第05讲 充分条件、必要条件、充要条件（教师版）

1、第05讲 充分条件、必要条件、充要条件野【学习目标】.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.【基础知识】知识点一充分条件、必要条件1 .在“如果p,那么炉形式的命题中，P称为命题的条件，夕称为命题的结论，假设“如果p,那么d是一个真 命题，那么称由能推出q,记作 =4，读作“p推出，；否那么，称为由p推不出G记作尸为，读作“p推不出2当p n q时我们称p是q的充分条件，q是p的必要条件.知识点二充要条件一

2、般地，如果p=q, q右p ,那么称是q的充分不必要条件；如果十夕且q=p,那么称是夕的必要 不充分条件；如果且4 0 那么称是4的充分必要条件（简称充要条件），记作poq,也读 作“P与q等价”，“p当且仅当q”.知识点三 充分条件、必要条件和充要条件与数学判定定理、性质定理及数学定义的关系.判定定理实际上给出了一个充分条件.性质定理实际上给出了一个必要条件.一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的充要条件.判定定理和性质定理与充分条件、必要条件的关系数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.【考点剖析】考点一

3、：充分条件、必要条件的判断例L 1”是“工的（【分析】 转化是的充分不必要条件为x|x aCxxh,分析即得解【详解】 由题意，是的充分不必要条件 故x% axxb应选：B那么加的取值范围是（）4.条件g:2x- l0,假设是4的充分不必要条件,A.A.(1-,4-00(2B.1 ,+00 2C.00 2JD.(100 I 2【答案】A【答案】A【解析】【分析】解不等式2x- 10,解不等式2x- 10,根据条件可得出集合间的包含关系,由此可得出实数2的取值范围.【详解】解不等式2x- 10,因为是q的充分不必要条件，那么小 同因为是q的充分不必要条件，那么小 同共，故应选：A.应选：A.5.

4、设 P： x3, q： -1%3 ,那么是 q成立的A.充分非必要条件A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】B【解析】【分析】 由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性.【详解】 由x3不能推出-1 vxv3 ,例如x = -2,但-lvxv3 必有 x3,所以人xv3是/-lvxv3的必要不充分条件.应选：B.6.集合4 = 划11,或x2, B = x2ax + 3,那么 3；当5W0时，根据题意作出如下图的数轴，由图可知+3 -1 2T 2 2a。+3 x。+ 3 2。，解得-4或 1vq?3,综上可得，实数1的取值范围为（YT）U（l

5、,y）.7.条件 ：2左-1WxW2, 安-5Wx3, 是9的充分条件，那么实数Z的取值范围是【答案】-2,+8）【解析】【分析】设4 =何2B = x|-5x3,那么A =再对A分两种情况讨论得解.【详解】记A = x|2U2, B = x-5x2,即攵5，符合题意；3一3当 时，k 幺一，由 A = 8可得2k 1 2 5 ,所以 Z2 2，即2 W k W .综上所述，实数的攵的取值范围是-2,+8).故答案为：-2,+8).8.从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”与“既不充分又不必要条件”中选出适当的一种填 空：ABC 中，ZC = 90 AB2 = AC2 + BC

6、2;x0是xNl的；(3)1=2是2=4的；0vxv2是lx0不一定能推出之1,比方x =由xNl能推出x0,所以%0是的必要而不充分条件；空3：由x = 2推出d=4,由f =4不一定能推出x = 2,比方x = 2,所以x = 2是=4的充分而不必要条件；空4：由。vxv2不一定能推出1cx3 ,比方 =由lx3不一定能推出0vxv2,比方x = 2.1,所以0vxv2是lx3的既不充分又不必要条件.故答案为：充要条件；必要而不充分条件；充分而不必要条件；既不充分又不必要条件.假设“Tvxvl是-lx-加1的充要条件，那么实数根的取值是.【答案】0【解析】【分析】根据充要条件的定义即可求解

7、.【详解】-1 x-mm-lx 771+1,那么x|lvxvl = x m-l x2 = 0.m + 1 = 1故答案为：0.p、4都是厂的必要条件，s是一的充分条件，9是S的充分条件，那么S是q的 条件，p是夕的条件.【答案】充要#充分必要 必要【解析】【分析】由中P、4都是厂的必要条件，S是一的充分条件，9是S的充分条件.我们根据充要条件的传递性可得 /心 s三个条件等价，进而可得答案.【详解】,:P，4都是厂的必要条件，S是一的充分条件，9是S的充分条件.q=s=r=q, q=s； mq=s=r, r0q； s=，=p.:.q, r, s互为充要条件，那么s是夕的充要条件，是9的必要条件

