浅谈求极限的方法

1、 浅谈求极限的方法极限是高等数学中最基本最重要的概念，极限思想贯穿高等数学的全部内容，它是研究问题，分析问题的重要理论基础.因此掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的，求极限的方法 因题而异，变化多端，有时甚至无从下手.本文总结了12种常用的求极限的方法，意在广开思路，然后举出三个一题多解的例子，希望这些例题对初学者有所帮助.1求极限的方法1.1利用斯托兹定理，或），则lim比a .n v定理1 1（ P57） （型Stolz公式）数列先, yn,设 Xn严格递增（即 n有Xn Xn 1）,且 lim xnn,若lim *-y a (有限数, n Xn Xn 1证 （1）（a为有限数）目

2、的在于证明0,0,当n 时，有近Xynyn 1naXn Xn 1按已知条件有lim n 0,即 0,n现在的目的在于从推出，为此从解出0,当n 时，有 n 2yn再代入，由得ynyn 1 （ n a）（Xn Xn 1）（再迭代使用此式）yn 2(n 1 a)(Xn 1Xn 2 )( na)( XnXn 1 )y (1 a)(X 1 x )(n a)( XnXn 1)y 1(x 1 x )n ( XnXn 1) a(XnXn 1 )两边同时除以Xn ,再同时减去a ,得YnXnY axXnn XnXn 1Xn将n再进一步增大，因y axxnxn&a xn（2）（极限为 的情况）因已知lim ny

3、ny axxn，使得yn 1xnxn 1论，只要证明yn严/（严格单调上升趋向无穷大则有事实上,所以当n可知yk(3)这时虽然但Ynxn要证yn严/,只要证ynyn 1xnxn 11时有y axxn所以limnxnxn 1利用（1）中的结ynyn 1limnynxn时,Xk（极限limnyn定理limnxnynlim 比n xxn（问题得证）.因yn 1xn 1n 时,yn严/.式中令n的情况）yn 1xnxn 10, 2,0, 4,0,6,211Kp60) ( 0 型01,ynyn1,0,当nxnxn时,只要令yn般推不出yk2, ,k,然后相加,证毕.Zn,即可转化为（2）中的情况.lim

4、nnimx并不趋向于无穷.xnxn 1迎 ,如令xnxnn , yn_ _2 _2 _ _ 2-0,2 ,0,4 ,0,6 , ,yn 1xn 1Stolz 公式)数列xn, yn,设 n时yn调下降趋向零）若lim丛一yn a （有限数,n xn xn 1则lim必n xn注定理1是一型，其实只要求分母xn/，至于分子yn是否趋向无穷大，无关紧要.定理2则是名副其实的1例 1 lim -n解设yn12ln n11 -20型.因为定理条件要求分子,01Xn ln显然，Xn严格单调递增,limnXn分母都以0为极限.limnynynXnXn 1limnn,nlnn 1由斯托兹定理1,limgnl

5、imnln(1(ln 3)1 2解 令 yn (ln 2) (ln 3)显然,%单调递增，且lim XnlimnynynXnXn 1又limX(lnx)kxlimXk(ln x)k 1x由斯托兹定理1,limgn1.2定义法定义1 2( P23)数列极限的lim an an定义22(P42 44)函数极限的lim f(x)X0,( a)一 1limn . nnln n 11-1-)n1(1 - n 11 :lim 2n ln n(ln n)(limnln(1(ln n) , XnlimnlimXln nk!八 一0,x(ln 3)1 2N”方法0,由海涅定理 lim也上一0 ,(ln n)设2

