高考数学培优专题：第12讲立体几何中球的综合问题

1、公众号“品数学”，一个提供数学解题研究，并且提供资料下载的公众号!第十二讲立体几何中球的综合问题A组一、选择题. （2018年高考全国卷I ）已知圆柱的上、下底面的中心分别为。2,过直线的平而截该圆柱所得的截而是面积为8的正方形，则该圆柱的表而积为（）12缶12 兀D. l(hr【答案】B 【解析】:过直线。02的平面截该圆柱所得的截而是面积为8的正方形，所以圆柱的高为 2点，底而圆的直径为2点，所以该圆柱的表面积为 2x/rx（J5y+2jI/rx2 应=12）故选 B.三棱柱ABC - A4G的各个顶点都在球O的球面上，且AB = AC = 1,8C =五,CC、1 TOC o 1-5 h

2、 z 平面A8C。若球。的表面积为3万，则这个三棱柱的体枳是（）1A. B.63C. -D. 12【答案】C【解 析】AB = AC = lBC = /2,:.ABlAC/. CCl.平 而 ABC，三 棱柱 ABC-AC.内接球。，二。为距形BCC的中心，设球。半径为r ,则 4江，=3况.二r=正，即OC =r=正，.三棱柱的高。=2J/一（8C = 1 , .三棱22 U ）柱的体积=5吹力= xlxlxl = 1,故选C。223.球。的球面上有四点S,A8,C，其中。,48,。四点共而，AABC是边长为2的正三角形，而S43_L面ABC,则棱锥S 43c的体积的最大值为（）A.去 B.

3、 /3 C. 2耳D. 4【答案】A【解析】设球心和AA8C的外心为。，延长CO交AB于点P,则由球的对称性可知 PDAB.继而由而548_1_而43c可得尸O_LAA8C所在的平面，所以尸。是三棱锥 的高；再由。,ARC四点共而可知。是AABC的中心，故。尸二个二r二至上，当三棱 锥的体积最大时，其高为P。=j（2）2-（E）2 =1 ,故三棱锥的体积的最大值为x-x 22 x 1 =,应选 A。 TOC o 1-5 h z 3 43.如图所示，直四棱柱ABC。A4GA内接于半径为3的半球。，四边形A5CO为 正方形，则该四棱柱的体枳最大时，43的长为（）A. 1b. 2C. /3d, 2【

4、答案】D【解析】设AB = x ,则08= =尤叫二:一建，所以直四棱柱的体积为 JI JV = x2J3-x2 ,令 J3-X2 = f，则 %2 =6 2/，则 1/ = (6 2)/ = 一2产+6,故V =一6/+6 = -6-1）（1 + 1）,所以当，=1时，即1=2时，体积V最大.故应选D.在正三棱锥S A8C中，是SC的中点，且AMJLS3,底面边长A3 = 2五，则正三棱锥S -ABC的外接球的表而积为（）A. 67B. 12乃 C. 327r D. 36万【答案】B【解析】根据三棱锥为正三棱锥，可证明出AC_LSB,结合SB_LAM,得到SBJ_平面SAC,因 此可得SA、

5、SB、SC三条侧棱两两互相垂直.最后利用公式求出外接圆的直径，结合球的表 而积公式，可得正三棱锥S-ABC的外接球的表面积.取AC中点，连接BN、SN,.N为AC中点,SA=SC, /.ACSN,同理 AC_LBN, VSNABN=N, .AC_L平而 SBX,SBu 平而 SBX, AAC1SB, Y SB _L AM 且 AC HAM= A,.SB J_平面 SAC=SBSA 且 SBAC,三棱锥S-ABC是正三棱锥，ASA. SB、SC三条侧棱两两互相垂直.底面边长AB = 2，侧棱SA=2,正三棱锥S-ABC的外接球的直径为：2R = 2也,：.R = 6.正三棱锥S-ABC的外接球的