8、故答案为：充要，必要.11,已矢口集合 A = %卜2W6, B = 1xl-mx01.(1)假设=求实数2的取值范围；假设是的充分条件，求加的取值范围.【答案】(1)(0,3(2) 5, +00)【解析】【分析】(1)根据= 由5Q4求解；(2)根据xwA是的充分条件，由AQB求解.解：因为A = H_2W6, B = x解：因为A = H_2W6, B = xl-mA：0,且 AQ所以3U4那么1 相22, 1 + m 6角军得0 0那么 1 - m 6解得N5,所以团的取值范围是叵+8).12.P”-20M：0 4。其中。1.假设是q的充分不必要条件，求实数。的取值范围；假设是的必要不充

9、分条件，求实数，的取值范围.【答案】(1)(2,+8)。2)【解析】【分析】a 0,(1)由题意可得A曝&所以4 。从而可求出实数。的取值范围， -0和。29 命题 q： B-xcix -40,因为P是的充分不必要条件，所以A曝3,.40,即2-29 q： B=xax _40,因为是的必要不充分条件，所以传A,当昕0时，B=0,满足题意；4当0时，由854,得一2,即0。2；. a当。0时，显然不满足题意.综合得，实数。的取值范围为。，2)13.集合4 = 才2 a Wx2 + a , B = x|x0,且“九A”是工人灰，的充分不必要条件,求实数。的取值范围.【答案】An3 = %| -1V

10、X1 或4xW5(。,1)【解析】【分析】(1)借助数轴即可确定集合A与集合8的交集(2)由于SrB,根据集合之间的包含关系即可求解当 =3时，集合A = x|2 =x|-lx5,B = xx4,= -或40,且是充分不必要条件，A = x|2 - a x 0), dRB = 1x|l x v 42 Q1因为 A 5rB ,那么 2 + a 0解得Ovavl.故。的取值范围是：（Q1）14.求方程6a2+2x+l = 0（w0）至少有一个负根的充要条件.【答案】且QWO【解析】【分析】利用充要条件的定义以及根与系数的关系即可求解.【详解】必要性：设/，巧为方程办2+2工+ 1 = 0的两根.

11、Q W 0 , ,a方程至少有一个负根应满足：当正负根各有一个时，贝即,0,解得QVO. a 二 4一4。20,2 当有两个负根时，那么百+=-一， 、 a解得充分性：当且QW0,A = 4-467 02当0。（1时，-一0A = 4-402当0时，0,此时方程正负根各有一个，a综上所述，方程至少有一个负根的充要条件是且B.必要非充分条件D.非充分非必要条件A.充分非必要条件C.充要条件【答案】A【解析】【分析】易知充分性成立，取特殊值检验知必要性不成立，即可求解.【详解】当41时，,I成立，即充分性成立， a当 =-1时，满足1 ,但。1不成立，即必要性不成立， a那么“a 1 是/ 1 ”

12、的充分不必要条件. a应选：A.考点二：根据充分条件求参数的范围在1例2.集合4 = %卜1%1, B = x-ax-ba.假设“a = l”是“Ac3w0”的充分条件，那么实数b的取值范围是（）A.抄卜20B. /?|0/?2C. b-2b2D. b-2b2【答案】C【解析】【分析】先化简集合3,解不等式-1。-1V1或-即得解.【详解】解：A = x -1 x 1 , B = x ax ba = x b axb + ci 9因为 = 1”是的充分条件，即当Q = 1时成立，所以一Ivl 或-即一2/?2.应选：C.考点三：根据必要条件求参数的范围例3.p：根-1 vx/n+l , q： 2

13、x 2首先根据题意得到 ,二，再解不等式组即可.m + 1 2因为4是夕的必要条件，所以机+ i6，解得34根5,所以实数2的取值范围为3,5.应选：B考点四：根据充要条件求参数的范围江例4.方程依2+2%+1 = 0至少有一个负实根的充要条件是()A. 06;1B. aC. a D.Oal 或 qvO【答案】C【解析】【分析】按。=0和QW0讨论方程ax2+2x+i = o有负实根的等价条件即可作答.【详解】当。=0时，方程为2x+l =。有一个负实根x = J,反之，x =时，那么。=0,于是得4 = 0；当qwO时，A = 4 4q,假设(),方程有两个不等实根，用入2=,。，即不与巧一