6、门为数列,0,n，有a为定数,an aN方法设f为定义在a,)上的函数,0,使得当X 时有f(x)为定数,函数极限的方法 设函数f在点X0的某个空心邻域Uo(x0;)内有定义,数.lim f(x)x /0,() 0,使得当0 x %f(x)时有例31(P17)按极限定义(法)证明limx 116x2证因7216x2 916|1 x|1 x|(4x 3)(4x 3)再用分步法寻找 ，使上式右端继续扩大，此方法在操作上有较大的灵活性、自主性、多样性,不要求一步到位，可以逐步缩小搜寻范围.此题因x 1,若要简化分子可先设0 x2,则上式右端16 31 x3 4x,3(在1;1)七,)成立)，进一步设

7、x:即于是上式右端 321 x就有用定义证明极限存在,或函数f(x),对其极限1 8.，1.(在U (1;-)内成立).故8,7. 16x2 9下 1.1 , 1.5 , 1.7 或 1.10 .1.3利用四则运算法则0,取,1 一min,-,则当32 81 时,有一先决条件，即事先得知极限的猜测值，但通常只给定了数列xn,不得而知，我们只能根据具体情况进行具体分析和处理，不妨再参考定理3(四则运算法则)2(P30)若an与灯为收敛数列，则anbnan bn ， an 4也都是收敛数列，且有lim ( an nbn )lim anlim bn, lim ( anbn )limnan lim b

8、n .若再假设 nbn0 及 lim bn0,则n也是收敛数列，且有lim nanbnlim an nlim bnn注对指数运算亦成立.若 xn 01,2,且 lim xn anlimnynlim xnnyn1.3.1(4)n7n1 sinn求极限 nim 5n 7n cos(n 1)4 n sinnn n 1.(4)7 sinnlim -n limn 57 cos(n 1) n( 演7(5)n 1 cos(n 1)7n1.3.2 “”型例5求极限lim n-3 /n n n 2 nn3JnJ匚3_Ji)(_匚3_in)( n-2 -n)nimn2 nnim(In2n)(n2n)(7n3n)注

9、 函数的四则运算法则同样成立，这里不再一一列出来.但必须强调的是函数极限四则运算 法则的条件是充分而非必要的，所以，利用四则运算法则求函数极限时，要对所给的函数进行验证, 看是否满足条件.满足条件者，方能利用极限四则运算法则进行求之.但并非不满足该条件的函数 就没有极限，而是不再适用该方法，通常用一些简单的技巧如拆项，分子分母同乘某一因子，变量 替换，分子分母有理化等等.例6 求极限lim (Jx2 7x 5 2x)x解 im (x2 7x 5 x2 2x)limx1.4利用无穷小量的性质 1.4.1无穷小量定义3若lim an0,则称an是n时的无穷小量.n定义42(P59)lim f(x)

10、 0,则称f(x)是xx/寸的无穷小量.x x性质(1)有限个无穷小量的和、差、积为无穷小量.(2)有界量乘以无穷小量是无穷小量.例 7 求极限 lim 0n_1U2 sin -2-cosn2 n (2n)! n(2n 1)!斛 limn (2n)!,212sin cosnnlim( n(2n 1)!)2 (2n 1)(2n)!-12 sin n 2Tn- cosn1n其中0 (2n 1)!)2(2n)!(2n 3)(2 n 3)(2n 1)(2n 1)4 4 6 6(2n 2)(2n 2) 2n2n2n 10(n),所以lim(!)2 n (2n)!0, 1)22 n-1sin 4 11n4

11、(有限数)，2 cosn1(有界量),根据无穷小量性质(2)得原式 0,从而lim n(2n 1)!(2n)!2 sin cosn1.4.2等价无穷小量定义 52(P61)设函数 f(x) g(x),lim f (x)X x0lim g(x)x x00,且 g(x) 0,x0时的等价无穷小量.记为f(x) : g(x)(x x).若limf区1 ,则称f是g当x x x0 g(x)常用的等价无穷小量有,当 x 0 时， sin x : x , tanx : x , arctanx : x , ln(1 x) : x ,2 x (1 cosx):1: x, nh _x 1 : - x .n n3

