ch18+量子力学+习题和答案

1、ch18+量子力学+习题和答案第18章量子力学基础习题解答1. 一波长为300nm的光子，假定其波长的测量精度为10上，即 =一，求该光子位置106的不确定量。到 + 7 h * h h 4解： 光子 p= , Ap=九2 22由测不准关系，光子位置的不准确量为29m=2.39 10! _ 300 104”;. 4二 4 二 10”.原子的线度为10/m ,求原子中电子速度的不确定量。解：依题意，电子位置的不确定量为x=10/m,由不确定关系，有x|_ px =x_mv _LV -2mx341.05 1031102 9.1 1010m/s = 0.6 106m/s.波函数模的二次方的物理意义是

2、什么？波函数必须满足哪些条件？解：波函数是描述粒子运动状态的函数， 是微观粒子具有波动性的数学描述， 波函数描述的 波是概率波，波函数模的平方表示粒子在空间出现的概率， 即概率密度。波函数要满足标准 条件（即波函数必须是单值、连续和有限的）和归一化条件。.波函数在空间各点的振幅同时增大D倍，则粒子在空间分布的概率会发生什么变化？解：不变.因为波函数是计算粒子t时刻空间各点出现概率的数学量.概率是相对值.则1、2点的概率比值为：D 122 2 D 22概率分布不变.假设粒子只在一维空间运动，它的状态可用如下波函数来描写:0 x _0, x _ a(x,t)=Et 二Ae sin x0 _x _a

3、a式中，E和a分别为确定常数,A为归一化系数，计算归一化的波函数和概率密度。解：根据波函数的归一化条件，有a21W(x,t) dx =0aA2 s而常二解1二1ch18+量子力学+习题和答案“八上0故归一化波函数为-, (x,t) =2 ：日,aesin xa0 I相应的概率密度P(x) = 22二 sin x a a0MxM a6.已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为:1-(x) = ：acos 2a5 那么，粒子在 x=a处出现的概率密度为多少 ？6解:cos 2a)2c 53 a TOC o 1-5 h z 12612=cos = - cosa 2aa1212二cos (一)二

4、一cos HYPERLINK l bookmark30 o Current Document a4 a HYPERLINK l bookmark64 o Current Document 21一 2a7.粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为:，,、2 . n二 x n(x) = , sin(0 : x ： a)，a a若粒子处于n=1的状态，在09区间发现粒子的概率是多少4122 o nx斛：dw =|* dx = sin dx.在0旦区间发现粒子的概率为:404dw= 0-2sin2/dx =a 042a. 2 二x 一 二、sin d( x)a a2 a/4in1八1 -cos2d (

5、x) =0.0912aa n 二8.宽度为a的一维无限深势阱中粒子的波函数为中(x) = Asinx ,求：(1)归一化系数aA ； (2)在n = 2时何处发现粒子的概率最大?ch18+量子力学+习题和答案a 9即 A sin粒子的波函数解：（1）归一化系数2dxn 二xdx = a(2)当 n =2 时,2肉 dx=12 a n 二 n 二A sin xd( x)0 a a2n 二A2a 2 A22n 二2sin a2 . sina2 2 . 2=sinaa0 (1 - 8s2n 二n 二x)d( x)aA2nx a2 二xa14 二 i二一 1 cosxa a人 dw4二.44二令=0,

6、即sin x = 0 ,即 sin x = 0,dx4 二一 一x = k二，k =0,1,2, a x = k- 4又因04a当x = 一时, 23 . a时w有极大值, 4w =0. a极大值的地方为一，49.求一电子处在宽度为3 “一 a处4a =0.1nm和a=1m的势阱中运动的能级值。把结果同室温(T=300K)下电子的平均平动动能进行比较，可得到什么结论? 解：由电子在势阱中的能级公式得当 a =0.1nm时,2_ 2n .力En - -22ma2 2 .一=37.7 n eV当 a =1m 时，En2 2*2需=3, 10%2eV在室温（T=300K）下电子的平均平动动能耳=3.

7、88父10“ eV。故对宏观问题，电子的量子效应可以忽略。ch18+量子力学+习题和答案10.质量为m、电量为qi的粒子在点电荷q2所产生的电场中运动，求其定态薛定渭方程。 解：系统的势能函数为U(r)二川也4 二；0r故其定态薛定谓方程为：2+2)Jkq2+_qqL /(r)=国)、2m4值or J11 .描述原子中电子定态需要哪几个量子数？它们的取值范围如何？它们各代表什么含义？解：主量子数n： n=1, 2,，它基本上决定了原子中电子的能级；角量子数l: l =0,1,2,|(n 1),它决定了电子轨道角动量的大小，对能量也有一定影响;磁量子数m: m=0, 1, 2,，l ,它确定了电

8、子轨道角动量的可能空间取向；自旋磁量子数1mj m. =，s s 2它确定了电子自旋角动量的可能空间取向。12.原子内电子的量子态由n、I、m、ms四个量子数表征。当n、I、m定时，不同的量子态数目是多少？当n、I一定时，不同的量子态数目是多少？当 n 一定时，不同的量子态数目是多少？一 -.1、解：(1) 2 ( ms =-)1_(2) 2(21 +1),每个I有2I +1个mi ,每个mi可容纳ms =-的2个量子态.22n2.计算氢原子中I = 4的电子的角动量及其在外磁场方向上的投影值，并画出电子角动量 L在磁场中空间量子化的示意图。解：L = (I1) 一 = .,4(41)一 二 20一磁场为 Z 方向，Lz=mM m = 0,1, 2, 3, 4.Lz =(4,321,0,-1,-2,-3,-4) 一.求出能够占据一个 d支壳层的最多电子数，并写出这些电子的m和ms值。解：d分壳层的量子数I =2,可容纳最大电子数为 Z1 =2(2I +1)