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文档简介

1、2 无穷积分的性质及收敛判别一、无穷积分的性质 本节讨论无穷积分的性质, 并用这些性质得到无穷积分的收敛判别法.二、非负函数无穷积分的收敛判别法三、一般函数无穷积分的收敛判别法 收敛的充要条件是:一、无穷积分的性质证极限的柯西准则,此等价于(无穷积分收敛的柯西准则)无穷积分 定理11.1性质1为任意常数,则 即根据反常积分定义,容易导出以下性质1 和性质2. 性质2h(x) 在任意 a, u上可积, 且证 因为收敛,由柯西准则的必要性,例1, f (x), g (x),若再由柯西准则的充分性,二、非负函数无穷积分的收敛判别法定理11.2(非负函数无穷积分的判别法)设定义在 上的非负函数 f 在

2、任何收敛的充要条件是:证设非负函数 f , g 在任何有限区间a, u上可积, 且定理11.3 (比较判别法) 设定义在 上的两个增函数的收敛判别准则, 从而 F (u) 是单调递增的由单调递存在 满足证 由非负函数无穷积分的判别法,第二个结论是第一个结论的逆否命题,因此也成立. 例2 判别的收敛性.解显然设 f (x), g(x) 是 上的非负连续函数. 证 例3 推论1 设非负函数 f 和 g 在任何 a,u 上可积, 且证由于 证 即 推论2 设 f 是定义在 上的非负函数, 在任何限区间 a, u 上可积.推论3设 f 是定义在 上的非负函数,在任何有说明: 推论3是推论2的极限形式，

3、读者应不难写出它的证明.例4 讨论的收敛性 ( k 0 ).解 (i)若无穷积分以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性. 三、一般函数无穷积分的判别法何有限区间 a, u上可积,定理11.4 (绝对收敛的无穷积分必收敛)若 f 在任因此再由柯西准则的充分性, 又对任意 证由柯西准则的必要性, 对因收敛的无穷积分不一定是绝对收敛的.例5的收敛性.判别解由于瑕积分的性质与收敛判别, 与无穷积3 瑕积分的性质与收敛判别内容大都是罗列出一些基本结论, 并举 分的性质与收敛判别相类似. 因此本节 例加以应用, 而不再进行重复论证.定理11.7 （瑕积分收敛的柯西准则）证柯西准则，此等价于性质1性质2 性质3定理11.8 (非负函数瑕积分的判别法)定理11.9 (比较法则)推论1推论2推论3可以判别一些非负函数瑕积分的收敛性.例1由于例2解例3解aa 00 a 1a 1I (a)发散收敛定积分J (a)收敛收敛发散 (a)发散收敛发散*一般函数的无穷积分的狄利克雷判定理11.5(狄利克雷判别法）证故别法和阿贝尔判别法判别其收敛性.使得因此, 由柯西准则，证 证法1定理11.6 (阿贝尔判别法)由 g 的单调性,用积分第二中值定理，对于任意的 使得由柯西准则,证法2由狄利克雷判别法例6的收敛性.收敛.收敛,所以解

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