14、正一负， a反之，方程有一正一负的两根时，那么这两根之积，小于0, ”0,于是得 aX + 工2 =0,由A20,即01知，方程有两个实根公电，必有 2都是负数，xx2 = 0反之，方程依2+2x + l=0两根不工2都为负,反之，方程依2+2x + l=0两根不工2都为负,A = 4 4202 %1 + x 0a解得0Q4l,于是得0。41,综上，当qKI时，方程以2+2+1 = 0至少有一个负实根，反之，方程办2+2x + i = o至少有一个负实根，必有所以方程加+2x + l = 0至少有一个负实根的充要条件是应选：C考点五：充要条件的证明江例5.证明：“0”是“关于1的方程2_2%

15、+加=0有一正一负根”的充要条件.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据充要条件的定义，分别证明充分性和必要性即可求证.【详解】充分性：假设 20,那么关于X的方程V2x+2 = 0有一正一负根，证明如下：当2 0 ,所以方程九之一m=0有两个不相等的实根，设两根分别为毛，巧，那么玉%2=根。，所以方程/一2元+机=。有一正一负根，故充分性成立，必要性：假设“关于1的方程/一21+机=0有一正一负根”，那么2 0设方程_2x + 2 = 0一正一负根分别为毛，巧，那么 ,，XjX2 = m 0所以机0,所以假设“关于X的方程2x +加=0有一正一负根“，那么相0,故必要性成立，所以“0”是“关

16、于x的方程2尤+机=0有一正一负根”的充要条件.【真题演练】.aR,假设集合M = N = l,0,l,那么“a = 0”是“MqN”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】当4 =。时，集合M=l,0, N = T0,l,可得MqN,满足充分性，假设MjN ,那么。=0或Q = -1,不满足必要性，所以=0”是= N”的充分不必要条件，应选：A.设集合M =1,2, N = a29 那么“ = 1是“NqM”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件.C.充分必要条件D.既不充分又不

17、必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】 解：当。=-1时，N = 1,满足Nq,故充分性成立; 当N = M时，7 = 1或% = 2,所以。不一定满足。=-1,故必要性不成立.应选：A.【点睛】此题考查充分必要条件的判断，是基础题.设xeR,那么“2 是“卜1|0,即x2,x-1，即-lx-11, 0 x2,因为集合0,2是集合（F, 2的真子集，所以“2-X2（r是小-1区1”的必要不充分条件.应选：B.【点睛】此题考查充分条件以及必要条件的判定，给出命题“假设A那么3”,如果A可证明3,那么说明A是3的充分条件, 如果3可证明A ,那么说明A是3

18、的必要条件，考查推理能力与计算能力，是简单题.钱大姐常说“廉价没好货、她这句话的意思是：“不廉价”是“好货的A.充分条件B.必要条件C,充分必要条件 D.既非充分也非必要条件【答案】B【解析】【详解】根据等价命题，廉价D没好货，等价于，好货D不廉价，应选B.【考点定位】考查充分必要性的判断以及逻辑思维能力，属中档题.“m二”是“一元二次方程x2+x + m = 0”有实数解的A.充分非必要条件A.充分非必要条件B.充分必要条件C.必要非充分条件C.必要非充分条件D.非充分必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：方程f+X +小=0有解，那么A = l-4加=加，是根工!的充分不必要条件.故

19、A正444确.考点：充分必要条件.假设集合P = l,2,3,4,Q = x0 x5,xwHRiJa.是“九的充分条件但不是必要条件B. “xeR”是。夕的必要条件但不是充分条件C.是。夕的充要条件D.既不是的充分条件也不是的必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：显然PGQ,但Q1是卜|1的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：假设xl,那么1幻1；但当1回1时，X1或XV-1,所以是“|不|1的充分不必要条件，选A.假设非空集合A、B、。满足且3不是A的子集，那么A.，是匕4的充分条件但不是必要条件B.是匕EA”的必要条件但不是充分条件是的充分条件uxG 既不是A”的充分条件也不是“xA”必要条件【答案】B【解析】【详解】因为人口8 = （2且8不是A的子集，所以A是C的真子集，所以xA那么x一定属于C,但xC不一定属 于A所以“xC”是“x A”的必要不充分条件.设机是整数，那么“八均为偶数”是“加+是偶数”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】均为偶数=相+是偶数，那么充分；机+及是偶数那么仅均为偶数或者仅均为奇数即是偶数w机均为偶数，那么不必要，应选A.设N+, 一元二次方程以+ = 0有整数根的充