数学分析选讲 考前辅导

1、考前辅导 主讲 谢碧华讲评模拟试卷（一） 一、（12分）选择题（将符合要求的结论题号，填在题末的括号内，每题至多选两个题号）：1、若 不是无穷大量，则 A、必存在收敛子列； B、任一子列均不是无穷大量； C、任一子列均有界； D、必存在有界子列； 答：（ A、D ） 2、下列命题中正确的是： A、若 ，级数 收敛，则 收敛； B、若 ，级数 收敛，则 不一定收敛； C、若 是正项级数，且 有 则 收敛； D、若 ，则 发散。 答：（ B、D ）3、下列命题中错误的是： B、若 皆存在，则 也存在； A、若二元函数 在 点存在偏导数，在 点连续； 则 C、若二元函数 在 点可微，则 在 连续；

2、D、若二元函数 在 连续，则 分别在 连续。 答：（ A、B ） 二、（40分）计算题1、求 解 由于 故原式 。 2、求 解 原式 3、设 ，求 解 于是当 时， 于是当 时， 于是当 时，由于 故 不 。 4、求 5、求幂级数 解（1）因为 又当 时，原级数为 发散。 当 时，原级数为 发散。 故原级数的收敛域为 。 并求其和函数 的收敛域，（2）设 则 又 于是有 三、（10分）从定义出发证明 在 上一致连续。 证明 对 ，及 ，欲使 由于 于是只须 ，即 故对 ，取 对 当 时，就有 因此 在 上一致连续。 四、（10分）设 ，试讨论 在 上的一致收敛性。 证明 又 于是 从而 故 在

3、 上一致收敛。 五、（12分）设 1、证明 在 点连续 2、求 3、证明 在 点的不可微 1、证明 令 则 （因为 ） 所以 在 点连续。 2、解 3、证明 由于 而 不存在。 故 在 点不可微。 六、（10分）设函数 在 上连续，且 ，若有 使得 为有限数）。 证明：（1） 是有界数列 （2）存在点 使 证明 （1）用反证法，假设 为无界数列，则 中存在子列 使 又 ，于是由海涅定理知 这与 相矛盾，故 为有界数列。 （2）由 有界，则 中必有收敛子列 ，使 ，且 又 在 上连续，则 在 点连续 即 ，从而由海涅定理有 而由 知 ， 于是由极限的唯一性知 。 七、（6分）设 在 严格单调递减

4、， 存在， 且 试证明 。 证明 令 ，则由题意有 讲评第五章的部分作业 二、讨论下列级数的收敛性： 2 解 由于 故原级数收敛 4 解 由 为莱布尼兹型级数，故其收敛，为单调上升数列，且 阿贝尔判别法知，原级数收敛。 又 故由三、讨论下列函数列或函数项级数的一致收敛性。 2 解 由于 则 从而 因此 故 在 上一致收敛于 。4 解 由于 而 收敛 （因为 ） 故由M一判别法知原级数在 上一致收敛。 四、求下列幂级数的收敛域。 1 解 令 （1） 因为 所以 当 时，原级数为 发散，（因为 ）， 故原幂级数的收敛域为 。 （2）当 时，原级数为 （因为其为莱布尼兹型级数） 收敛，2 解 由于 ，则 即当 时其绝对收敛。 又当 即 时，原级数为 发散。 当 即 时，原级数为 收敛。 故原级数的收敛域为 。 五、（2）将 解 且由 知 展开成 并指出其收敛域。 的幂级数，六、设 ，试证 在 上连续。 证明 （1）对每个 在 上连续 （2）由于 又 收敛，于是由M判别法知， 在 上一致收敛。从而由连续性定理在 上连续。 知 讲评第六章的部分作业： 一. 求下列极限： 2. 解 令 则 原式 （因为 ） 4. 解 由于 又 故原式 二. 求 的二次极限 及 ，并讨论在原点的二重极限的存在性.解 又 故 不存在。 五. 设 （1）用 方法证明 在 点的