全国高中物理竞赛力物体的平衡

1、力物体的平衡【基本内容】：1、力学中常见的几种力重力由于地球的吸引而使物体受到的力，方向竖直向下。重力实际上是地球对物体引力的一个分力，另一个分力提供提供物体随地球自转所需的向心力。弹力物体发生弹性形变时，由于要恢复原状，会对跟它接触的物体产生力的作用，这种力叫弹力。在弹性限度内，弹簧的弹力与弹簧的形变量（伸长量或缩短量）成正比。kx ， k 为劲度系数， x 为形变量。摩擦力摩擦力分为滑动摩擦力和静摩擦力两种，当一个物体在另一个物体表面有相对运动或相对运动趋势时，所产生的阻碍相对运动或相对运动趋势的力，方向沿接触面的切线且与相对运动或相对运动趋势相反。滑动摩擦力的大小由公式fN 计算，动摩擦

2、因数是由接触面的情况和材料决定。2、共点力作用下物体的平衡如果几个力作用在物体上，且交于一点或几个力的作用线交于一点，这几个力叫做共点力。如果物体只受三个力作用，一般根据两个力的合力同第三个力等值反向做出平行四边形，解决问题， 处理方法有勾股定理、正弦定理和余弦定理，有时也根据根据相似三角形的关系列方程。如果物体受到三个以上的共点力作用，一般可用正交分解法。物体的平衡包括静平衡和动平衡，即有静止、匀速直线运动、匀速转动三种平衡状态。3、有固定转动轴物体的平衡力矩力与力臂（转动轴到力的作用线之间的距离）的乘积称为力矩，记为MFd，它是使物体绕轴转动状态发生改变的原因，单位为N m 。力偶与力偶矩

3、作用在物体上的大小相等、方向相反、作用线平行的两个力组成的一对力偶。 力偶对物体只有转动作用，其转动作用的大小由力偶矩来度量。力偶矩的大小等于力与力偶臂的乘积，力偶臂等于两个平行力的作用线之间的距离。4、一般物体的平衡力对物体的作用效果可以改变物体的运动状态，物体所受的合力对物体的平动有影响，而合力矩对物体的转动有影响，当这两种影响都不存在时，物体处于平衡状态。所以受任意的（共点的）平面力系作用的物体，平衡条件为Fx0Fy0M i0(对任一转轴 )这三个方程组成平面内任意力系的平衡方程式。值得注意的是，所有力对于某一点的力矩代数和为零时，则对任一点的力矩代数和都等于零，因此，上述方程组中只能有

4、一条力矩平衡方程。当然，平衡方程组也可用两个力矩平衡方程来表示，即FxM AiM Bi000其中直线 AB 不能与 x 轴垂直。若用三个力矩平衡方程表示物体的平衡条件，需注意：选作转轴的三点A 、B、C 不能再同一直线上。对于空间力系， 一般可列出六个独立平衡方程，即所有力在任意x 轴上投影的代数和为零（三个方程） ，所有力对任意x 轴力矩的代数和为零（三个方程）。5、平衡的稳定性物体的平衡可以分为稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡。平动平衡的稳定性处在平衡状态的质点，当受到扰动时，会稍稍偏离平衡位置。这时会产生合外力。 当平衡的物体受外界的微小扰动偏离平衡位置时，如果这物体在所受各力作用下将回到

5、平衡位置，这种平衡叫稳定平衡；如果这物体在各力的作用下将继续偏离平衡位置而不会再回复到平衡位置，这种平衡叫不稳定平衡；如果这物体所受合外力仍为零，且能在新位置继续保持平衡状态，这种平衡就叫随遇平衡。例如， 位于光滑碗底的质点处于稳定平衡状态； 位于光滑圆球顶端的质点处于不稳定平衡状态，位于光滑水平面上的质点处于随遇平衡状态。一个质点可以在一个方向处于某种平衡状态，而在另一个方向处于另一种平衡状态。例如，一个质点位于内壁光滑的水平直管底部，对于平行于管轴方向的扰动，处于随遇平衡，对于垂直于管轴方向的扰动，则处于稳定平衡状态。显然，对于受共点力作用但不能看成质点的物体的平衡可同样讨论。这一类属平动