6、表面积是S=4M?2=i2/r,故选：B.二、填空题6. （2017年天津卷）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正“方体的表面积为18,则这个球的体积为 .七心.9兀【答案】2【解析】设正方体边长为。，则6/=18 = =3 ,l 41 427 9外接球直径为2R = 3, V =成=兀x= 7i.33827.底面是同一个边长为。的正三角形的两个三棱锥内接于同一个球，它们顶点的连线为球 的直径且垂直于底而，球的半径为R。设两个三棱锥的侧而与底面所成的角分别为。、），则tan（a +4）的值是。 4框R【答案】一二一.3a【解析】如下图所示，右图为左图的纵切面图.S如图可知，底而443

7、。为正三角形，D为BC的中点，则AD1BC. SDLBC, MD1BC,故ZSDA和ZMDA即为二面角a和夕；设SM交平而ABC于点P,易知P点在AD上，且为“IBC的重心.SM = 2R, AB = a , AD = a , PA = x a=-a , PD = -xa=a , 23 233 263n七 I。 tana + tan/7 _ PD PD _一 PSM 一 6 一 一 4属 叫.第_叫竺一尸0尸.加p一p02_P片一二且一 3a PD PDIIT.已知三棱锥P A3C的所有棱长都相等，现沿尸A P&PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为27%,

8、则三棱锥尸-ABC的内切球的 表面积为：【答案】3万【解析】三棱锥P-43C展开后为等边三角形，设边长X,则一=22而，则x = 6贬 sin A因此三棱锥P 43C的棱长为3人,三棱锥P A5C的高2行，设内切球的半径为，PIO4x - xrxS.,HC = S.c x2y/3 , ：. r =,求的表面积S = 4%=3万.3am匕 3 Jl/ioco.已知球。的表面上有P.A3.C四点，且两两互相垂直，若PA = PB = PC = u, 求这个球的表面积和体积解：设过0.48的平面截球所得截面圆心为POI与球而 另一交点为。.因为P8_LPA ,所以AS是圆O1的直径，且 AS = J

9、a尸 + BP，=、易.因为 PCJA,PC1PB，所以 PC_L 平而 PAB ,又OO1平面PA8,所以OOJ/尸。.如图，过OO.PC作平 而a ,则直线。尸为平而a和平而以8的交线，点O e尸。，连接CO,在圆O中.PC_LP), /CPD为直角,所以CD为圆O的直径,设圆。的半径为R ,在 RtACPD 中，CD = ylPC2PD2 = J3a ,即 2R =方。，所以 /?=叵 ,所 以 25j,k =4 成，=3加 2“球=士冰 = 3三、解答题.棱长为2的正方体容器中盛满水，把半径为k?的铜球放入水中刚好被淹没，然后再 放入一个铁球，使它淹没水中，要使流出的水量最多，这个铁球

10、半径应该为多大?解：过正方体对角线的截而图如图所示，AC =26.AO = V5,AS = AO-OS = Ot .设小球半径为 r ,tanZCj/lC = =- J2.AS = AQ+OS二6 1 = 扬 +r解得厂=（2 石）。月为所求.过球而上一点P的三条弦PAPB,PC ,满足ZAP8 = N80C = NCPA = 60 ,PA = PB = PC = & ,求此球的表面积解：由题意知，四面体p-八质:是球的内接正四而体.设P是 AABC的中心，则球心O在PP上.如图，连接OCPP，设球半 径为 x,则 OP=OC=x ,在自AOPC 中，OP=PP-x 而 TOC o 1-5 h

11、 z PP=PC2-PC1 =6-(xV6)2 =2,故33OP=2-x,CP，2 = 2. =(2-x)2+2, X = - 9 表而积为S =4x(-)2 = 9%22.将半径为R的四个球，两两相切地放在桌面上，求上而一个球的球心到桌面的距离。解：设四个球心分别为ABC,D,则四而体A-BCD是棱长为2R的正四面体，如图所示，过A作AHJ面BCD与H,则H为4BCD的中心，连接BH并延长交CD 于 M,连接 AM.则 BM_1CD,AM J_CD且 AM二的 R,HM= = R,9 rz所以AH= R ,故上面一球的球心到桌而距离为 3B组一、选择题1.已知三棱锥P-A8C ,在底面AA3

