2017高考黄金100题解读与扩展之平面向量：专题一平面向量的线性运算含解析

1、学必求其心得，业必贵于专精I.题源探究黄金母题【例U如图,已知四边形ABCD是等腰梯形,E,F分别是ad,bc的中点,M ,N是线段EF上的两个点，且EM MN NF ,下底是上底的2倍，若AB a , BC b,求丽.【解析】AD ABi 一 -AD 21 一 -(AB 21 EF31 - 1 -a b42 -1 - 1 -DC) -(a -a)221一 a ,4 )所以 AM AE EM （1a ；b）II .考场精彩真题回放1 L -a412(ab)【例2】【2015全国新课标I卷】ABC所在平面内B.4AC 3C. AD4 AB31AC 3D.AD4L 1-AB 2AC33【解析】由题

2、知一 一 一 一 1,AD AC CD AC -BC =3AjAC 1( AC AB)=点 BC 3CD1 一A AD -AB311AD -AB3学必求其心得，业必贵于专精1ab 3ac ?故选 A.【例3】【（2015北京高考卷】在 MBC中，点M, N满足AM 2MC,BN NC .若 MN xAB yAC,则 x【解析】由题意如无论/%dC的位量关系如何, 对结果都没有任何变化,即结论唯一，不妨设ACAB? =因此以以0为原 点门川为工轴，JC为7轴，建立直角坐标系, 或 Q, 0),氟 0. 2).j(4,0).NQ市万=（4%二（仇3）,则C2-)=双4Q)+MQ 3) , 4x =

3、 2, 3y =-弓,W34【例4】【2014全国新课标I卷】设d,e,f分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点，则EB FCA. ADB.)1AD 2【答案】A【解析】根据平面向量基本定理和向量的加减运算可(FEi -2AC)=在 BEF 中 1一 FC FE EC FE AC 2) 一一 一1 . EB EF FB EF AB ,21 1 -1-(-AB-AC) =-(ABAC)222 贝 I EB FC = (EF -AB)AD学必求其心得，业必贵于专精【例5】【2013高考广东卷】设a是已知的平面向量且a 0,关于向量a的分解，有如下四个命题：给定向量b,总存在向量c,使a b c;

4、给定向量b和c,总存在实数和，使a b c；给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使 a b c；给定正数 和，总存在单位向量b和单位向量c,使 a b c .上述命题中的向量b , c和a在同一平面内且两两不共线, 则真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3 D. 4【答案】B【解析】利用向量加法的三角形法则，易知是对的 ； 利用平面向量的基本定理，易知是对的；以 a的终点 作长度为 的圆，这个圆必须和向量 b有交点，这个不 一定能满足，是错的；利用向量加法的三角形法则， 结合三角形两边的和大于第三边，即必须b c a,所以是假命题。综上，选 b.【例6n2013江苏高考卷】设D,

5、 E分别是ABC的边AB, BC 上的点，ad 2AB，be3-bc ，若DE iAB 2AC （ i, 2为实数），则学必求其心得，业必贵于专精12的值为【答案】2工解析】易知。& = 1初+於= 2r一24一一、 1 2 -AE + -（AC- AB AB+J4C2 3V i 63所以4+4二；一精彩解读【试题来源】人教版A版必修四第120页复习参考题A 组第13题.【母题评析】本题中a，b实际上为基底，然后将其它的向 量利用此基底表示出来，主要考查向量加减法的几何意 义、平面向量基本定理，所以此类题型在高考中出现的 频率还是比较高的，要么单独考查，要么渗透于其它向 量问题中.【思路方法】

6、（1）将一个向量表示为另两个不共线的向 量的线性关系，主要是利用平行四边形法则或三角形法 则，结合数乘向量、平面向量的基本定理来解决.（2）注意题目中中点与平行的应用.【命题意图】本类题主要考查平面向量的加法运算及三 角形法则、数乘向量，以及图形的识别能力、运算求解 能力.学必求其心得，业必贵于专精【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择 题或填空题的形式出现，难度中偏下.【难点中心】（1）如何利用三角形法则，面临的就是如何 选择三角形，这是一个难点；（2）如何利用条件中的关 键条件，如线段的中点、三点共线、平行关系，即如何 利用这些条件实施向量线性运算间的转换，从而达到将 一个向量利