12、 n 2(1 cos 4)例 81(P33)求极限 lim一二n ；n1 n解因lim n/21,故原式limnnn2(1 cos 2)nlimn2 1 1n 2 n41 (1)2 1-2n3 n 2(1 cos)lim vn 1 .所以 lim .n 1n 11n in2 1 n2 n2但是还应注意，等价无穷小求函数极限不要轻易代换，一般只在以乘除形式出现时使用，若以 和差形式出现时，必须先变换形式才能用.2sin 2x sin 4x例9 求极限lim三 TOC o 1-5 h z X 0 x322sin 2x sin 4x 2sin 2x 1 cos2x 2 2x 2x -解 lim3 l

13、im 2lim8x 0 xx 0 x x x 0 x x2sin 2x sin 4x 2 2x 4x 八错误的解法是lim3lim30 x 0 x3x 0 x3错在对加减中的某项进行了等价无穷小代换.利用迫敛性定理数列及函数的迫敛性定理定理4 (数列的迫敛性定理)2(P30)设收敛数列an, bn都以a为极限，数列cn满足:存在正数 ，当n 时有an cn bn则数列g收敛，且lim cna .n定理5 (函数的迫敛性定理)2(P49)设lim f (x) lim g(x) ,且在某邻域Uo(x0;) x % x %内有 f(x) h(x) g(x),则 lim h(x) .x xo当极限不易

14、直接求出时,可考虑将求极限的变量作适当的放大、缩小，使所得的新变量易于求极限，且二者的极限值相同，则原极限存在，且等于此公共值. TOC o 1-5 h z 例 10 求极限 lim(n 1) n (01)n一11斛 0 (n 1) n n (1) n n (1)1)nn,1由(1 -)(01)的单调性知所以由迫敛性定理,(10 (n 1)1n n (1 )1)n111 nn0 (nlim(n 1) n 0n例11求极限:im nyaa2n章,其中仇,a初正数解 记maxa1，& ai为某一整数，则由迫敛性定理知例12求极限lim xn, xnnnn namn ma“m na1na2namn1

15、 3(2n 1)2 4(2 n)解 因几何平均值小于算术平均值，故分母中的因子1 323 52小,V3-5,2n (2n1I，2n 1 ,(2n-1)(2n-1)由此可知,0 x1(2n)_1xn- . 一 、2 4(2n),2n 1注 迫敛性定理求极限应用十分广泛，优越性在于经过放大或缩小，可以把复杂的东西去掉，使问题化简，但应注意，放大不能放得过大，缩小也不能缩得过小，必须具有相同的极限.利用子列收敛定理定理6 （子列收敛定理）2（P37）数列收敛的充要条件是：任何非平凡子列都收敛（且收敛于同一个数）.即xn （当门 时）子列NJ有xnk（当k ）.同样还有这样的结论：an收敛 a2k,

16、a2k 1都收敛且收敛于同一个数.（证明略）例 13 an满足an 收敛，且 0 ak 100an , ( n k 2n)证明 lim nan 0 .n 1n证明 n, i 2n 2i ( i n, n 1, 2n 1)所以，0 a2n 100ai (i n, n 1, 2n 1)把式子展开再对应相加，0 na2n100(anan 1a2n 1从而有 0 2na2n 200(an an1 a2n 1)0(n)得偶子列收敛于0.同理n, i 2n 1 2i (i n, n 1, 2n 1)所以，0 a2n 1 100ai (i n, n 1, 2n 1),把式子展开再对应相加，得0 na2n 1

17、 100(an an 1 a2n 1)从而有 0 (2n 1)a2n 12na2n 1 200(an an 1 a2n 1)0(n)得奇子列收敛于0 ,从而 lim nan0 .n利用单调有界定理定理7 (数列的单调有界定理)2(P35)在实数系中，有界的单调数列必有极限.即若单调递增数列有上界，则上确界便是它的极限；若单调递减数列有下界，则下确界便是它的 极限.定理8 (函数单侧极限的定理)2(P35) f(x)为定义在U (x0)的单调有界函数，则右极限lim f(x)存在；f(x)为定义在U (x0)的单调有界函数，则左极限lim f(x)存在.x X0 x x0例 14 设数列 x15