6、平衡。转动平衡的稳定性相对固定轴可以转动的物体处于平衡时，若受到外界扰动而偏离平衡位置， 产生合外力矩。 如果合外力矩是一个回复力矩，即此合外力矩有把物体拉回原平衡位置的倾向， 那么称原物体的平衡处于稳定的转动平衡状态。同样，可给出不稳定转动平衡状态和随遇转动平衡状态的定义。无固定转轴物体平衡的稳定性对于无固定转轴物体， 当它受到外界扰动而偏离平衡位置时， 会产生合外力和合外力矩。如果合外力是平动回复力，合外力矩是转动回复力矩，那么会有被拉回到平衡位置的倾向，则原物体的平衡位置处的平衡是稳定的。同样，可给出不稳定平衡和随遇平衡的定义。而且，物体可以在平动方面处于一种平衡状态，而在转动方面处于另

7、一种平衡状态；对于同一种平动平衡状态，可以在一个方向上处于一种平衡状态，在另一个方向上处于另一种平衡状态。6、液体静平衡静止流体内的压强液体内部某点处的压强与方向无关，可用公式pgh 计算，式中的 h 是指从该点到液面的距离。浮力浮力是物体在流体中所受压力的合力，浸没在静止流体内的物体受到的浮力等于它排开流体的重量，即FgV ，浮力的方向竖直向上。浮力的作用点称为浮心。浮心就在与浸没在流体中的物体同形状、同体积的那部分流体的重心处， 但它不等同于物体的重心， 只有在物体密度均匀时， 浮心才与浸没在流体中的物体部分的重心重合。物体平衡的稳定性 物体处于漂浮状态时，所受的浮力与重力是一对平衡力。处

8、于漂浮状态的物体，其平衡的稳定性，就其所受扰动方式的不同而不同。对于竖直方向的扰动，其平衡是稳定的； 对于水平方向的扰动， 其平衡是随遇的； 对于过质心的水平轴的旋转扰动，其平衡的稳定性又视其具体情况而定， 若偏离平衡位置后， 重力和浮力的合力矩促使物体恢复到原来位置， 其平衡是稳定的， 若重力和浮力的合力矩促使物体倾倒， 这时物体的平衡是不稳定的。【例题】：m例 1 如图所示，质量为 m 的物体静置于倾角为的固定斜面上，物体与斜面之间的静摩擦因数为 。试问，至少要用多大的力作用在物体上才能使物体运动？解如图所示，设F 的方向与斜面的夹角为，由图示的物体受力情况以及使物体产生运动的条件，得F

9、cosmg sinf0N F sinmg cosNmf将 fN 代入上面两式得FFcossinmgmgcossin当取某一值时，可使F 的值达到最小，上式可写成Fcossinmg2 (11cossin )1212设 sin， cos1， tan2112于是Fcossinmg12 (cos cossin sin )cossinmg2 cos(1)由上式可知当arctan时，所需的力F 最小，其值为cossinFmg21例 2半径为 R 的刚性球固定在水平桌面上，有一质量为M 的圆环状均匀弹性细绳圈，原长为 2a ， aRK ，将圈从球的正上方轻放，绳圈的劲度系数为2a到球上，并使其绳圈沿球表面向

10、下平移，绳圈伸长，先用手扶着绳圈使其各部分都在同一水平面内，最后松手后绳圈能停留在某平衡位bR置，如图所示。考虑重力，不计摩擦。O12 b ，b2a，求K值。（ ）设平衡时绳圈长Mg，求绳圈的平衡位置。（2）若 K2 2 R解 （ 1）设平衡时绳圈位于球面上相应于角的纬线上，在绳圈上任取一小段，长为b ，质量为 mMM （很小） .b2 b2这一小段绳圈在水平面内，两端受张力T 的作用；竖直平面内受重力mg ，方向竖直向下； 球面的支持力为N ，方向沿半径 R 指向球外。 正视图和俯视图分别如图（ a）和（ b）所示。由于很小， sin，因此两22T端张力的合力为2T sinT2K (ba)，

