1 中点弦问题

1、圆锥曲线常规题型方法归纳与总结中点弦问题;焦点三角形;直线与圆锥位置关系问题;圆锥曲线的相关最值（范围）问 题;求曲线的方程问题;存在两点关于直线对称问题;两线段垂直问题圆锥曲线的中点弦问题-点差法与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次 方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。解题策略：具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为A3,y ）、B（x ,y ），将这两点代入圆锥曲线的方程，然后两方程 1122相减，再应用中点关系

2、及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四 个参数。X 2 y 2如：（1）云+五=1（a b 0）与直线相交于A、B，设弦AB中点为M（x0，y0），则有土 + 昂 k = 0。a 2 b 2x 2 y 2房3 * 0,b 0）与直线1相交于A、B，设弓海中点为M（x,y测有土 - L k = 0 a2 b2（3）y2=2px（p0）与直线 1 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M（x0,y0）,则有 2y0k=2p，即 y0k=p.经典例题讲解一、求以定点为中点的弦所在直线的方程x2 y2使弦被M点平分，求这条弦所在直线x 2 + 4 y 2 = 16例1、过椭圆u +

3、 r =1内一点M（2J）引一条弦164的方程。解：设直线与椭圆的交点为A（x ,y ）、B（x ,y ）1122M (2,1)为 AB 的中点X + x2 = 4又A、B两点在椭圆上，则x12 + 4y= 16 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 两式才目减得(X 2 X 2) + 4()2 v 2)= 0 1212于是(x + x )(x 一x ) + 4(v + v )(v v ) = 0 HYPERLINK l bookmark100 o Current Document 12121212 HYPERLINK

4、l bookmark28 o Current Document V V _ x + x _4 _ 1. x x 4(v + v)总=21212 HYPERLINK l bookmark34 o Current Document ,1-1 ,八即kAB - - 2，故所求直线的方程为v1 =2(x - 2)，即x+2 v - 4 = 0。例2、已知双曲线x2 ； = 1,经过点M (1,1)能否作一条直线l，使l与双曲线交于A、B ,且点M是线段AB的中点。若存在这样的直线l，求出它的方程，若不存在，说明理 由。策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设 的条

5、件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。解：设存在被点M平分的弦AB，且A(x , v )、B(x , v )1122则 x + x = 2 v + v = 212，12v2x- 2 = 1v2x2 2 = 1两式相减，得(x + x )(x - x ) - i(v + v )(v - v ) = 0 k = = 2121221212AB x 一 x故直线 AB : y 1 = 2(x 1)v 1 = 2(x 1)由 v2 消去 v，得 2x2 4x + 3 = 0 x2 二=1I 2A = (4)2 4 x 2 x 3 = 8 0这说明直线AB与双曲线不相交，故被点M平分的弦不存在，

6、即不存在这样的直线l。评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到 中点弦问题中判断点的M位置非常重要。(1)若中点M在圆锥曲线内，则被点M平分的 弦一般存在；(2)若中点M在圆锥曲线外，则被点M平分的弦可能不存在。二.求弦的中点坐标、弦中点轨迹y 2 x 2 1例3、已知椭圆矣+ = 1的一条弦的斜率为3,它与直线X = 5的交点恰为这条弦的中点M，求点M的坐标。解：设弦端点尸(气，七)、八、1Q3 ,y )，弦PQ的中点M(x ,y )，则x =-2 20 00 2y 2 x2又+ = 175 25y2 x2+ = 17525两式相减得25(y + y)(y

7、 - y.) + 75(x1 + x2)(x1 - x2) = 01212即 2y (y y ) + 3(x x ) = 0-2 =0 1212x x 2 y11、点m的坐标为(2，2)。y2 x2例4、已知椭圆* +天=1,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。解：设弦端点P(x1, y1)、Q(x2,y2)，弦 PQ 的中点M(x, y)，则y1 + y 2 = 2 yy2 x2又+-=175 25y2 x2+ = 17525两式相减得25(y + y )(y y ) + 75(x + x )(x x ) = 012121212即 y(y y ) + 3x(x x ) = 01212即2 =兰

8、x1 x2yk=y=3x1 x2一 3x=3，即x+y=0 x + y = 0由(y2 x2+ =175 255Z 5.：353 5M、，得 P( C , C ) Q( c , c )2222点M在椭圆内 5盘5再、它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为x + y = 0( x) 22求与中点弦有关的圆锥曲线的方程 例5、已知中心在原点，一焦点为8(0, . 50)的椭圆被直线l: y = 3x-2截得的弦的中点的横坐标为3，求椭圆的方程。则 a2 b2 = 50y 2 x 2 解：设椭圆的方程为 + - = 1, a 2 b 2设弦端点P(x ,y )、Q(x ,y )，弦PQ的中点M(x ,y

9、)，则 TOC o 1-5 h z 112200=2 y 0=-1x =1，y = 3x - 2 = -1. x + x = 2x = 1，y + y 0200212012y 2 x2又 *2+ bL，两式相减得b2(y + y )(y -y ) + a2(x + x )(x -x ) = 012121212即一b2(y -y ) + a2(x -x ) = 01212y1 - y2 =竺x - x b 2a2=3 b 2联立解得a2 = 75，b2 = 25y2 x2 所求椭圆的方程是75+25=1四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题x2 y2例6、已知椭圆彳+十=1，试确定的m取值范围，使

10、得对于直线y = 4x + m，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。解：设P(x ,y )，P (x ,y )为椭圆上关于直线y = 4x + m的对称两点，P(x,y)为弦PP 1112221 2的中点，则 3x2 + 4y 2 = 12，3x 2 + 4y 2 = 121122两式相减得，3(x2 x 2) + 4(y 2 y 2) = 012121212即 3(x + x )(x - x ) + 4(y + y )(y - y ) = 0y = 3x这就是弦翌中点P轨迹方程。它与直线y = 4x + m的交点必须在椭圆内 TOC o 1-5 h z I y = 3 xI x = -m3联

11、立/ ，得 c则必须满足y2 v3 x2，I y = 4x + mI y = -3m4即(3m)2V3-3m2解得-2 vm v 2成 HYPERLINK l bookmark117 o Current Document 4，1313五、注意的问题(1)双曲线的中点弦存在性问题;(2)弦中点的轨迹应在曲线内。习题实战1.直线y=x + 1与椭圆；-+ J = 1相交于A、B两点，则AB中点坐标93兀2.已知，椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，一条准线的方程是x=b，倾斜角为一的直线4l交椭圆C于A、B两点，且线段AB的中点为(-；,；)，求椭圆C的方程.3.已知双曲线X2 - I! = 1,经过点M（1,1）能否作一条直线l,使l与双曲线交于A、B 乙两