大白本解答(月版,章曲线积分和曲面积分)

1、第九章、曲线积分与曲面积分曲线积分部分、(1)直接计算：lfyxdy=1fy一.ydy0fyydy=2；fy.ydy111lfyxdyfx2xdx22x2fx2dx=4。x2fx2dx，故选项B是对的。直接由Green公式，应选D。设Li：x24y2=a2,a0适当小，使在L所围区域内，Li取顺时针方向，再设D为LLiLLixdy-ydx22x4yL,Li包含的平面区域，则由Green公式:J0 xdy=ffOdxdy=0纲氐+4y“JJ所以,所以,i-xdy-ydxr-xdy-ydxy)dxdy=兀，应选D內丿选C11.直接计算：Jf(x,yds=Lfk(t艸(t闪巧而市dtL2直接计算：应

2、填-老计算：L:y=O,x从2到00Ix22xydxy22xydy二x2dx二-L2应填2，计算：由Green公式ixydx-2ydy二0-1dxdy-2LD4应填：12a,由“对称”性易知：2xyds=0D22、$2xy+3x2L$2xy+3x2L4y2ds12$yds訂12ds=12aLf11lx丿xlx丿令u=y,z=f(u)得:xdTu-uZ2解此一阶线性方程得：z=3u2-2u。即：.z(191f(u)=3u-2u,利用初始条件f(1)=1，解得:f(u)=u3-u21，所以,曲面积分部分一、1.因是平行于yoz坐标面的一个柱面，故直接计算曲面积分11f(x,y,z)ds时，可将Zv

3、分为从z轴来看的上、下两部分，然后再往xoy面上投影。注意到在上半部分，z是非负的，在下半部分，z是负的。故选C。2易知在区2上的点(x,y,z)处的单位向量n=吉5,-1,-1。故由两类曲面积分的关系：111PdydzQdxdzRdxdy=(QR)ds，所以选项A是正确的。2B的错误在于，=是上侧，故右边是正号；C的错误在于，在1上，关系式x=_z-y2是不成立的；D的错误在于，在xi上,y=Jz-x2是不成立的。3.因在前、后球面上，xcosx是反对称的，故选项A的积分为零；同理选项B及C的积分都是零。故选项D是对的，原因是iixds和11yds这两个积分都是0，显然x24yz2丄x24y

4、2卡2二2(x2y2)ds0。x2y2z勺易知，在的柱面部分上：n(x2y2z2)dxd0，而在两个顶面及222222I：z-1上，|i(xy-z)dxdy-(xy-z)dxdy，故选项A的积分为0;对于B，在上，z=0，故11xdydz：11ydxdz=0,11zdxdy：ii0dxdy=0，故积分为0;将ZZZZ17按x轴方向分为前、后各个球面打2,则为前侧，为后侧。有：417xdydz=2Jfxdydz0，故选项C的积分不为0;若将为烈2二7黑厂2丄2丄27xxyzxyz按x轴方向分为前、后两个对称的半椭球面，贝广1是前侧的，而72是后侧的，再由于x2是x的偶函数。故iix2dydz=0

5、，同理，y2dxdz=0，iiz2dxdy=0。ZZZ注意到jiPdxdyQdydz-Rdzdx能用Gauss公式的两个前提条件：是外侧(或内侧曲Z面)，P、Q、R在近所围的0内一阶偏导数连续，容易知道选项D是对的。A不对：a的球面部分和平面部分的定向不能保证a同时是外侧(或内侧)的。B,C不对：P、Q、R不可偏导的点(0,0,0)在门内。注意到在上：x2y2z2=1。直接计算得：X22dydz二、xdydz二dv(gauss公式)xy-z、x2y2】z2=4二，故选项C是正确的。3选项A、B、D的错误的共性在于，计算第二类曲面积分，错误地用了“对称性”。这是要注意的。将四个选项的函数乘以方程

6、的左边直接判断可知，选项B是对的。1ydxxdyxdy.M卫丄,故兰=卫，丄不是ydxxd戸0的积分因yy纠-xy：yjxy子。二、1解：设v表示上半球面zfa2-x2-y2。则由对称性，原式=2x2ds=2Z原式=2x2ds=2Z.x2x2-y2迢2:x21亠I222axy2y22dxdy-x-y2解:2解:=2x222.2y兰二a4div(u)aa2_x2_y2cos2Gd日2兀12dxdy%卄?cos2日1a2PdPJ1P2?21F2+sinHcos日彳112(1_P2)2122一(一|2)fa433-20-)210=：(xy2).Xyez).：(xln(1z2):x.:z川e奂1+zT

7、div(u)(1,1,0)=23解:二gra)dF仁2y2Z2X2y-H2ZTrz+2X2X2ZTTT(xiyjzk).4.解：注意到在上，xyz二a。2，严彎(：?dXdyqaxdydz(za)2dxdy)Z(x2+y2+z2)2Za补1为xoy平面上的圆x2y2-a2，取下侧。则由Gauss公式:(xdydzEdxdy)：hi(10经引)dv二2二a3hi2zdvIa门aa30=-2二a11dxdy-i30=-2二a11dxdy-i2z31.22一dz=2“：a亠11(a-xa一33二333=2：；=a-aaa22a2x2y2-y2)dxdy其中为所围立体，D:X2y2a2为平面区域。为所

8、围立体，D:X2y2a2为平面区域。2.I_3二a311(xdydz(za)2Sdxdy)33a211adxdy=2a3二a32:3=-a2225.解：设c：(x-1)(y)=1，则:|z=0X=cos：1C的参数式y=sin日+12応IA=Jx2y2)ds(32sinv2cosR：Jsin2cos26解：补1为x2被x2y2=4所截部分的上侧。则-ydxdz(zT)dxdy二(0-11)dv二0QI二-ydxdz(z1)dxdy=0ii(2-x)dxdy2二2odocos:dii2dxdy=-8x2-y4x2y2里7解：设1、2、3分别表示v的上、下及侧面部分曲面。易知,2xdydzzdxd

9、yx2y2z22Rdxd=0,所以x2y2R22xdydzzdxdy2xdydzzdxdy氓x2y2z2x2y2z2=”Jr2_y2ydz=2R2y2dydzR2z2=2R2-y2dy.22dz眾R2z2=22y-RFR2arcs21arctanR丿_r1RI其中，D-(x,y)-R_x_R,-R_y_R8解：令i为圆:8解：令i为圆:x2z2空2的右侧。则由Gauss公式:211(8y1)xdydz2(1y)dxdz4yzdxdy:iii(8y1_4y_4y)dv!/dv=VL)=2二QQ2=(8y1)xdydz2(1-y)dxdz-4yzdxdyZ=2，ii(y1x)dydz2(1y)dxdz4yzdxdyX2=2二-2(1-3)dzdx=34二z20哆其中V（门）表示所围立