11、位于bNT2水平面内，指向绳圈的圆心。重力mg 、球mg面支持力 N 和张力合力 T都在同一平面(a)(b) T内。当绳圈处于平衡状态时，这三个力的合力为零，可得N sinT0N cosmg0由、两式，得tanT2 K (b a)4 2 K (b a)mgMgMg2b2R又因为tanb221R2R2(2 R)22由式，有Mg tanMg(2 1)MgK2 (b a)2 2 R442(2RR)22(2)若 KMg22 R 时，将它代入式，得tan2(ba)，其中 bR sinRR， a2即tan2 ( R sinR) 2sin1R2sin2sin1s i n 2s i nc o scos上式平方

12、后得sin 2 2sin 21在90 的范围内， 0sin 21 ，式无解，即此时在球面上不存在平衡位置。例 3 人对均匀细杆的一端施力，力的方向垂直于杆，要将杆从地板上慢慢地无滑动地抬到竖直位置，试求杆与地板间的最小动摩擦因数。解当杆与水平面成倾斜角时，受力如图所示，设杆长为2l ，取重力和人作用于杆的力 F 作用线的交点 O 为轴，根据平衡条件得sin ) fl 1 sin2O FNl cosfl (1 sinsin因此fcossincossinNNsin2N2cos2mg12sinN1fcot2 tan要使杆不滑动，须满足fN即12 tancot因为2 tancot2 为正值，所以当2

13、t a nc o t即tan22有最小动摩擦因数2m i n4例 4如图所示，一根细棒，上端A 处用铰链与天花板相连，下端用铰链与另一细棒相连，两棒的长度相等。两棒限于图示的竖直面内运动，且不计较铰链处的摩擦。当在C 端加一个适当的外力， （在纸面内），可使两棒平衡在图示位置处，即两棒间夹角为90 ，且 C 端正处在 A 端的正下方。（ 1）不管两棒质量如何，此外力只可能在哪个方向范围内？试说明道理（ 2）如果 AB 棒的质量 m11.0kg ，BC 棒的质量 m22.0kg ，求此外力的大小和方向。TAAm1gBBFm2 gCC解 （ 1）先用隔离法考虑BC 棒，以 B 为转轴，其重力的力矩

14、与F 的力矩平衡，可知F的方向必须作用在BC 棒左侧向上。 再用整体法考虑ABC 的平衡：系统除受重力 m g 、m g12的作用外，还受铰链A 处的拉力 T 和 C 处的外力 F 作用而平衡。由共点力平衡条件可知，力 F 的作用线应指向棒AB ，且与重力作用线相交，如图所示。(2) 设棒长为 L ， F 与 AC 线的夹角为，用整体法考虑 ABC 以 A 为转轴的力矩平衡，有F2Lsin(m1m2 )g Lsin 452再用隔离法考虑 BC 棒以 B 为转轴的力矩平衡，有FL sin(45)m2 gLsin 452联立解得F12m128m1m210m22g18.7( N )4sinm1m20

15、.39528mm10m22m1122arcsin 0.395例 5 半径为 r 、质量为 m 的三个相同的刚性球放在光滑的水平桌面上，两两相互接触。用一个高为 1.5r 的圆柱形刚性圆筒 （上下均无底） ，将此三球套在筒内，圆筒的半径取适当值，使得各球间及球与筒壁间均保持接触，但相互无作用力。 现取一个质量亦为m 、半径为第四个球，放在三个球的上方。设四个球的表面、圆筒的内壁表面均由相同物质构成，其R 的相互之间的最大静摩擦因数均为315 （均等于0.775）。问：R 取何值时，用手轻轻竖直向上提起圆筒即能将四个球一起提起来？解 设系统已被提离桌面而能保持平衡，受力分析如图所示，平衡方程为上球

16、Fy0N 2即3N2sin3 f 2cosmgf2f1下球Fx0mgN1Af2即N1N2 cosf2 sinN2Fy0mg即f1f2 cosmgN2 sin整体Fy0 ，即 3 f14mg下球M A0 ，即 f1rf 2r由、两式可得f1f24mg 3因为 f1f2 ， N1 N 2将式代入式得N 24 mg cot1 mg133sin将、两式代入式得N11 mg cot4 mg133sin为了使物体之间不滑动，必须满足下列两式：1N111 cot4cosf1sin44sin1N 21c o t14 c o tf 24 s i n4 s i n因为4cos14cot所以只要式满足，式必定满足，

