算：-1【考点】分数裂项【解析】原式12112 311198 99 1003星11【题型】计算1198 99 99 100)249491980011 4949 4949)99 100 2 9900 1980011 3 5【考点】分数裂项1【解析】原式=+t+e"+T【巩固】计算:1_2 4 6 3 5【难度】3星1,.1120 22 24【题型】计算1.1=1( - -) + 1(1 -)4 1 321 234 2 422 2440 * 6548321123862528160 + 10465340032340032340032【答案关竺25340032【巩固二一一-1

15、 3 5 3 5【考点】分数裂项【解析（工）13 3 511447 93 95 97 95 97【难度】3星1 11(3 5 5 7) (93 95320099【题型】计算11195 97) (95 97 97 99)97 9996031 3【答案】通9603【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】 99 = 100 1 = 100 _ 二=100 J 1 3 4 2 3 4 2 3 18 19 2018 19 206840【答案】些68401 2 31 2 3 1 2 3 2 3 1 2 32 398100 210021001 2 3 42 3 42 3 42 3 42 3 43 4

16、97100 310031001=3 4 53 4 53 4 53 4 53 4 54 599 100 1011100 9910099100100100100100(111 2 32 3 4 3 4 599 100 1012 3 3 41001111151100 -()()24 -22 101002 10110199 100 10199 100 10199 100 10199 100 101100 1011原式101)1016 7 8 9 7 8 9 10【题型】计算1 L 113 4 57 8 9 8 9 10【例9 L_1 2 3【考点】分数裂项【解析】原式13_15 3 4 5 6 【难度

17、】3星1111193 1 2 3 8 9 102160【答案H!2160【巩固】 一3- 1 2 3【考点】分数裂项【解析】原式3 13134 2 3 4 5 一【难度】1_1_317 18 193星1(1 2 3 2 3 4 2 3 413 19 20 120【题型】计算11 3 4 517 18 19113918 19 2019【例10】计算：5一1 2 3【考点】分数裂项【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是L2348 9 10【难度】3星【题型】计算道很常见的分数裂项的题目.但是本题中分子不相2.相比较于2, 4, 6,这一公差为 2的等差数3,所以可同，而是成等差数列，且等差

18、数列的公差为列（该数列的第n个数恰好为n的2倍），原式中分子所成的等差数列每一项都比其大 以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算.原式1 232234L316323 489 1011L1211 232 348 91012 31111L11:122 3233 489 91011211 11L111 291023 34910121902121107416015231522 322 3 48 9 10工L 。3 49 10也可以直接进行通项归纳.根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为2n_3 2 3 , 再将每一项的 n n 1 n 2 n 1 n 2 n n 1 n 23分别加在

19、一起进行裂项.后面的过程与前面的方法相同.n n 1 n 2【答案】竺1719)8 9 10 9 10 11【题型】计算15【巩固】计算：1155 （ L2 3 4 3 4 5【考点】分数裂项【难度】3星【关键词】2009年，迎春杯，初赛，五年级19、 一.这个算式不同9 10 11于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子 是分母的差或和的情况.所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式.【解析】本题的重点在于计算括号内的算式:7 L 3 4 58 9 10172 3 43458 910 9 10 112 334L 9| 102 3 43

20、 4 5L910 11111111L 3 4 244 53 510 11 9 111111111LL3 44510 112 4 3 59 111 11111 1111111111113 445110 11L 2243 5468109111 1111 118128313 112210 31133 25 3355观察可知5 2 3 , 7 3 4,即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以57.1719所以原式311155 土 651 .5523 4 3 4 58 910 910 1112 2 13 2,18 21 9 22 3 4 3 4 5I8 9 109 10 1112 2132 L18

21、 219 22 3 4 2 3 43 4 53 458 9 10 8 9 10 9 10 11 9 10 1111112222LL2 3 4 3 4 589 109 10 113 4 4 59 10 10 11111111111111,11L222 3 3 4 3，4 459 10 10 113 4 4 510 11111?11222 3 10 1131111223 _413112 220 3 114 22055所以原式 1155 31 651 .（法二）上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法.由于分子成等差数列，而等差数列的通项公式为a nd,其中d为公差.如果能把分子变成这样的

22、形式，再将 a与nd分开，每一项都 变成两个分数，接下来就可以裂项了.57 L 171955（法三）57L17192 343 4 58 910910115117113 42344 5289 91029 10 10 11517 51971L191711912232 23 42245229102 10 11511L L51191223 3 4 491021011511193112310 22055所以原式311155 -55651 .本题不对分子进行转化也是可以进行计算的:(法四)对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳.先找每一项的通项公式:2n 1(n 2,

23、3, 2)1分成2n和1,就是上面的法二；如果将分子分成n和n 1 ,就是上面的法一.an n(n 1)(n如果将分子2n651，9)【答案】【巩固】计算：1 2 4 5 2 3 5 6 3 4 6 7【考点】分数裂项【难度】3星12L 10 11 13 14【题型】计算【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是将每一项的分子、分母都乘以分子中的数.即：2223455个连续自然数的乘积，所以可以先122原式:L1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性, 可以用平方差公式：32

24、1 5 4 , 42 2 6 4 , 52 3 7 42410 11 12 13 14原式21210 11 12 13 1410 14 410 11 12 13 14L2 3 4 3 4 5 4 5 611 12 1310 11 12 13 142 3 12 13L4 5 2 3 4 5 3 4 5 61234 11 12 13 1410 11 12 1311 12 13 1475122 12 132411 12 13 148 11 12 13 148 2 11 148 308 616【答案】25616【例11 2 2 3【考点】分数裂项2 3 4L 10【题型】计算【解析】原式2 3 4 5