7、用基底向量表示的目的.III.理论基础解题原理考点一平面向量的加减法及几何意义.加法法则及几何意义三角形法则：已知向量a，b,在平面上任取一点A ,作 AB a, BC b,则AC a b叫做a和b的和.平行四边形法则：已知向量a,b,在平面上任取一点A, 作AB a, AD b,以AB, AD为邻边作平行四边形 ABCD,则 AC a b为向量a和b的和.学必求其心得，业必贵于专精多个向量和的多边形法则：已知向量 a1a，,an ,在平面 上任取一点A ,作AA a； , AA a；,A人耳，则 AAn al a2an为向量2e2,an的和.减法法则及几何意义三角形法则：已知向量a,b,在平

8、面上任取一点。，作OA a, OB，贝(BA a b .考点二向量的数乘运算及几何意义实数 与向量a的乘积a是一个向量，且| a| | |a|.当 。 时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反.特别地，向量a (a 0)与b共线，当且仅当有唯一一个实 数，使b a.考点三向量共线定理如果a b,则a/b;反之,如果ab,且b 0,则一定存在 唯个实数使a b.考点四 平面向量的基本定理平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共 线向量，那么对这一平面内任一向量a有且只有一对实 数；、2,使2；e；2e2 ,其中1 e2C是一组基底.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填

9、空题的 形式出现，难度中等偏下，有时也会与三角函数、解三 角形等知识交汇.学必求其心得，业必贵于专精【技能方法】(1)将向量表示为另外向量的线性关系，主要是利用平 面向量加减法的几何意义(三角形法则、平行四边形法 则)结合平面向量的基本定理来解决；(2)根据线性关系求解相关的参数及其它问题，解答 时通常是利用平面向量的基本定理结合待定系数法建 立方程(组)来解决.【易错指导】(1)运算平面向量的三角法则时忽视加法运算的“首尾 相接”的特点，减法运算时忽视所得差向量的方向是指 向被减数的；(2)向量的数乘运算注意实数的符号，即必须注意数乘 向量的方向；(3)利用平面向量的基本定理解决相关问题，基

10、底的 选择直接决定解题过程的繁杂与简化、决定解题的成功 与失败，因此必须重视基底的选择.V.举一反三触类旁通考向1三角形法则与平行四边形法则的应用【例71【2016届湖南省四大名校高三3月联考】在平 行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点， AE的延长线与CD交于点F .若后,80 b ,则配( )学必求其心得，业必贵于专精D. TOC o 1-5 h z 1 1 .a b421， 2 .a b1 1.B -a -b24【解析】由向量的平行四边形法则可得AB ADAD ABa,解得 bABADi2(ai 2(ab)b)DF3 AB,故选C.1 一 一(a b)6.又因为DE

11、 :EB 1:3 ,DF : AB 1:3,23【方法总结】向量的线性运算要满足三角形法则和平行 四边形法则，解题时，要注意三角形法则与平行四边形 法则的要素.向量加法的三角形法则要素是“首尾相 接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点 重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点 重合”.【跟踪训练】如图，在直角梯形ABCD中,AB 2AD 2DC , E为BC边上的一点，BC 3EC, F为AE中点，则即学必求其心得，业必贵于专精2 一 1 一A, 3AB 3adB.12 一-AB -AD 33C.21 一-AB - AD 331 2D -AB -AD 33【解附取命的中2 应

12、则必见的即二3333遭,.二 AE=AB+2E=AB-RCAB(AD-AB) = -ls+-15 , 于 悬 bf=af-a5 = 33234；下_初二3号石4；方1石，或选C.考向2平面向量基本定理的应用【例8】【2016学年辽宁沈阳二中高二6月月考】在平行四边形ABCD中AE 1AB,AF AD ,CE与BF相交于G点，若 34AB a,AD b,贝(AG (A .D.2- 1 - a - b774 - 2 Ia b7723-a b77【答案】C【解析】因为B,G,F三点共线，所以可设AG xAB (1 x)AF ,y)(a b) (1 I y)a (1 y)b ,所以3即AG x 1b,