17、也就是说如果发生滑动，首先在上下球之间发生，3因为，由式得154 15sin max3(1 4cos max )等式两边平方，并整理后得128cos2 max可解出cos max24cos max7701116设 Rbr ，借助于俯视图（右图）可知23r23cos33(rR)(1b)b2311231113cos31632 3331但是 b 又不能太小，要使上球不从三球中掉下，必须使23b13所以 R 的取值范围为(23R3231)r(1)r333即0.1547 rR0.6796 r例 6一长方形均匀薄板AB ，可绕通过其重心、垂直于长度方向的固定水平轴 O（垂直于纸面） 自由转动， 如图所示。

18、 A 在板上轴 O 左侧距 O 点为 L 处以轻绳悬挂一质量为 m 的物体。在轴 O 的右侧板上放一质量也是m 的立方体，立方体边长以及其左侧面到轴O 的距离均为 l 。已知起始时板处于水平位置，挂物与地面相接触，轻绳紧绷，整个系统处于平衡状态。现在立方体右侧面中心处施一沿水平方向向右的力mlOBLmF 去拉它，若用符号表示立方体与板面间的静摩擦系数，当F 从零开始逐渐增大至某一数值时，整个系统的平衡状态将开始被破坏。试讨论：可能出现几种平衡状态被破坏的情况？每种情况出现的条件是什么？要求在以为纵坐标、x （ 2L3 ）为横坐标的图中，画出l可能出现这几种情况的区域。解起始时 F0 ，一直系统

19、处于静止状态，且绳是绷紧的，用T 表示绳中张力，由力矩平衡方程可知TL mg(ll ) .（1）2因为重物静止在地面上，所以有Tmg .（ 2）由以上两式可得mgLmg 3 l ，即x ( 2L23) .0（ 3）l这是 L 和 l 必须满足的条件.开始破坏原来的平衡有几种可能：若立方体发生滑动，则要求lmOFLlTmFm g.（ 4）若立方体不发生滑动而绕右下棱转动，则由转动定律可知，此时应满足的条件为F lmg l即 F mg .（ 5）22若立方体既不滑动也不转动而板发生偏转，由于此时立方体和板之间无相对运动，可将立方体和板作为一个整体对待，它们所受的外力有F 、立方体的重力和绳子的张力

20、，如果板发生偏转，则左侧的重物将离地，绳中的张力等于mg 。由转动定律可知，板发生偏转应满足的条件为F lmg 3 lmgL 即 F( 2L3 )m gx m. g（ 6）22lF 逐渐增大时究竟发生什么运动，取决于上述（4）、（ 5）、（ 6）式三个条件哪个先被满足，实际上这取决于、 l 和 L 的值。下面就通过比较（4）、（5）、（ 6）三个条件，作出判断如下：（ 1）当1，x ，则首先满足的是 Fmg ，故首先发生立方体滑动；（ 2）当1 ， x 1 ，则 Fmg 首先被满足，即首先发生立方体绕其右下棱转动；板（ 3）当 x1， x， Fxmg 首先被满足，即偏立方体翻转首先发生板偏转。

21、1转由上述各种情况判断，可得图（a） .0立方体滑动xx12Lx3l(a)例 7 半径为 R 的圆环绕其铅垂直径轴以不变的角速度匀速运动。两质量为 m 的珠子用长为 L R 的轻杆相连，套在圆环上可以无摩擦地滑动，如图所以。试求轻杆在圆环上的平衡位置，用环心 O 与杆心 C 的连线与铅垂轴的夹角表示，并分析平衡的稳定性。O解 在随环转动的参照系中，杆与珠子系统的平衡成静平衡，杆的运动是绕环心并垂直于环面的水平轴（称 O 轴）的转动。在平衡时，作用在杆上的力有重力、环的支承力和惯性离心力。由于支承力沿环半径，对O 轴无力矩，因此，只需考察重力力矩和离心力矩的平衡。当 OC 与铅垂轴成角时，重力相

22、对 O 轴的力矩（取增大方向为正）M O2 m g O Cs i n3Rs i n3m g Rs i n2 m g2作用在上、下端珠子上的惯性离心力f1 、 f2为f1m2R sin(30 )f2m2 R sin(30 )对于 O轴的力矩 M1、 M2为M 1f1R cos(30 )m 2 R2 sin(30 )cos(30 )1m2 R2 sin(260 )f1Cf 22mg2M 2 f2 R cos( 30 )m2 R2 sin( 30 )cos(30 )1 m 2 R2 sin(260)2作用在杆上的合力矩为M3mgRsin1 m 2 R2 sin(260 )sin(260 )2mRsi

