2022年高考数学尖子生辅导专题(文理通用)之专题01含参数导数问题的分类讨论

1、第 PAGE10 页 共 NUMPAGES10 页2022年高考数学尖子生辅导专题(文理通用)之专题01 含参数导数问题的分类讨论专题一含参数导数问题的分类讨论导数是研究函数的图象和性质的重要工具，自从导数进入高中数学教材以来，有关导数问题几乎是每年高考的必考试题之一随着高考对导数考察的不断深化，含参数的导数问题成为了历年高考命题的热点由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进展分类讨论，如何进展分类讨论成为绝大多数考生答题的难点模块1整理方法 提升才能在众多的含参数导数问题中，根据所给的参数的不同范围去讨论函数的单调性是最常见的题目之一，求函数的极值、最值等问题，最终也需要讨论函数单调性对

2、于含参数导数问题的单调性的分类讨论，常见的分类讨论点有以下三个：分类讨论点1：求导后，考虑是否有实根，从而引起分类讨论；分类讨论点2：求导后，有实根，但不清楚的实根是否落在定义域内，从而引起分类讨论；分类讨论点3：求导后，有实根，的实根也落在定义域内，但不清楚这些实根的大小关系，从而引起分类讨论以上三点是讨论含参数导数问题的单调性的三个根本分类点，在求解有关含参数导数问题的单调性时，可按上述三点的顺序对参数进展讨论因此，对含参数的导数问题的分类讨论，还是有一定的规律可循的当然，在详细解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就会复杂一些了，也有些题目可以根据其式子和题目的特点进展灵敏处理，

3、减少分类讨论，需要灵敏把握例1设，讨论函数的单调性【解析】的定义域是令，那么的根的情况等价于的根的情况由于的函数类型不能确定，所以需要对进展分类讨论从而确定函数的类型1当时，是常数函数，此时，于是在上递增2当时，是二次函数，类型确定后，我们首先考虑讨论点是否有实根的问题由于不能因式分解，所以我们考虑其判别式，判别式的正负影响到的根的情况，由此可初步分为以下三种情况：当，即时，没有实根；当，即时，有两个相等的实根；当，即或时，有两个不等的实根对于第种情况，没有实根且永远在轴上方，于是，所以在上递增对于第种情况，有两个相等的实根，于是，所以在上递增对于第种情况，有两个不等的实根，和由于不知道两根是

4、否落在定义域内，因此要考虑讨论点，而利用韦达定理进展判断是一个快捷的方法因为，所以当时，有且，此时两个根都在定义域内切因为与的大小关系已经确定，所以不需要考虑讨论点由可得或，所以在和上递增；由可得，所以在上递减当时，有且，此时，由可得，所以在上递增；由可得，所以在上递减综上所述，当时，在和上递增，在上递减；当时，在上递增；当时，在上递增，在上递减其中，【点评】只要按照3个分类讨论点进展考虑，就能很好地处理含参数导数问题的单调性此外，涉及两根与0的大小比拟的时候，利用韦达定理往往比拟简单例2函数1求在上的最小值；2假设对恒成立，求正数的最大值【解析】1定义域为，法1：当时，函数在为增函数，所以当

5、时，令可得i当，即时，在上恒成立，函数在为增函数，所以ii当，即时，在上恒成立，所以在为减函数，所以iii当，即时，在上恒成立，所以在为增函数，所以iv当，即时，由可得，由可得，所以在上递增，在上递减于是在上的最小值为或当，即时，；当，即时，综上所述，当时，；当时，法2：当时，函数在为增函数，所以当时，由可得，由可得，所以在上递增，在上递减于是在上的最小值为或i当，即时，ii当，即时，综上所述，当时，；当时，2解答详见专题三例1【点评】处理好函数的单调性，就能求出函数的最值法1是按照常见的3个分类讨论点进展讨论：当时，没有实根当时，有实根，此时需考虑根在不在定义域内当或或时，根都不在定义域内把

6、和并在里面是为了减少分类的情况；当时，根在定义域内，由于定义域内只有1个根，所以就不用考虑第3个分类讨论点了法2是根据式子和题目的特点进展分类：由可知当时，在上递增；当时，在上先增后减，所以最小值只能在或处取到，此时只需要比拟两者的大小就可以了由于法2是根据式子和题目的特点进展分类的，所以能减少分类的情况例3设函数，其中1当时，判断函数在定义域上的单调性；2当时，求函数的极值点【解析】1函数的定义域为，令，那么当时，所以在上恒大于，所以，于是当时，函数在定义域上递增2首先考虑是否有实根当，即时，由1知函数无极值点当，即时，有唯一的实根，于是在上恒成立，所以函数在上递增，从而函数在上无极值点当，

7、即时，有两个不同的根，其中这两个根是否都在定义域内呢？这需要对参数的取值进一步分类讨论当时，由可得，由可得，所以在上递减，在上递增，所以当时，在上有唯一极小值点当时，由可得或，由可得，所以在上递增，在上递减，在上递增，所以当时，在上有一个极大值点和一个极小值点综上所述，当时，在上有唯一的极小值点；当时，有一个极大值点和一个极小值点；当时，函数在上无极值点【点评】当有两个不同的根和的时候，由于，所以只需要考虑讨论点2，判断这两个根是否都在定义域内就可以了，显然，因此只需对作判断就可以了判断的方法有三种，第一种方法是待定符号法，将与之间的大小符号待定为，那么有，所以当时，；当时，第二种方法是韦达定

8、理，判断、与的大小关系等价于判断、与的大小关系，由此把韦达定理调整为，此时的判断就变得非常容易了第三种方法是利用二次函数的图象，是开口方向向上，对称轴为的二次函数，与轴的交点是，由图象可知当时，当时模块2练习稳固整合提升练习1：设函数，其中为常数1假设，求曲线在点处的切线方程；2讨论函数的单调性【解析】1当时，此时，于是，所以曲线在点处的切线方程为2函数的定义域为，当时，所以函数在上递增当时，令，那么i当时，所以，于是，所以函数在上递减ii当时，此时有两个不同的根，下判断、是否在定义域内法1：待定符号法，由于，所以法2：韦达定理由可得法3：图象法是开口方向向下的抛物线，对称轴为，由图象可知、都

9、在定义域内当或时，有，所以函数递减；当时，有，所以函数递增综上所述，当时，函数在上递增；当时，函数在上递减；当时，函数在，上递减，在上递增练习2：设函数1假设当时，获得极值，求的值，并讨论的单调性；2假设存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于【解析】1由解得，此时，由解得或，由解得，所以在区间，上递增，在区间上递减2的定义域为，记，其判别式为假设，即时，在上恒成立，所以无极值假设，即或时，有两个不同的实根和，且，由韦达定理可得，即i当时，有，即，从而在上没有实根，所以无极值ii当时，有，即，从而在上有两个不同的根，且在，处获得极值综上所述，存在极值时，的取值范围为的极值之和为，而，所以练习3：函数，其中、，为自然对数的底数1设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；2假设，函数在区间内有零点，求的取值范围【解析】1，因为，所以假设，即时，有，所以函数在区间上递增，于是假设，即时，当时，当时，所以函数在区间上递减，在区间上递增，于是假设，即时，有，所以函数在区间上递减，于是综上所述，在区间上的最小值为2法1：由可得，于是，又，所以函数在区间内有零点，那么函数在区间内至少有三个单调区间由1知当或时，函数即在区间上递增或递减，所以不可能满足“函数在区间内至少有三个单调区间”这一要求假设，那么令，那么由可得，由可得，所以在区间上递增，在区间上递减，所以，即，于是函数在区