两个角动量的耦合及其磁矩

1、两个角动量的耦合及其磁矩两个角动量的耦合假设量子数为和的两个角动量H和岛（它们是角动量，并没有专 指是轨道角动量或自旋角动量），它们耦合成一个角动量了，即J = L 4- L2L =+ l）fi, Lo = /，22 + 1）方则J = （j + 1）方,j =人 +，2+，2 1, , |，1 一下面证明这一结论。证明的核心思想是：对于一个给定的J量子数， -.7 + !,- ,j - 1,J,或者叫=土金 （顶 一 1）, ,反过来，对于一套叫=-顶,-j + 1, ，顶可以反推求得j量子数。证明：了在外场方向上的分量为TTTJz = J，头=Li&z + L2 ezL = Li,z +

2、L& = i + mg = m.jh由771/1 = /i, l + 1. . . . , Zj 1, Z如=儿 + L 02 + 11? rnj = mil + mi2用冲冲的每一个值加遍冲2中的所有值,将得到I + 1）2 + 1）个不 同的值： fTTlj = l或一，2 + 1, ，2 + 1, . . , . Jl +，2 1 Jl +，2 L+，2 =li ?2j 11 + 1 . ,+，2 1J1 +，2； =* 属于jl =+，2.，1 ，2 + 1, ，2 + 2：.Ji +，2 l；n 属于顶2 =，1 +，2 1-1，1 国,1，1 ，2 + 1, . . .，2； n

3、属于jk |，1 ，2.即有：J =，1 +，2, +，2 1, . . . , Z2I0例1：求=1J2 = 2耦合所得的j, Jo解一：= mu + m/2 = (1? 0,1) 4- (2, 1,0,1,2)=3, 2, 1,0,1; 2, 1,0,1,2; 1,0,1,2,3;=3, 2, 2, 1T 1, 1,0,0,0? 1,1,1,2,2,33, 2, 1,0,1,2,3; = j = 3-2,-l,0,l,2;= j = 2 1,0,1 nj = l即顶=3, 2,1,相应的J =/6/l, /2ho解二：由 j =，+ Z2,Z1+Z2-1,.,|Z1-Z2| 可以得到即顶=

4、3,2,1,相应的J = /12/1, x/6fl, y/2ho例2、求量子数为九=1/2,侃=1的两个角动量耦合所得的，,，解：顶=4 +或，1，一，2| =3/2,1/2,所以J =寸每h2,g2。例3、求处于为态电子的自旋与轨道角动量的耦合(L-S耦合)o解：对于为态，即电子处于 =2的？轨道，对于电子本身而言，具有自旋角动量5, S = s(s + 1)方,s =；电子在刀轨道上运动时，刀轨道对应的轨道角动量量子数Z = l,所以 有顶=/ + s, , |Z s| = 3/2,1/2所以J = a/15/2, y/bh/2o例4、求处于3d态电子的自旋与轨道角动量的耦合。解：对于3d

5、轨道上的电子，其自旋量子数s=l/2,而3d的轨道量子数由d轨道给出，对于d轨道，其相应的轨道量子数/ = 2,所以顶=Z + 1, . .山 一 s| = 5/2,3/2所以J = 0侦 + 1用=35/2, yi5/i/2o学生独立完成的例题：求处于Is态电子的自旋于轨道角动量的耦合。例5、两个电子分别处于2p和3p轨道，求总的自旋角动量量子数， 总的自旋角动量，总的轨道量子数，总的轨道角动量，以及总的角动 量量子数和总角动量。解：对于2p上的电子，其自旋量子数si = 1/2;对于3p上的电子，其自旋量子数如=1/2总的自旋量子数s = S + S2, - , |si S2I = 1,0

6、总的自旋角动量S = /s(s + l)/i x/2/i, 0当电子处于2p轨道时，轨道量子数h = l当电子处于3p轨道时，轨道量子数扇=1总的轨道量子数/ = +成 ，|匕妇=2,1,0总的轨道角动量 = /（/ + 1）方，=孩底0总的角动量量子数为顶=，+邑. . .山s|,这要分情况讨论：对于 s=1, 1 = 2,有）=3. 2,1, J = y/12h. a/6/z, /2h对于s = 1, / = 1,有j = 2,1,0, J =/2/z, 0对于s=i,Z = o,有 j = 1, J = y/2h对于s = 0, Z = 2,1,0. j = 2,1,0, J = /6/