25、 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7L 2334344511 12 12 13 77 1 L2 3 4L 102 1211 -23 14 1 L 10 13 42 3 4L 1011【答案】【例12【考点】【解析】12 3 4L 9 1036287993628800 L2 3 2 3 4362879936288002 3 4L 92 3 4L 9 10【答案】【巩固】【考点】【解析】【答案】【例13【考点】【解析】【答案】【巩固】【考点】【解析】JJ12 12 3 分数裂项原式 1 211 211312 3 4 【难度】4星I 4 151 2 3 4 5 6【题型】计算6 1250401

26、2 311 211 2123412345111123123123411234567503950401 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7L 11 2 3 4 5 6 750395040计算:3! 4!99100!【难度】4星【题型】计算分数裂项原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了.3原式1 2 33 11 2 3112 12112 3 44 112 3 41 13 12 31991 2 3 L 100100 11 2 3 L 1001 L2 3 4I 1100!21 (1分数裂项127412751 2 3 L 100100!9911 2 3

27、 L 1002)(1 2) (1 2 3)(1 23) (1L 2 3 4)(12 3 L【难度】3星【题型】计算2+ + +5+ - +501 33 66 1010 151225 1275(11) + ( 1)+ ( 1+ ()=1274133661012251275127534原式=5049) (1 2 L 50)1001 (1 2)分数裂项21 (1 2)(1 2) (1 2 3)(1 2 3)【难度】3星311,1 1 2(1 2) (1 2 3)L(1 2 3 4)(1 2 L 99) (1 2 L 100)【题型】计算12 12 3100(1 2 L_99) (1 2 L_100)

28、原式1 11 2 L 100d1504915050 5050【答案】5049505011 2 L99,所以1 2 L 100【巩固】【考点】1 1 (1分数裂项(1【解析】原式2 (3313155(1 2 3)【难度】41011055(12 3-)45 55145155155【例14】-2 31【考点】分数裂项【关键词】仁华学校19 1【难度】121113星1T13【解析】这题是利用平方差公式进行裂项:1(21(23_14【巩固】计算:【考点】【解析】【巩固】【考点】【解析】10L9) (1 2 3 L_10【题型】计算【题型】计算b)(-一)(一)(一)()(一一)244 6688 1010

29、121111 1111111446 6 8810 10 12 12141112 a(a1b21(a b),1成1 )2(1314(1分数裂项1 ?原式2549计算:2)3 2 - L2 2 3 3(1(1(1£) (145L1(1 482) (1492):难质1】3星【题型】计算123 d 1:，1筋23(112(1)-334,"485015025494924949所以,2)2/-2 q9L_2-212233478【难度】3星22222222213243 .872/八2 八2 八22 L_2芸1223347811111 |111 八2 八29八22 L_2芸22334783

30、1557分数裂项【题型】计算原式6364【答案】【巩固】【考点】【解析】636432 1-23分数裂项计算:原式 1997997997521-2572 1-27 1【难度】225219931719933星219951219951【题型】计算1 19931219952619942199611994196119969979971996【答案】【巩固】【考点】【解析】9979971996计算:1222_2224231分数裂项12 3222 1103可见原式2242了42122354【难度】爽，8423113星32 542 12罗422981002991【题型】计算34152二99由于皿2%332 9

31、8 41 3 2L:4 3598 100111 111,1196 41 -L -232 43598 11 11196 212 99100196 321999900475119814950208竺21,1515【答案】【巩固】【考点】【解析】4751198 4950211 3分数裂项计算:2工L5 7【难度】25099 1013星式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大,_2,2,2221 , 41 , 61 , ，100所以可以先将原式乘以 4后进行计算，1原式2224242 1626【题型】计算但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为1 ,可以发现如果分母都加上 1 ,那么恰好都是分子的

32、4倍, 得出结果后除以 4就得到原式的值了.10021002122 162121001【答案】1210111111111501L42335579910115011115063501242101410110163101【例 15 5 6 6 7 7 8 8 9 9 1056 677889 9 10【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】堂室口 1 1（1 1）（11）J 1邑56 677889 9 10 566 79105 1010【巩固】3 6 5 5 7 6 12 20 30 42【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】第三届，祖冲之杯，人大附中36233445566736

33、1 1 1 11 1【解析】原式=-.-5723344556675723346 7【答案】4【巩固】计算：35 49 63 77巩固 612 20 303257 _9_10 111934578 2021 2435【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式13257 111 11 12 1-11111534578 4 53 73 85 7【答案】5【巩固】123111253 5 7 12 20 28 30 42【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算4【解析】原式12311111121133573445475667111121231311133-33665557774444【巩固】1

34、1 ± ± ±2 3 30 31 412051101192612012327124【考点】分数裂项【解析】原式1 1 【难度】1 13星111【题型】计算1111112 3 30 31413177174 3034143111111111-22 3 3 7 4 3 47791 1053142 568【解析】原式5791113153 71_86 1220304256811111L -71117 82334811811 c782882111108【答案】1057911131517196122030 42【难度】563星7290233 4455 667 7233 4455 667 711111111()()()() (-21313344556【巩固】计算：1【考点】分数裂项1【题型】计算8 8 9 9 102 10 5【解析】原式18 8 991011116 3)号 8)1 11(8 9) (9【巩固】1 1 L 4 5 12【考点】分数裂项92081517530 12【难度】3星【题型】计算【解析】原式141513141114 53152 15 61416【答案】3132144115 562 3 121 -222232182192192202 1 2【考点】分数裂项2318【难度】193星1