13、同理可设Ag yAE (1 y)AC 即 AG *a (1 3学必求其心得，业必贵于专精 1 x、2xa b (1 3y)a (1 y)b)2y3,解得x 7 ,所以1 yAG 3a 7b ,故选 C.【名师点睛】平面向量的基本定理描述了一个向量在基 底的分解上是唯一的，就是这个唯一性为利用待定系数 法求相关的参数提供了理论依据. 待定系数法与平面向 量基本定理结合在一起解题，通常是要通过建立方程（组）来解决.【跟踪训练】在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为的值为dc的中点，若AC AE 而贝 【答案】85 TOC o 1-5 h z 【解析1就=冠+而由题设可知石=壶+或=工5+工石

14、】, 21，I 1I I .I. I，.Jj能、（7=也期+亍期升外血-3抽）=（乂一1/）为+弓工一寓皿，!fAC = AB + AD ,所以支一一斫以K十皿.上5考向3共线定理的应用【例9】【2016山东滨州市二模】在ABC中，M为边BC上的任意一点，点N在线段AM上，且满足AN Jnm,若 3 TOC o 1-5 h z AN AB AC（ , R）,则 的值为（）A. 1B. 1C, 1D, 443【答案】A学必求其心得，业必贵于专精 TOC o 1-5 h z 【解析】因为AN 1NM AN 1AM , 又因为 34AN AB AC（ , R）,所以AM 4 AB 4 AC ?由于三

15、点B,M,C共线，所以441 ,从而 的值为1,故选A. 4 7【例10】【2016河南洛阳市一中高三下二模】 在abc中,AN 1NC,P是BN上的点若AP mAB 2 AC 5则实数m的值为 391AC即AC 4AN ,所以4P,B,N三点共线，所以【答案】1【解析】因为An 1NC 5所以市 3AP mAB -AC mAB 8 AN 又因为99m 8 1 5所以 m 1 .【方法归纳】共线定理描述的是两个向量间数乘关系，即b与雨0）共线 存在唯一，使b a,将其延伸后可得 到三点共线的条件：在平面中A,B,C三点共线的充要条件 是OA xOB yOC（O为平面内任意一点），其中x y 1

16、.【跟踪训练】已知 ABC的重心为O,过O任做一直线分 别交边AB,AC于P,Q两点，设AP mAB,AQ nAC ,则4m 9n的学必求其心得，业必贵于专精最小值是_【答案】25 3【解析】因为尸.&三点共线，所以屈二义而所以而一万=通一血因为点。是c的重心,所以而=：方+就%所以;（君+就）M运=用胸寸g（近十同,所以-HI= 一一433日口11jBP=Jl/tA133融二3十am/c .L 1 八 nJ 1 A 13 4t 3j 所以4襁+9言=4(+1)+9(+) = 一 413 423图t 3 25T I =T355，当且仅当工=时等号成立，即胴=一1 =时4阳+9*取得最小值251

17、13 3 3M 3考向4平面向量线性运算与不等式交汇【例11】（2016年浙江杭州市五校联盟一诊）在矩形ABCD中,BC用，P为矩形内一点，且 AP 4,若APAB AD(,A.R）,则石73的最大值为（B.邈2D.6 3.24【答案】B学必求其心得，业必贵于专精【解析】如图设以五0,或由，550 RQ的储 W 二豆，十/二，点P涓 24足的约束条件为，万=元行十日历（儿尸已出3 ,1玉川=现而Q）+4& J5）二言，x + =旧+赤声.=”+量疯亏5二!=孚，当且仅当K =）时取等号I，石丸十色制=十万的最大值为二,故选&【方法点睛】平面向量的线性运算与不等式的综合通常而所求解解答时通体现为表示向量的基底向量的系数为未知数, 问题常常以这些未知数来设置的不等式问题, 常从向量开始，利用向量线性运算的相关性质转化为代 数问题，然后利用不等式的相关知识求解.考向5平面向量线性运算与数列的交汇【例12】【2016重庆一中高三下学期3月月考】如题图，已知点D为ABC的边BC上一点，43DC ,En（n N ）为边AC上 的列点，满足彳为凝（3an 2菽，其中实数列an中 747an 0,ai 1,则an的通项公式为（）学必求其心得，业必贵于专精D . 2 3n