18、/3, x2，xn J3xn 1 ,求极限 Jm A .解1) 4为单调递增数列.事实上，X 73 J石 x2，设 x 1 x 则由于 x 1 ，3x ,故，X| 普= 工 1,即x 1 x 0,由归纳法知，数列xn单调递增. x 3x 1. x 12) xn有上界.Xi 向 3,设x 3,则x 1 J37 6一3 3 .由数学归纳法知xn有上界.3)由数列的单有界定理得lim xn存在. n设lim xn=，对xn J3xT7两端关于n求极限，则nJ32 30或 3,而xn为正值数列，0舍去.所以lim xn 3.n1.7柯西收敛准则定理9 (数列的柯西收敛准则)2( P38)数列an收敛0

19、,()0,使 n,m ，有 an am0,()0,使n,正整数，有anan定理10 (函数的柯西收敛准则)2( P54)函数f (x)定义在U (x0;)上，lim f (x)x xo0,()0,使x ,xU (Xo；),有 f(x)f(x)例15数列xnXo0, xn 112xn0,1,2,证明lim Xn存在，并求值. n n证明设0 Xo0 x1 =-2Xo假设0 xnxn由数学归纳法,n, 0 xnxnxn0,要使414n 11 n 1()4由柯西收敛准则取极限得Xo11.8定理12 xn1xn 1x11 42 (4)ln2xn 1xn2xn%收敛，从而极限存在，不妨设为|xn2 Xn

20、(1)n14时,1xn 11 12xn有xnxnXo ,则对Xn 112xn两边当n时,xo解得x01 J2,由数列极限的保不等式性,2 xo,2 ,从而limnxn1.2 .取正值利用海涅定理11 (海涅定理)2( P52)(或称归结原则)设f(x)在Uo(x0;)内有定义,lim f (x)x XoxnU I%; ), lim Xnnx0,都有lim f (xn)存在且相等. n这个定理深刻地揭示了函数极限和数列极限的关系.例16求极限lim Jnsin 解取Xn令 lim xnnlim x x sin lim x xsin 二五0 x由海涅定理lim Vn sin 0 .例 173(P3

21、7)求极限lim(nn)n,(a20,b0)解（i）当a, b有一为0时，比如a0,则 lim(nna nb)n2(2)当 a0,b 0时，令y则In yx-ln xbxlimln yx 0 x x1 a blim lnx 0 x 22lim xx x x 0 a bax In abx In b由海涅定理，当a 0,b0 时，lim( -ab)nn 2再由，两式得lim( n a n b )n n 21.9利用重要极限即利用limx 0sin x12(呻 lim(1 1)x、 abi(lnIn b)In -Tab .2( P 56)二e 和 lim(11 x)xe,其中的x都可以看作整体来对待

22、.第一个重要极限是“0”型，第二个重要极限是“1原式18求极限这是1 lim -“ 0”0cosxxim001 cosxcos2xcos3x1 cosx型，那么想办法把它凑成第一个重要极限的形式.cosx(1 cos2x) cosx cos 2x(1 cos3x)cosx(1 cos2x) limx 01 cosx1 cosxcosxcos2x(1 cos3 x) limx 01 cosxcosx 2sin2x2 x 2sin -22 3 cosx cos2x 2sin -x 2_2 x2sin -21 limcos xx 0sin2 x2- x*. 2 x sin 例 192(P58)求极限