7、z, x/2/i, 0注意，上面的结果中，J的大小相同的有很多个，但它们分别属于不 同的状态，所以不能合并在一起，只写一个。该如何区分这些J值相同，但（人.5）却不同的状态呢？这需要用到所 谓的原子态符号来表示。L-S耦合的原子态符号表示为了区分仁邑J）的原子所处的状态，引入原子态符号2+L,L用总的轨道量子数/所对应的大写字母来表示。如/ = 0对应S,/= 1,2,3,4,5,6,L 则分别用 P,D,F,G,H, I.代表。2s+ 1s为总的自旋量子数，如s二1,则2s+1=3,那么就在大写字母的左上角写上3；如s=0,则2s+1=1,则左上角就写上1 ；如s二1/2,2s+1二2,那么

8、就在左上角写上2。j就是总的角动量量子数。例：写出/ = 1. ,s = 1,j = 2的原子态符号。解：/ = 1对应的轨道大写字母为P, sF可以得到2s+1=3,所以原子态为3八例：写出/ = 0, s = 0的原子态符号。解：由题目可知j二0,所以，其原子态为例、写出/ = 3, s = 0的原子态符号。解:由题目知j=l+s, |l-s|=3,所以原子态符号为1及例、写出2p态电子所形成的原子态符号。解：对于2p态的电子，s=l/2J = l,顶=3/2,1/2。对于/ = l,s = 1/2,j = 3/2,其原子态符号为2尸2对于/ = l,s = 1/2,j = 1/2,其原子

9、态符号为20/2对于s和L都相同的原子态，上面的两个结果可以合并写在一起： 2R/2J/2,虽然写成一个符号，但里面有两个不同的j值，所以代表2 个不同的原子态。例、写出1S态电子所形成的原子态符号例、写出3d态电子所形成的原子态符号例、两个电子分别处于2p3p态，求L-S耦合所形成的原子态符号。解：对于2p态的电子，si = 1/2. = 1对于3p态的电子，s2 = 1/2山=1总自旋量子数s = Si + S2, , | - S2I = 1,0总的轨道量子数为Z =+或 ，|，1 一妇=2,1,0对于s = 0,Z = 2,j = 2,原子态为1 2对于s = 0, / = 1, j =

10、 1,原子态为对于5 = 0J = 0,j = 0,原子态为】S(J对于s =1,1 = 2, j = 3,2, 1,原子态为3。3,3。2,3。1,合并为33 2,1对于s = 1, Z = l,j = 2,1,0,原子态为3B?. 1.0对于s = 1,/ = 0. j = 1,原子态为估1作业：两个电子分别处于2p和3d轨道，求总的自旋角动量量子数， 总的自旋角动量，总的轨道量子数，总的轨道角动量，以及总的角动 量量子数和总角动量。并写出L-S耦合所形成的原子态符号。反过来，我们也应该能够从一个给定的原子态符号中得到(/,$/) 的值。例、对于原子态压,求，S顶勺值。解：由2s+1=3可

11、得s=1；由右下角的数值5可以得出j=5,对于大写 字母H,所对应的轨道量子数Z = 5,即(小3) = (5,1,5)。耦合的方式LS耦合：就是轨道角动量L和自旋角动量S的耦合，通常是先求 出总轨道角动量万以及总自旋角动量京然后再用万和&耦合成总角动 量了。L L + L2 + . . L =+ 1)底 / = + ,-S=昌+易+S = S*S + 1)/1, S = Si + S2 J = L + SJ =(顶 + 1)4顶=/ + s,z + s _ 1, . , |z _ s|对于LS耦合，可以使用原子态符号公+i&来表示。jj耦合：就是每个轨道上的单个电子的自旋与轨道先耦合成一个