12、C中，A8 = l乙4 = 60 ,3C = Q,PA_L 而ABC.PA = 26 则此三棱锥的外接球的表而积为（）A.B. 4/4C.D. 16 n33【答案】D【解析】底而三角形内，根据正弦定理，可得AC=2, A32+8C2 =AC）满足勾股定理,ZABC= 90, 24 _L底而 ABC,所以 PA_L 8C,那么 BC_L平而 PAB,所以 8C_L PB, 那么直角三角形24cpBC有公共斜边PC,所以三棱锥的外接球的球心就是PC的中点 。，PC是其外接球的直径，PC = 4,所以外接球的表而积S = 4成2 =16乃，故选D.如图，在菱形A8CD中，/84。= 60 ,A4 =

13、 26，石 为对角线8。的中点，将沿8。折起到好瓦）的位置，若ZPEC = 120 ,则三棱锥P 8CQ的外接球的表面积为（）A. 287B. 32万C. 16%D. 12万【答案】A【解析】设M,N分别是等边三角形PBD、CBD的外心，则QN = 1,NC = 2画出图象如下图所示，由图象可知，NMQN = 120 ,NOQN=60 ,故 ON = ltan60 =,r=oc=on2+nc2 =VTT4=币,外接球面积为4ttR2 = 4% 7 = 284.已知三棱锥S - ABC,满足SA_LSB, SBSC, SC1SA,且SA二SB二SC,若该三棱锥外接球 的半径为#, Q是外接球上一

14、动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为()645/3A. 3B. 2C. 3D. 3【答案】D【解析】因为三棱锥S-A3C中，SA SB.SB SC,SC SA ,且S4 = S3 = SC,所以三棱锥的外接球即为以S4,S3,SC为长宽高的正方体的外接球，因为该三棱柱外接球的 半径为6，所以正方体的对角线长为2行，所以球心到平而ABC的距离为 % = ,所以点。到平面ABC的距离的最大值为、行+4 = ，故选D.4.已知从点尸出发的三条射线PA, PB, PC两两成60。角，且分别与球。相切于4, B, C三点.若球。的体积为36兀，则。，尸两点间的距离为()(A) 3/2(B) 3也(C

15、) 3(D) 6【答案】B【解析】连接OP交平面ABC于。，由题意可得：A43C和M48为正三角形，所以。4 =业丝=无竺.因为AO_LP。，OAPA ,所以=,所以 33OA AOAD _OP = OA - =6。4.又因为球的体积为36万，所以半径。4 = 3,所以。0=36. AOf二、填空题（2017年新课标I卷）已知三棱锥S A6C的所有顶点都在球。的球而上，SC是球。的直径.若平而SC4_L平而SC8, SA = AC, SB = BC,三棱锥S - A8C的体积为9,则球。的表面积为【答案】364【解析】取SC的中点O,连接04, OB,因为 SA = AC, SB = BC,所

16、以 OA_LSC, OB ISC因为平面SAC_L平面SBC,所以平而。4_L平面SBC设。4 = 所以，所以球的表而积为【解析】取SC的中点0，连接0A.0B ,因为4 = /C；S3=BC,所以04_LSC；08_LSC.因为平面SAC _L平面SBC,所以Q4平面SBC .设Q4二1/ :.球=；xSq5sc 乂04 = ：乂$乂2yx/乂尸二：尸所以:尸=9 n=3 ,所以球的表面积为4犷=36万3一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为止，那么 3这个三棱柱的体积是.【答案】48/3【解析】由题意可得，球的半径为R = 2,则正三棱柱的高为力= 2R = 4

17、,底面正三角形中 心到各边的距离为R = 2,所以底面边长为46,从而所求三棱柱的体积为 V=Sh =乎.（4行）2-4 = 4873.故正确答案为48JJ.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为. 【答案】3乃【解析】过圆锥的旋转轴作轴截而，得AABC及其内切圆OQ和外切圆。O?,且两圆同圆心，即ABC的内心与外心重合，易得48C为正三角形，由题意。1的半径为r = l, .ABC的边长为2, .圆锥的底面半径为JT,高为3, .V=x/rx3x3 = 3;r.3三、解答题8.已知棱长为3的正四面体A-BCD, E,F分别是棱AB,AC上的点，且AF=2FC,B

