随城市人口的增长和社会经济的持续发展ppt课件

1、 随城市人口的增长和社会经济的继续开展，城市交通问题日益突出。立足长久目的，搞好城市交通规划，加强交通根底设备的建立是非常重要的。交通分配模型普通城市交通网络优化，通常彩所谓的“四阶段法：交通生成，交通分布，交通方式选择和交通分配。其中前三阶段的模型方法比较成熟，第四阶段在实践路网中的实现难度比较大，由此派生的实际和方法也很多，但都难到达很好的效果，本节主要讨论交通分配模型。数学模型第一节 交通网络系统的描画我们用节点和弧来描画交通网络，节点对应于交叉路口，节点间的有向道路或路段对应于弧。 用出行本钱综合表示出行者在弧上行驶所破费的时间、费用等要素。 起论点origin-destination

2、，常称OD对那么是交通量的最早开场和终了节点。路或途径是指衔接2个起论点之间的有向路段弧的序贯集合。 途径的出行本钱就是该条途径所所含的弧出行本钱之和，用GN，A表示一个交通网，其中N是节点集合，A是弧集合。 令： I：产生交通量的起始节点集合，J：吸引交通量的终迄节点的集合，：衔接起始节点心和终迄节点通常称OD对的一切途径的符合。数学模型：OD对的交通量。记：OD对之间第K条途径上的流量，记：OD对之间的第r条途径上的费用。记 ：路段弧a上的交通流量。记 ：路段弧a上的费用，记 记为 ，通常称矩阵：假设路段a在衔接OD对 的等r条途径上，其值取1，否那么取0。矩阵 记为 ，矩阵向量 为OD对

3、的关联矩阵。数学模型一个可行的途径流量h是指满足如下流量守恒条件的流量：费用满足如下关系式 ：用矩阵表示如下 ：2 数学模型第二节 UE配流的数学规划模型 在进展成市交通网络规划时，交通分配的目的是如何将每个OD对的交通需求量在前三阶段曾经求得分配到交通网络的各条路段上去。通常采用的是平衡配流模型，这一类模型是在Wardrop平衡原那么的根底上建立模型的。本节及今后几节着重讨论这一类模型。Wardrop平衡配流原那么： 在起讫点之间一切可供选择的道路中，运用者所利用的各条道路上的出行费用全部相等，而且不大于未被利用道路上的出行费用。 满足这一原那么的交通形状称为Wardrop平衡形状，上述配流

4、原那么又可称为用户平衡User Equilibrium，UE配流。在平衡形状下，系统到达稳定，此时任何一个运用者用户在起记讫点之间都不能找到一条费用更小的线路，换句话说，任何一个用户都不能一方面改动其途径并能降低其费用。数学模型Becrmann用以下数学方式描画Wardrop平衡形状：其中 为平衡形状下OD对 之间的出行费用。4 5 6 7 UE配流通常被归纳为如下一个凸规划问题：P1数学模型8 9 在这个模型中，基于如下两个假设：1、假定弧费用仅仅是该弧流量的函数，与其它弧上的流量没有关系；2、拥堵效应：假定弧的费用是流量的严厉增函数，用数学方式表达为：数学模型模型P1是凸规划问题证明略，因

5、此它的解是存在独一的。其目的函数本身并没有什么直观的经济意义，但模型的解与Wardrop平衡原理是等价的。下面我们将论述这一结论。现实上，其拉格朗日函数为：10 其中， 、 分别为拉格朗日乘子， 、 分别为其对应的向量表示。一阶条件为：11 12 13 数学模型其中又由于数学模型16 17 留意到， 是非负变量 的拉格朗日乘子，因此有 于是，11式为：即从而又由12、13式得：数学模型 显然，以上所推导出的一阶必要条件表达了用户平衡原那么，即：衔接OD对的途径可分为两类：一类途径上有流量，其费用总是等于最小OD费用；另一类途径上没有流量，其费用总是大于或等于最小OD费用，当流量分布到达平衡形状

6、时，再没有一个司机可以经过一方面改动行驶途径而可以减少其行驶费用了。数学模型 显然，16、17就是流量守恒约束，它们在平衡形状下自然满足。 我们来分析13、14式。当 时 ； 当时 ， 。这就是说，对应于OD对 的拉格朗日乘子 总是小于或等于衔接OD对 的恣意途径的费用。因此,是起始节点 到终讫节点之间的最小费用。 Becrmann等提出的城市交通平衡配流模型沉睡了多年以后，求解这个模型的有效算法才得以产生。其缘由是模型P1的约束条件过多，而普通算法只适宜小于型问题的求解，因此无法处理实践的平衡交通最分配问题。直到上世纪60年代后期，人们对问题P1的进一步研讨才发现Flanr-Wolfe算法可

