二次函数和幂函数知识点汇总

1、 WORD 13/13教 学 容二次函数与幂函数1二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义形如：f(x)ax2bxc_(a0)的函数叫作二次函数(2)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc_(a0)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)_(a0)2二次函数的图像和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)图像定义域(，)(，)值域eq blcrc)(avs4alco1(f(4acb2,4a)，)eq blc(rc(avs4alco1(，f(4acb2,4a)单调性在xeq blc(rc(avs4alco1(，f(b,

2、2a)上单调递减；在xeq blcrc)(avs4alco1(f(b,2a)，)上单调递增在xeq blc(rc(avs4alco1(，f(b,2a)上单调递增；在xeq blcrc)(avs4alco1(f(b,2a)，)上单调递减奇偶性当b0时为偶函数，b0时为非奇非偶函数顶点eq blc(rc)(avs4alco1(f(b,2a)，f(4acb2,4a)对称性图像关于直线xeq f(b,2a)成轴对称图形3.幂函数形如yx (R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数4幂函数的图像与性质(1)幂函数的图像比较(2)幂函数的性质比较yxyx2yx3yxeq f(1,2)yx1定义域RRR

3、0，)x|xR且x0值域R0，)R0，)y|yR且y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x0，)时，增；x(，0时，减增增x(0，) 时，减；x(，0)时，减难点正本疑点清源1二次函数的三种形式(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式(3)已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便2幂函数的图像(1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴，在(1，)上幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴(2)函数yx，yx2，yx3，yxeq f(1,2)，yx1可作为研究和学

4、习幂函数图像和性质的代表1已知函数f(x)x22(a1)x2在区间(，3上是减函数，则实数a的取值围为_答案(，2解析f(x)的图像的对称轴为x1a且开口向上，1a3，即a2.2(课本改编题)已知函数yx22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值围为_答案1,2解析yx22x3的对称轴为x1.当m2时，ymaxf(m)m22m33，m0，m2，无解1m2.3若幂函数y(m23m3)xm2m2的图像不经过原点，则实数m的值为_答案1或2解析由eq blcrc (avs4alco1(m23m31,m2m20)，解得m1或2.经检验m1或2都适合4(人教A版教材例题改编)如图中曲线是幂

5、函数yxn在第一象限的图像已知n取2，eq f(1,2)四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为_答案2，eq f(1,2)，eq f(1,2)，2解析可以根据函数图像是否过原点判断n的符号，然后根据函数凸凹性确定n的值5函数f(x)x2mx1的图像关于直线x1对称的充要条件是()Am2 Bm2Cm1 Dm1答案A解析函数f(x)x2mx1的图像的对称轴为xeq f(m,2)，且只有一条对称轴，所以eq f(m,2)1，即m2.题型一求二次函数的解析式例1已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数思维启迪：确定二次函数采用待定系数法，

6、有三种形式，可根据条件灵活运用解方法一设f(x)ax2bxc (a0)，依题意有eq blcrc (avs4alco1(4a2bc1，,abc1，,f(4acb2,4a)8，)解之，得eq blcrc (avs4alco1(a4，,b4，,c7，)所求二次函数解析式为f(x)4x24x7.方法二设f(x)a(xm)2n，a0.f(2)f(1)，抛物线对称轴为xeq f(21,2)eq f(1,2).meq f(1,2).又根据题意函数有最大值为n8，yf(x)aeq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)28.f(2)1，aeq blc(rc)(avs4alco1(2f(1,2)2

7、81，解之，得a4.f(x)4eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)284x24x7.方法三依题意知，f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，a0.即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值ymax8，即eq f(4a2a1a2,4a)8，解之，得a4或a0(舍去)函数解析式为f(x)4x24x7.探究提高二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称性、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果 已知二次函数f(x)同时满足条件：(1)f(1x)f(1x)；(2)f(x)的最大值为15

8、；(3)f(x)0的两根平方和等于17.求f(x)的解析式解依条件，设f(x)a(x1)215 (a2xm恒成立，数m的取值围思维启迪：对于(1)，由f(0)1可得c，利用f(x1)f(x)2x恒成立，可求出a，b，进而确定f(x)的解析式对于(2)，可利用函数思想求得解(1)由f(0)1，得c1.f(x)ax2bx1.又f(x1)f(x)2x，a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即2axab2x，eq blcrc (avs4alco1(2a2，,ab0，)eq blcrc (avs4alco1(a1，,b1.)因此，f(x)x2x1.(2)f(x)2xm等价于x2x12xm，即x2

9、3x1m0，要使此不等式在1,1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1,1上单调递减，g(x)ming(1)m1，由m10得，m1.因此满足条件的实数m的取值围是(，1)探究提高二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图像贯穿为一体因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图像是探求解题思路的有效方法用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点 已知函数f(x)x2mxn的图像过点(1,3)，且f(1x)f(1x)对任意实数都成立，函数yg(x)与

10、yf(x)的图像关于原点对称(1)求f(x)与g(x)的解析式；(2)若F(x)g(x)f(x)在(1,1上是增函数，数的取值围解(1)f(x)x2mxn，f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxnmx2(m2)xnm1，f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxmnx2(2m)xnm1.又f(1x)f(1x)，m22m，即m2.又f(x)的图像过点(1,3)，312mn，即mn2，n0，f(x)x22x，又yg(x)与yf(x)的图像关于原点对称，g(x)(x)22(x)，g(x)x22x.(2)F(x)g(x)f(x)(1)x2(22)x，当10时，F(x)的对称轴为xeq f(