23、n( 3g2 Rcos )杆相对于环保持静止，要求合力矩M0，即mRsin(3g2 R cos )0解此方程得杆的平衡位置：当 3g 2 R 1，即当 3g 2 R 1，即223g时，R3g时，R11，22， 3arccos( 32g ) ；R。由于23g时， cos3g0，所以归于 10 ，而不写成 3 。R1 ，2 R讨论各平衡位置的稳定性，只需考察偏离各平衡位置后，所受合力矩的正负，看看是否回复到平衡位置。 然后， 我们在 坐标轴上标上平衡位置， 再在各平衡位置附近标上由合力矩表达式确定的正负号。当当223g时R0arccos( 3g2 )RM3g时R0M根据以上各平衡位置附近合力矩的正

24、负号表示，可以判断：当23g时，3arccos( 32 g ) 是稳定平衡位置，因为受到扰动而偏离3 时，RR将受到回复到平衡位置的力矩；同理，当23g0 是稳定平衡位置。的时，1R平衡位置属于不稳定平衡位置。例 8如图所示，物体A 、 B 及滚轮 C 质量为 m ，滚轮 C 由固定C在一起的两个同心圆盘组成，半径分别为2r 和 r，各接触面处静2rB摩擦因数均为。求 C 维持系统平衡时，最小值为多少？解法一图（ a）、（ b）、（ c）分别为滚轮C 和物体 A、B 的受力分A析图。由平衡关系可知对滚轮C，有fBN地BTNBCf地NBANCf CmgfBmg Tmg（ a）（ b）（ c）Tr

25、 fB2rf C2r （以圆心 O 为轴）fCNBNCTmgf BfCNCf BNB对物块 A ，有Tmg对物块 B，有NBf地N地mg fBf地N地联立以上方程，可解得1min3解法二 对轮 C，有NCm gTBf2 m g B f对B物，有N地mgfB对轮 C以O为轴，有f B2rfC 2rT rmg r即fBfCmg2即fBmg 2故NCN地而对整体有f地fC这表明 B 和地面之间先于轮C 和地面之间达到最大静摩擦力。若 B 和地面之间先达到最大静摩擦力、而B 与轮 C 之间尚未达到最大静摩擦力，则f地N地( mg fB ) fC而f BfCmg212mg ， fC3mg故f B)2(1

26、2(1)对轮 C 与物 B 接触处，满足f Bf B12N Bf C3即3 2210易得13若 B 和地面之间未达到最大静摩擦力，而B 与轮 C 之间已达到最大静摩擦力，则fBNBfC( mg 2 fB )得fBmg ， fC1mg2(12(1)对物 B 与地面之间，满足f 地fC1N地mgf B23易得13两种假设求得的值范围相同，这表明物B 与轮 C 和物 B 与地面之间同时达到最大静摩擦力。例 9如图所示的杯中盛有密度均匀的混合液体，其密度为，经过一段时间后变为密度为别为1 、2 （ 12 ）的两层均匀液体，h1设其总体积不变， 则杯内底面所受的液体的压1hh2强是否有变化？若有变化，如

27、何变化？试证明2你的结论。解若杯子是柱形面的，显然液体分层后对容器底面的压强相等，因为液体的总质量不变，但事实上， 杯子不是柱形面而是向上敞开的，由于倾斜的杯壁也支持了一部分液体的重量，故液体对杯底的压强可能要发生变化。设分层前液柱高为h ，大气压强为p0 ，液体对底面的压强为p ，则pp0gh设变化后上、下层液柱高分别为h1 、 h2 ，对底面的压强为p ，则pp0 1 gh12 gh2即pp1 gh12 gh2gh因为总体积不变，所以有hSh1 Sh2 S21式中 S 、 S1 和 S2 分别表示混合液体、变化后的上层液体和下层液体的平均截面积，因为总质量不变，所以有hS1h1 S12h2