7、以有效的处理这个问题。 下面我们来引见模型P1的求解算法。 F-W算法求解非线性凸规划模型P1的普通步骤是，当迭代次数为几时，令目的函数值下降的搜索方向应由解下面的线性规划问题得到：P219 20 数学模型21 22 P2其中 是可行途径流量， 是可行路段流量。由 得，式19可变为：以上各式中， 是知数，即由 决议的路段出行费用， 是要求解的未知数。因此，该模型实践上是在各路段出行费用一定的条件下使网络总费用最小的经典运输问题。显然，在这种情况下，将OD需求量全部沿OD间的最短途径上分配即可使目的函数值最小。求解出 的决议了第n次迭代方向，即下一步迭代的方向为 与 的连线。至于本模型求解，普通

8、的运算学书都人引见。数学模型24 25 迭代长由下面的一维极值问题决议：这一问题的求解，普通的高等数学书都可以查到。这样，线性规划P2可以得到下一步的迭代方向，求解一维极值问题P3可以得到迭代步长。因此，下一步的迭代点便可以由下式得出：P3对于算法的收敛性那么，可以根据两次相邻迭代中交通流量的变化来断定，假设变化很小，就可以以为到达平衡而停顿迭代：26 其中 为预选给定的值。数学模型 现将以上算法规纳如下：第1步：初始化，令 ， 将OD需求量全部加载到最短途径，得到弧流量 ，这一加载方法称为“全有全无法AllorNothing，置n=1；第2步：计算 ；第3步：搜索可行方向，根据 ，用“全有全

9、无法将OD需求量加载上网，得到弧流量 ；第4步：寻觅迭代步长，求解一维极小值问题： 求得步长 ；数学模型第5步：更新流量：置 ，第6步：收敛性检查：假设满足收敛性那么，那么算法终止，否那么令n=n+1，转到第2步。 此算法中在实际上需求求解满足相应约束条件的线性规划问题，对于大规模网络来说，求解这个线性规划问题的计算量相当大，而且在算法里每次迭代都要求解这样一个问题。从上面我们看到，由于交通网络的特殊构造，线性规划问题将被寻找最短途径所替代，从而大大缩短了算法的计算时间。数学模型第三节 系统最优模型 在问题P1中，网络运用者只从本身利益出发去寻觅最小费用途径，运用者之间互不协调，经过系统内部不

10、断调整后，达到一个平衡形状，这就是用户平衡EU问题，符合的Wardrop最优原那么，通常也称用户EU最优原那么。此外，Wardrop还提出了另一原那么，即系统最优原理。 该原理为： 在思索拥堵对走行时间出行费用影响的网络中，网络中的交通量应该按某种方式分配以使网络中交通量的总走行时间出行费用最小。 该原那么有时又称为Wardrop第二原那么，相应地，前面的Wardrop原那么称为Wardrop第一原那么。 第一平衡原那么反映了道路网利用都选择道路的一种准那么。而第二平衡原那么反映了一种目的，即按什么样的方式分配是最好的。在实践网络中不能够出现第二原那么所描画的形状，除非一切的驾驶员相互协作为系

11、统最优化而努力。这在现实中是不能够的。但第二原理为规划管理人员提供了一种决策方法。 数学模型下面我们来分析系统最优模型SO与用户最优模型UE之间的关系。31 令那么因此，假设以作出行费用函数进展用户平衡分配，得到的解即是系统最优模型SO的解，即模型数学模型32 加上约束条件5、6、7式，即为SO模型P3假设令那么系统最优的目的函数即为用户最大优模型中的目的函数。因此，对费用函数进展不同的修正，UE模型与SO模型可以相互转换。数学模型 系统最优化比较容易用数学规划来表达。其目的函数是对系统的总走行时间总出行费用取最小值。约束条件与UE模型完全一样。因此，该问题可以归纳为下述模型：P3 系统最优化

12、Sgstem Optimization模型，简称SO，其等价性证明与UE模型类似。27 28 29 30 数学模型第四节 弹性需求的UE配流模型 前面引见的UE模型是在OD交通量知并且为常量的前提下建立的模型，但在现实中，OD交通量的大小能够会受网络运转情况的影响，比如当网络中两个节点之间的拥堵程度添加时，有些出行者能够会改动本人的出行方案或放弃出行，相应的OD对之间的交通量会减少。为反映这一景象，可以用一个函数来描画这种关系：33 数学模型 其是是OD对之间的最小费用，表示之间的流量需求函数。通常是单调减函数，并且有上界。这类问题便是弹性需求下的配流问题。相对应地，前几节的问题移为固定需求问

13、题。 我们假设路段上的费用仅取决于该路段上的流量，而与每条途径有效的交通量仅取决于途径上的费用。这样，我们得出这一问题的数学规划模型描画： P534 35 36 37 此模型的等价性证明与UE平衡配流模型类似，模型的求解算法也大同小异，这些我们留给读者来完成。 数学模型第五节 随机平衡配流模型 不同的出行者对最短途径的估计是不同的，对于某一特定出行者来说，他总是选择最小估计阻抗的途径出行，这样的平衡配流问题称为随机平衡配流问题Stochastic User Eguilibrium,SUE。 在实践出行过程中，出行者对路网情况以及交通现状并不能够完全了解，而且存在一些难以量化的要素，因此将途径费