11、22,21)eq f(1,1)，又F(x)在(1,1上是增函数eq blcrc (avs4alco1(10,f(1,1)1).1或10.当10，即1时，F(x)4x显然在(1,1上是增函数综上所述，的取值围为(，0题型四幂函数的图像和性质例4已知幂函数f(x)xm22m3 (mN*)的图像关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，求满足(a1)eq f(m,3)(32a)eq f(m,3)的a的取值围思维启迪：由幂函数的性质可得到幂指数m22m30，再结合m是整数，与幂函数是偶函数可得m的值解函数在(0，)上递减，m22m30，解得1m3.mN*，m1,2.又函数的图像关于y轴对称，m22m3是偶

12、数，而222233为奇数，122134为偶数，m1.而f(x)xeq f(1,3)在(，0)，(0，)上均为减函数，(a1)eq f(1,3)32a0或0a132a或a1032a.解得a1或eq f(2,3)aeq f(3,2).故a的取值围为eq blcrc(avs4alco1(a|a1或f(2,3)a0，a0恒成立的充要条件是eq blcrc (avs4alco1(a0,b24ac0).(2)ax2bxc0，a0恒成立的充要条件是eq blcrc (avs4alco1(a0,b24ac0，)若f()4，则实数等于()A4或2 B4或2C2或4 D2或2答案B解析当0时，f()4，得4；当0

13、时，f()24，得2.4或2.2已知函数f(x)x22x2的定义域和值域均为1，b，则b等于()A3 B2或3 C2 D1或2答案C解析函数f(x)x22x2在1，b上递增，由已知条件eq blcrc (avs4alco1(f11，,fbb，,b1，)即eq blcrc (avs4alco1(b23b20，,b1.)解得b2.3设abc0，二次函数f(x)ax2bxc的图像可能是()答案D解析由A，C，D知，f(0)c0，ab0，知A，C错误，D符合要求由B知f(0)c0，ab0，xeq f(b,2a)0，B错误4设二次函数f(x)ax22axc在区间0,1上单调递减，且f(m)f(0)，则实

14、数m的取值围是()A(，0 B2，)C(，02，) D0,2答案D解析二次函数f(x)ax22axc在区间0,1上单调递减，则a0，f(x)2a(x1)0，即函数图像的开口向上，对称轴是直线x1.所以f(0)f(2)，则当f(m)f(0)时，有0m2.二、填空题(每小题5分，共15分)5二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为x2，最小值为1，则它的解析式为_答案yeq f(1,2)(x2)216已知函数f(x)x22(a1)x2在区间(，3上是减函数，则实数a的取值围为_答案(，2解析f(x)的图像的对称轴为x1a且开口向上，1a3，即a2.7当eq blcrc(avs4alco1(1，f(1

15、,2)，1，3)时，幂函数yx的图像不可能经过第_象限答案二、四解析当1、1、3时，yx的图像经过第一、三象限；当eq f(1,2)时，yx的图像经过第一象限三、解答题(共22分)8(10分)已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且f(x)2x的解集为x|1x3，方程f(x)6a0有两相等实根，求f(x)的解析式解设f(x)2xa(x1)(x3) (a0)，则f(x)ax24ax3a2x，f(x)6aax2(4a2)x9a，(4a2)236a20，即(5a1)(a1)0，解得aeq f(1,5)或a1(舍去)因此f(x)的解析式为f(x)eq f(1,5)(x1)(x3)9(12分)是否存在实

16、数a，使函数f(x)x22axa的定义域为1,1时，值域为2,2？若存在，求a的值；若不存在，说明理由解f(x)(xa)2aa2.当a1时，f(x)在1,1上为增函数，eq blcrc (avs4alco1(f113a2，,f11a2)a1(舍去)；当1a0时，eq blcrc (avs4alco1(faaa22，,f11a2)a1；当01时，f(x)在1,1上为减函数，eq blcrc (avs4alco1(f113a2，,f11a2)a不存在综上可得a1.B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共20分)1已知幂函数f(x)x的图像经过点eq blc(rc)

17、(avs4alco1(2，f(r(2),2)，则f(4)的值等于()A16 B.eq f(1,16)C2 D.eq f(1,2)答案D解析将点eq blc(rc)(avs4alco1(2，f(r(2),2)代入得：2eq f(r(2),2)，所以eq f(1,2)，故f(4)eq f(1,2).2已知函数f(x)2mx22(4m)x1，g(x)mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值围是()A(0,2) B(0,8)C(2,8) D(，0)答案B解析当m0时，显然不合题意；当m0时，f(0)10，若对称轴eq f(4m,2m)0，即0m4，结论显然成立；若

18、对称轴eq f(4m,2m)4，只要4(4m)28m4(m8)(m2)0即可，即4m8，综上，0m8，选B.3已知二次函数yx22ax1在区间(2,3)是单调函数，则实数a的取值围是()Aa2或a3 B2a3Ca3或a2 D3a2答案A解析由函数图像知，(2,3)在对称轴xa的左侧或右侧，a3或a2.二、填空题(每小题5分，共15分)4已知二次函数yf(x)的顶点坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，49)，且方程f(x)0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是_答案f(x)4x212x40解析设二次函数的解析式为f(x)aeq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,2)249 (a0