18、E=2AE,求四 而体A-EFD的内切球的半径。解：如图所示，设四面体A-EFD的内切球半径为r,球心为0,连接0A,0E,0F,0D,则K1-FD = O-AEF + VO-AFD + O-ADE + VO-EH) 四面体 A-EFD 的各面面积为373SED = = ，ADEF各边边长分别为3EF= V3 , DF=DE= V7 ,_5后AEH) = T2- V = _yA-EFD 9 v A-BCDA-EFD = _ MS seF + SAFC + SAED + *AEF).2=1厂()+上1 + 2 + 2),所以，=亚，故四面体A-EFD的内切球半径为 2322448V689.已知四

19、面体 P-ABC, PA=4, AC=2V7尸B=BC=2/J/A_L而PBC,求四面体P-ABC的内 切球与外接球面积的比。解：由题意，已知。4J_而PBC, PA=4, AC=2J7,PB=BC=2JJ,如图，由勾股定理得,43 = 2、厅,。=2行,所以妙5。为等边三角形，AABC为等腰三角形，等边三角形PBC所在小圆的直径尸。=二 = 4 ,那么四而体P-ABC的外接球直径 sin 60I1 反AD=2R=J16 + 16 =4、/1,所以R = 2、, l/p_ABc=Sy8PA = j124 = 4V5,3表面积5 =12、行42 +空12 +1285 = 168.设内切球半径为r

20、,那么 2424V3 = i-16V3r ,所以故四面体P-ABC的内切球半径与外接球半径的比 343-4-=.即表面积之比为2。2 拒 1616.球与正四而体的六条棱都相切，则球与正四面体的体积比是多少?解：如图，设正四而体棱长为“，球半径为R,取AB中点E, CD中点F,连接AF,BF,EF,则AF=BF=，:环_L A3 ,同理可得 2石/_LCD,.石尸是AB,CD的公垂线段，则EF的长是AB.CD的距 离，EF = ylAF-AE? = l-a2-a2 = a ,又由V4 42=V2球与正四面体的六条棱相切，得EF是该球的直径，即U 4 H34 V2 3 五 3 p 口后4=3成=.

21、乃.二右加7，又嚓四而体= 77.已知正三棱锥P-ABC,点PAB工都在半径为的球面上，若PA,PB,PC两两垂直, 求正三棱锥P-ABC外接球球心到截面ABC的距离解：把正三棱锥补成正方体，如图所示，可知外接球球心 O为体对角线PD的中点，且PO=JL又P到平面ABC的距离 为 /?，VP-ABC = VB-APC ，则1.11.（2V2）2-/ = l-i-2-2.2,则球心 O 到3 43 23截而ABC的距离为PO=介=E 一、选择题1.已知A,3,C三点都在以。为球心的球面上，04,08,0。两两垂直，三棱锥O A5C4的体积为一，则球。的表而枳为（） 3【答案】B【解析】设球的半径

22、为R,由题意。4 = OB = OC = R,可得三棱锥0ABC体枳，411= x /?2xR,解得R = 2,则球的表面积为S=4/rR2=4/rx22=16万，故选B.3 3 22.三棱锥尸一48c的四个顶点均在半径为2的球面上，且A8 = 8C = C4 = 2#,平面 R48_L平而ABC,则三棱锥尸一43c的体积的最大值为（）A. 4B. 3C. 4、/JD. 3、/?【答案】B【解析】根据题意：半径为2的球而上，且48 = 8。=。1 = 20,83。为截面为大圆上 三角形，设圆形为。，A3的中点为N, ON = J22-3 = 1, 平面产48,平面482 ,二三棱锥P A5C的