14、用视为随机变量更符合现实。假设我们仍用Wardrop平衡原那么作为出行者的途径选择原那么，所不同的是，这里的最短途径为估计的最短途径。数学模型 由于每条途径的估计阻抗是随机变量，具有相应的概率密度函数，对于某一特定的出行者，每条途径均有一个被选择的概率。 随机平衡配流模型就是研讨在途径阻抗分布函数的根底上，计算有多少出行者选择每一条途径。假定OD对 之间第r条途径被选择的概率是 也就是其估计阻抗在i-j之间一切能够途径的估计阻抗中为最小的概率，即： 由随机平衡配流的定义知，在这种平衡形状下，某个OD对之间一切被选用的途径上，并不一定有一样的实践阻抗值，而只满足下述条件：38 39 数学模型 在

15、此式中，途径流量 与 有关，而 一估计途径阻抗大小有关，而实践路段阻阻是流量的函数，如此循环到达SUE的条件。显然，UE问题仅是SUE问题的特例。 首先构造如下的数学规划模型，然后证明其与SUE条件之间的等价性以及解的独一性。 P6 40 好像UE问题一样，上述模型没有任何直观的行为或经济上的解释，仅是一个无约束的极小值问题，不过我们可以证明它的解满足SUE条件，且在解点上满足网络的一切守恒约束。数学模型下面我们来完成等价性和解的独一性证明。等价性证明：对无约束的极值问题，其极值点上的一阶条件为：对于第一项有： =由于41 数学模型故上式可得 对于第二项，有：对于第三项，有：从而，一阶条件为：

16、42 数学模型假设路段阻抗函数是严厉单调递增函数，即那么当且仅当而此式正是SUE的条件，因此可知无约束最小化问题P6的解与SUE条件等价。解的独一性证明： 易证，目的函数 的Hessian阵虽然是不确定阵，但其在平衡点上是正定的，即平衡点是该无约束极小化问题的一个部分极小点。而 是严厉凸的，从而该部分极小点是全局极小点。模型的算法留给读者去完成。 43 数学模型第六节 思索路段交通量相互影响的平衡模型 在实践的交通网络中，路段游览时间只与该路段流量有关的假设普通不成立，由于某路段的行走时间不仅仅受该路段交通量的影响，至少相邻路段交通量的相互影响在有些情况下是很严重的，例如在无信号灯路口的车流交

17、错点或者双向车道上拥堵时对向车流间的相互影响等。 本节的途径费用只当作游览时间，首先思索受其它路段影响的普通路段游览时间函数，然后分析路段交通量存在相互影响下的数学模型的建立和求解问题。数学模型6.1 普通路段游览时间函数思索路段交通量相互影响时，这段游览时间函数可表求为：当假设路段之间的相互影响对称时，有：反之，影响不对称时，有：此外，我们还假设：路段游览时间为该路段上流量的严厉加强函数，即：44 45 46 47 数学模型路段游览时间主要受该路段本身流量的影响，也就是说，其它路段上交通量对该路段游览时间的影响要比根本身流量的影响小得多有：思索路段交通量相互影响时，这段游览时间函数可表求为：

18、48 数学模型式中 表示集合A的元素个数。6.2 路段间相互影响对称情况一的平衡问题及解法我们先给出模型，然后再证明它的等价性和解的独一性。对固定需求问题，相应的数学规划问题方式为：P749 数学模型 讨论只涉及小汽车和公共交通出行两种方式间的均衡，为简便起见，此处只思索两个路段间有相互影响的情况，那么上模型改写为：50 数学模型现实上，50式中求中项的第一项对 求导，得50式中第2项对求导，得数学模型其等价生和解的独一性证明如下：现实上，50式中求中项的第一项对 求导，得50式中第2项对求导，得数学模型其等价生和解的独一性证明如下：从而可见，目的函数对路段交通量的导数仍等于路段的游览时间。从而其等价性成立。 又由于路段游览函数的Jacob矩阵为： 当此矩阵为正定阵时，即目的函数的海赛矩阵正定时，问题具有独一平衡解。由6.1节的假设、即得为正定矩阵。数学模型本模型用凸组合法解的步骤如下：1方向搜索所阶段需求解的线性规划问题为：即在第几步迭代的路网结果根底上进展一次全有全无分配。 数学模型2步长确实定辅助流量确定后，经过求解以下一维优化问题得到步长：其它步骤与前面所述的算法类似，不再赘述。数学模型6.3路段间相互影响不对称情况下的平衡问题及解法 由前述证明过程可知，当路段的游览时间函