28、 S2即( 22(1)h2 S1 )h1 S因为2121 ， SS所以( 2)h2(1 )h1即1 h12h2(h1 h2 )h由此得pp例 10 如图（a）所示，半径为 R 的匀质球浮在密度分别为1 、2的分层1液体界面处。设， 241(1032)0 。x O100，匀质球的密度4求当球保持静止时，球心O 与分层液体界面间的距离。2a）解 设球保持静止时，球心O 与分层液体界面间的距离为x 。由于1( 1 2)，所2以球心 O 在界面以上。如图（ b）所示，为球上下部分密度分别为1 、2 内的球缺体积表达式V12R2 (R x)1x( R2x2 )F133V22 R2 (R x)1x( R2

29、x2 )O33设球上部表面受到密度为1 的液体的向下压力为F1 ，利用假想的密xR度为1 的这部分球体的平衡，建立方程F2F1 1V1g1 gH (R2x2 )（ b）此处 H 为液面至两液面分界处的距离，解得F11 g H (R2x2 )2 R 2 ( R x)1 x( R2x2 )33设球下部表面受到密度为2 的液体的向上压力为F2 ，利用假想的密度为2 的这部分球体的平衡，建立方程F22V2 g1 gH ( R2x2 )2 g2R2(Rx)1x(R2x2 )1 gH (R2x2 )33以球作为对象，写出平衡方程43F2F1Rg代入 F1 、 F2 ，整理得x33R2 x 2R312202

30、1代入1 、2 、，得x33R2 x2R30因 xR ，所以x22RxR20解出 x0 的合理解为x2R 2R24R22 ( 3 1)R 0.52R22例 11如图（ a）所示，质量为 M 的圆柱体位于可动的平板车和倾角为的斜面之间，圆柱体与小车间的摩擦因数为1 ，与斜面间的摩擦因数为2 .要使小车向左匀速运动，必须对小车施加多大的水平推力？（地面与小车之间的摩擦不计）yAAN2xOf2FMg OBfN11B(a)(b)解先对圆柱体进行受力分析，必须注意在B 点的摩擦力f1作用下，圆柱体有顺时针转动的趋势，所以 A 点的摩擦力 f2 方向沿斜面向左，受力分析如图（b）所示。根据力矩平衡原理，以

31、O 为转动轴，有f1Rf 2R即f1f2将 f2 和 N2 沿水平和竖直方向分解后，根据力的平衡原理，有N2sinf2cosf10N1MgN2 cosf 2 sin0由、式得f1f2sinN 2cos1因小车匀速运动，有Ff1所以FsinN21 cos将式代入式，得N1 MgN2因式与式未能得出F 的最终结果，为此应进行讨论：（）若1N12 N2此时在 A 处的摩擦力为最大静摩擦力。因此有FsinN22N21cossin2 )0 .改写为N 2 (1 cos这里又有两种可能：（ a）若sin，则N2 0， F0 ，这是圆柱体做顺时针转动，摩擦力为零，12cos小车前进不需要推力。（ b）若si

32、n， N2 无意义，即圆柱体被卡住，即使推力为无穷大，小车也不会12cos前进。（）若 1 N12 N2此时在 B 处出现最大静摩擦力，即f11 N1 ，代入上面式和式可得sinN 21 (Mg N 2 )cos1整理后可得N21Mgsin11cos这里也出现两种可能性：（ c）若 1sin， N2为负值，无意义。这种情况下圆柱体同样被卡住，小车不会1 cos前进。（ d） 1sin，则有cos1F1N11 (N2 Mg )即1MgF1Mgsin11cos1Mg1(1cos)1sin因此本题的完整答案应该包括（a）、（ b）、（ c）、（ d）四种情况。例 12 （第二十届全国中学生物理竞赛复

33、赛）有一半径为止在水平地面上，并与竖直墙面相接触。现有另一质量与R的圆柱 A，静A 相同，半径为r 的较细圆柱B，用手扶着圆柱A ，将 B 放在 A 的上面，并使之与墙面相接触，如图所示，然后放手。已知圆柱A 与地面的静摩擦系数为0.20，两圆柱之间的静摩擦系数为0.30。若放手后，两圆柱体能保持图示的平衡，问圆柱B 与墙面间的静摩擦系数和圆柱B 的半径 r 的值各应满足什么条件？解 放上圆柱 B 后，圆柱 B 有向下运动的倾向，对圆柱A 和墙面有压力，圆柱A 倾向于向左移动， 对墙面没有压力。 平衡是靠各接触点的摩擦力维持的。现设系统处于平衡状态，取圆柱 A 受地面的正压力为N1 ,水平摩擦