23、体积的最大值时，呐，48,9，平面4?。，08 = jm = 3,二三棱锥P - ABC的体积的最大值为；x $ x（26丫 x= 3.3.己知四面体A8CD的一条棱长为。，其余棱长均为2小，且所有顶点都在表面积为20乃 的球面上，则。的值等于（）A. 36B. 2x/5C. 3&D, 3【答案】A【解析】如图所示的四面体ABCQ中，设AC = a,其余的棱长均为2/,取BO的中点E,连接AE,CE,则AE = CE = 3,又所有顶点都在表面积为20乃的球面上，所以球的半径 为R = B 球心。落在线段“上，且痔=,32_（.）2 =,9_：，在直角OCF中, 则O尸+ R?2=R即（9 2

24、一行）2+（二）2 =62,解得 = 3jJ,故选A.4.在三棱锥A-3C。中，AABC与4BCD都是边长为6的正三角形，平而ABCL平而BCD, 则该三棱锥的外接球的体积为（）A. 5yl5nB. 60kC. 60JI5兀D. 20 JU兀【答案】D【解析】取BC的中点为M, E、F分别是正三角形ABC和正三角形BCD的中心，。是该三棱 锥外接球的球心，连接AM、DM、OF、0E、0M OB,则E、F分别在AM、DM上,OFL平面BCD, OE_L平面ABC, OMBC AM_LBC, DMBC,所以NAMD为二而角ABCD的平面角，因为平 而 ABC_L 平面 BCD,所以 AM_LDX,

25、又 AM=DM=3j5,所以 =,AM 二石，所以四3边形OEMF为正方形，所以0M= y石，在直角三角形OMB中，球半径0B=JOA/2 + BM?=J（、石尸+ 32=,所以外接球的体积为4力）-=20、/15兀，故选D. 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为旷的 铁球，这时水而恰好和球面相切.问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是（）A.【答案】B【解析】如图，作轴截面，设球未取出时，水而高FC =兀，球取出后，水而高阳=送.,： AC = &，PC - 则以工为底面直径的圆锥容积为一合笳代二我（遍吟:3尸二3支/，3/ =7就 球取出后，水而下降到

26、E冷，水的体积为匕uLoEH? .尸H =工乜户H tan 30RFH二上招女 33 ,9又2 = 小运专一嚏，则-rF=34三一二懑？93解得M=而八选B.已知三棱锥S 48C所有顶点都在球。的球而上，且SC_L平面A8C,若SC = AB = AC = , ABAC = 120,则球。的表而积为.【答案】51【解析】A8 = l,AC = l,NB4C = 120,1 -2x1x1x（；） = Q,，三角后形ABC的外接圆直径2r= 二八。=2, /.r = l, 丁SC_L平面力3cse = LzXQSC为 sin 120等腰三角形，该三棱锥的外接球的半径/? = Ji + L=q,:该

27、三棱锥的外接球的表面 TOC o 1-5 h z V 42积为S= 4成2 =5乃,因此，本题正确答案是：5万.三棱锥P A3C中，A3 = Z?C = JTJ,AC = 6,PC_L平面ABC, PC = 2,则该三棱 锥的外接球表面积为（）,25D 2583卜 83A 7TB 7tC. 7rD. 7T3232【答案】D由余弦定理得【解析】由题意得，在AA3C中，因为A3 = 8C = Ji5,AC = 6cosJ加姿2xV15xV155所以sin8 = 2,所以AA3C外接圆的半径为2，=鉴=金=当即T所以球的半径为A八明卷所以球 可的表面积为5=44/?=44乂一=4，故选。.82.半径

28、为R的球内部装有4个半径相同的小球，则小球半径，的可能最大值为（）.【答案】C【解析】四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小 球球心为顶点的正四面体棱长为2人该正四而体的中心（外接球球心）就是大球的球心， 该正四面体的高为解得“争,该正四而体的外接球半径为X：.R = &r + r,2V63 + V6R,故答案为C.二、填空题.如图，三个半径都是10cm的小球放在一个半球面的碗中，小球的顶端恰好与碗的上沿处于同于水平面，则这个碗的半径R是cm1c 105/27【答案】10 + 3【解析】依题意可得碗的球心为o,半径为r.其它三个球的球心分别是q，ae .这四个点构成了一个正三棱锥，其中侧棱表示两个球内切的圆心距关系.底面长为两个外切求的圆心 距.所以。LRT0.。&=2。.通过解直角三角形可得g。+竽.故填