12、角动量然后各个Z之间耦合成一个总的角动量了。即Ji = Li + SiJ Ji + . J =+1)底顶=顶1 + 顶2 对于jj耦合，通常用如,)来表示。例、2个电子分别处于2s2p轨道，求jj耦合所得到的角动量。解：电子处于2s轨道时，si = 1/2 Ji = 00 = 1/2电子处于2p轨道时，s.2 = 1/2,6 = 1J2 = 3/2,1/2所以对于j,有：当顶2 = 3/2时，j = ji + j2J +顶2 1，|顶1 一项2 = 2, 1,对应的原子态有1 32?2可以合并写成2大小分别为面I, /2fio,对应的角动量的2.1可以合当J2 = 1/2时，j = 1,0,对

13、应的原子态为,相应的角动量大小为/2/.,0oZ l.o其他的耦合方式：如处在第/轨道上的电子自旋与j轨道上轨道角动量先耦合等等。这种情况耦合的强度远远弱于前面两种，通常不考耦合角动量相对应的磁矩以及朗德因子仍对于量子数的两个角动量源,君，了=1 +况 其与j相应的磁 矩为用=-9”，灼 = 一 J = -g-h/jG +1) =+ 1)而与扁J相应的磁矩为TT01 = 一。函1,02 = 一。2汕2这两个磁矩的耦合得到0 =-机。11 +。2,2)由于0可能会与.於不相等，所以得到的日与用可能不在同一直线 上，会有一夹角，即/7尹周。而在了方向上的投影，即为用，即有三-邛g,jJ今ft_ 了

14、=孑_-701 El +。2万2） （El + 了2）=91 Li + 922 +（91 + 92）Li - L，2=J2JJ2Lx L2=Zi 4- 9 =： +以+ 2履扃n=；（j2 _ 身 _ 说）所以有_ I（51 + 32）J2 + （。1 *（。1 +。2） L + （。2 一 *（。1 +。2）说第=91 + 92（91 免）（昌易）=+冒即有：对于无=-ygiL和而=一刈2匚1耦合所得到的flj = Sjj,其朗德因子勿 + 92（91 - 92）（-7 勇）仞=下*斗=寸+（y葛）3=面而例如，对于LS耦合，gi = gi = I,% = gs = 2, L=，为轨道角动量

15、，L2 = S为自旋角动量，那么，其朗德因子为3S 2 一 L 2+ 22/这样,= 一 gp/J = 一切也/顶（顶 + 1）如果gj = 0,意味着fi j = 0,根据/.ij = p J/ J可知，要么/7 = 0或J = 0或垂直于了例1、求aS#的灼解：对于 2另/2 ,有 / = O,s = 1/2, j = 1/2 , L = 0. S = /3h/2, j = /3/i/2,代入3 S2-L2箱=寸kf-g, = 2,所以印=-9j/*j + 1膈=_2招瓦# =例2、求叩/的力必。例3、电子处于2p轨道上，求其原子态、角动量和磁矩的可能值。例4、两个电子处于2s3p轨道，求

16、LS耦合的原子态、角动量和磁矩 的可能值。例5、两个电子处于2s3p轨道，求jj耦合的原子态、角动量和磁矩 的可能值。解：对2s轨道上的电子,si = 1/2J1 = 0,九=1/2,相应的朗德因子3 S2 L2 3 si(si + 1) 022.P2 十 2顶心 + 1)对3p轨道上的电子，s2 = 1/2,/2 = 1,先=3/2, l/2o当j2 = 3/2时，其朗德因子为_ 3$2($2 + 1) ，2(，2 + 1) _ 4弟=22 如2 + 1)= 3当j2 = 1/2时，其朗德因子为 TOC o 1-5 h z 3S2（S2 + 1） ，2（，2 +1）2+ =22顶.2（顶2 + 1）3所以jj耦合的结果为R 491 + 92 （勿 一。2）/1（顶1 + 1） 顶2（顶2 + 1） = 3顷衫2浦_22j（顶+ 1）_ 2相应的角动量大小为Z =思们磁矩“ =磁矩在外场方向、3上的分量为代=m.j = 2, 1,0, l,2oR 4= 91 + 92 （gi