34、力为 F1 ；圆柱 B 受墙面的正压力为 N2 ，竖直摩擦力为F2 ；圆柱 A 受圆柱 B 的正压力为 N3 ，切BF2N2向摩擦力为 F3 ；圆柱 B 受圆柱 A 的正压力为 N 3 ，切向摩擦力为 F3，F3N 3Mg如图（ a）所示，各力以图示方向为正方向。AF3N3已知圆柱 A 与地面的摩擦系数1 0.20 ，两圆柱间的摩擦系数Mg3 0.30 。设圆柱 B 与墙面间的摩擦系数为N12 ，过两圆柱中轴的平F1面与地面的交角为。设两圆柱的质量均为M ，为了求出 N1 、 N2、（ a）N3 以及为保持平衡所需 F1 、 F2 、 F3之值，下面列出两圆柱所受力和力矩的平衡方程：圆柱 A：

35、Mg N1 N3 sinF3 cos 0（ 1）F1N3 cosF3 sin0（ 2）F1R F3R（ 3）圆柱 B：MgF2N 3 sinF3cos0（ 4）N 2 N 3 cosF3 sin0（5）F3 rF2r（ 6）由于 F3F3 ，所以得F1F2F3F3F（ 7）式中 F 代表 F1、 F2、F3、 F3的大小。又因为N3N 3 ，于是、和式成为MgN1 N3 sinF cos0（ 8）FN3 cosF sin0（ 9）MgF N3 sinF cos0（ 10）N2N3 cosF sin0（ 11）以上四式是 N1 ， N2， N3 和 F 的联立方程，解这联立方程可得N2F（ 12

36、）N 31 sinMg（ 13）1cossinN 2Fcos（ 14）Mg1 cos sinN12cos2sin（15）1cosMgsin式（ 12）、（ 13）、（ 14）、（15）是平衡时所需要的力，N1 ， N2 ， N3 没有问题，但F1 ，F2 ， F3 三个力能不能达到所需的数值F ，即式（ 12）、（ 14）要受那里摩擦系数的制约。三个力中只要有一个不能达到所需的F 值，在那一点就要发生滑动而不能保持平衡。首先讨论圆柱B 与墙面的接触点，接触点不发生滑动要求2F2N 2由式（ 12），得F21N2所以21（ 16）再讨论圆柱 A 与地面的接触点的情形。按题设此处的摩擦系数为10.

37、20 ，根据摩擦定律 fN ，若上面求得的接地点维持平衡所需的水平力F1 满足F11N1 ，则圆柱在地面不滑动；若F11N1 ，这一点将要发生滑动。圆柱 A 在地面不发生滑动的条件是F1cos1（17）N12 cos2sin由图（ a）可知cosRr（ 18）Rrsin1cos22Rr（ 19）Rr由式（ 17）、（ 18）、（ 19）以及10.20 ，可以求得1（ 20）rR9即只有当 r1 R 时，圆柱 A 在地面上才能不滑动。9最后讨论两圆柱的接触点，接触点不发生滑动要求3F3cos（ 21）N 31 sin由式（ 18）、（ 19）以及30.30，可解得r ( 7 ) 2 R 0.29

38、 R（ 22）13显然，在平衡时，r的上限为 R ，总结式（ 20）和式（ 22），得到 r 满足的条件为Rr0.29 R（ 23）【训练题】：1、一个小物体与竖直墙面之间的摩擦因数0.25 ，当作用力与竖直方向成的角度53 时， F 至少为 10N 才能维持物体静止，如图所示，问：1）在 不变的情况下， 需要多大的力才能使物体沿墙面做匀速运动？2）在 已确定的情况下， 要使物体向上做匀速运动，有什么限制？2、 一根长度为 l 的杆 AB 重为 G ， B 端压在粗糙的地面上，A 端用一根足够牢的轻绳斜拉在地上，绳与杆的夹角为。在离 B 端 a l 处有一个水平作用力 F 。问：（ 1）杆 B

39、 端与地面之间的动摩擦因数至少为多大，才能维持杆静止？（ 2）如果 B 端与地面之间的动摩擦因数为0 ，那么在 AB 上有一点 D，在 AD 之间不论施加多大的水平力 F ，都不会破坏 AB 的平衡，求 D 点的位置。3 质量为 m 的两环 A 、B 用长为 a 的细线相连套在水平杆上，在mM 的物块 C，如图所示。 A 、 B 环与杆细线的中点挂有一质量为A间的静摩擦因数为，求平衡情况下两环的最大距离 x 。AFalBmBCM4、质量为M 1 、 M 2 的两星体相距L ，一质量为m 的小星体位于两星体的连线上，求小星体的平衡位置， 并分别讨论对小星体沿连线方向的扰动和垂直于连线方向的扰动，

40、其平衡的稳定性。5、 石质的水库底上有一棱长为 a 2m 的立方体，其材料密度是水密度的 7 倍，想用一装置把立方体从水库底提上来，该装置采用吸盘的原理，如图所示，即把一边长为a 的正方体吸盘紧扣在立方体的上表面，抽走吸盘内的空气直到压强p0。试问能不能借助这个装置把立方体拉到水面？如果不能，在什么深度立方体脱离吸盘？已知大气压强 p0105 Pa .6如果把一只截面是六角形的铅笔放在与水平面成角的斜面上，垂直于斜面母线（斜面与水平面的交线） ，则铅笔静止不动。如果把铅笔平行于母线放置，则它向下滚。现将铅笔的轴与斜面母线间成夹角放置，如图所示，铅笔还处于平衡，试求角。一盛水容器绕竖直重心轴匀速

41、转动，试证明容器中的水面为抛物面。一个质量为 m 的碗，反扣在装满水的较大密度容器底部，碗的形状是半径为 R ，高也为 R 的圆柱， 再挖去一个半径同水样是 R 的半球形空穴，如图（ a）所示。在空穴里充满水银，h接抽水机将水从容器里慢慢抽出。水、水银的密度分别为、 1 ，水银试确定：(a)（ 1）在水柱高度 h 为何值时，碗内水银开始从它的下边流出？（ 2）假定从容器里把水全部抽出，孔里水银的高度h1 是多少？9 在一深度为 H 的容器中充满液体，液体密度从表面的0 到容器底的成线性变化，液体里浸入两个体积同为V 的小球，小球间用长为l 、不可伸长的轻细绳连接， 第一个小球密度为1 ，第二个

42、小球密度为2 ，过一段时1H间后，两小球静止于如图中所示。求绳中张力。2如图所示，由 n 个动滑轮组成一个复式滑轮组，每个滑轮质量为 m ，第一个滑轮上吊一个重为 G 的物体， 试求最末一级滑轮上需多大的力 F 。FG如图（ a）所示，有一长为 l 、重为 W0 的均匀杆 AB 的 A 端顶在竖直的粗糙墙壁上，杆端与墙间的摩擦因数为；B 端用一强度足够而不可伸长的绳悬挂，绳子的另一端固定在墙壁上的C 点，木杆呈水平状态，C绳与墙的夹角为。（ 1）求当杆能保持平衡时，与应满足的条件。AB（ 2）杆保持平衡时，杆上有一点P存在，若 A 与P点间悬挂一重物，则当重物的重量W 足够大时可以使平衡破坏；

43、而(a)在 P、B 间任一点悬挂任意重量的重物都不能使平衡破坏，求PA 的距离。12 如图（ a）所示，匀质圆柱体夹在木板与竖直墙之间，其质量为 m ，O半径为 R ，与墙和木板间的动摩擦因数均为，板很轻，其质量可53忽略，板的一端 O 与墙用光滑的铰链相连，另一端A 挂有质量为 mA的重物， OA 长为 L ，板与竖直墙夹角，53 ，试问 m 至少需m要多大才能使系统保持平衡？并对结果进行讨论。（ a）13 用两个“爬犁”在水平雪地上运送一根质量为m 、长为 l 的均匀横梁，横梁保持水平，简化示意图如图 （ a）所示。 每个爬犁的上端A 与被运送的横梁端头固连，下端 B 与雪地接触， 接触面积很小。 一水平牵引力 Fl作用于前爬犁，作用点到雪地的距离用h