23、lim(1 n另一方面，当 n1时有(1而由海涅定理，(取xnlim(1 n所以,1.10sTx4 limcos x cos2xx 02(豹(1)2-2- 9. 2 x sin 一23)n n显然要用第二个重要极限的形式.(11(1e(n)(1-,n12,3,lim(1 nlimx(11)x x由数列极限的迫敛性得利用定积分的定义求极限Jm(1由于定积分是一个有特殊结构和式的极限,这样又可利用定积分的值,求出某一和数的极限.若要利用定积分求极限，其关键在于将和数化成某一特殊结构的和式.b定义6若f(x)在a,b上连续，那么 f(x)dx存在,ba f(x)dxn011f(i)xi例20求极限l

24、im(n解 lim(n123n13limnlimnf(af(alimn2 n3 ni(b a)ni(b a)取左端点.12373n 122n232-J)33)n n22323(1)2n1(1)3n(2)2n1(与n凸2)1 (n)3n左边nlimn . i例21其中,所以,右边求极限(-)2n1 (-)3nnlimn21 n(1)2由迫敛性定理得012Jdx3X1dx301 x3(1)21 n2 (limn1n 11n1!n2n(1)2nn(1)2n1)2limn1n1 (-)2nlimn1.11利用洛比达法则(n01dx xi1n2221 n (1)21n201x .1 .一7dxln 2x

25、2221n2洛比达法则是计算不定式极限的重要方法，形如,0 , 0,1等七种未定式均可用洛比达法则求解.定理12 （洛比达法则）2( P127)假设函数f (x)和 g(x)在 Xa的某邻域Uo（a）可微,且 g (x) 0； lim f (x)x af (x)lim g(x) 0 (或为无劣大)；limx ax a g(x)存在（或为无穷大）lim fix) lim 3 x a g(x) x a g (x)如果用洛比达法则算不出结果，不等于极限不存在.只是因为它是充分条件， 不是必要条件.但只要满足洛比达法则的条件就可进一步微分，也可多次使用该法则.例22求极限lim解这是x sin x7x

26、30”型的极限，满足洛比达法则的条件，注意两次使用洛比达法则，得x sin xlim3-x 07x31 lim -x 00 cosx21x2sin x1 HYPERLINK l bookmark52 o Current Document lim 一一x 0 42x421例23求极限lim x xcos2t4t2因此,所以所以t原极限是11x解由于limt o1 lim x x24 1(P45)cos2t4t21F型的,(x满足洛比达法则的条件.1 cos2t1 2dtx 4t21冲出 limt一x xsin x , 求极限 lim(snx)1 cosx x 0 xlimxO1 cos2 11x

27、， 14(1)2 x24 .x首先像这样哥指函数较复杂，要考虑取对数后再求极限,那么求极限sin x 1 lim ln( )1 x 0 x1cosx1 sin X 1 cosxlim ln()1x 0 xlx”1 cosx,sin x ln xlx”sinx(ln )x2lxmoxcosx sinx2x sin xlxmo(xcosx(x3)sin x) xsin x lim 2-x 0 3x1.12利用函数的泰勒展式泰勒公式的形式有很多种，但是在利用泰勒公式求极限的时候，通常用到的是皮皿诺型麦克劳林公式，因此在这里就只给出泰勒公式的这种特殊的形式2( P136)f(x) f(0)1!2!o(

28、xn)卜面是具体的常用皮亚诺型麦克劳林公式.2( P136)2 x2!3 x3!nx / n.o(x ) n!sin x3 x3!5 x5!n 1 2n 1(1) x(2n 1)!2n、 o(x )cosx2 x2!4 x4!(1)nx2n(2n)!2n 1/o(x )(ln(1x)1)nnx n、一 o(x ) n1)(1 x)1)(1)1)n!nnx o(x )(x Do(xn)(x1)例25求极限lim022.11x解exo(x2); .1o(x2).所以limx 0 12-1 x21 x k22o(x2)2x2 o(x2)例26求极限cosxcosx2 x2!2(1o(x2)22x o

29、(x )4 x4!x2T/ 4、o(x );2(=)22!o(x4)x2_ 2cosx elim4x 0 x41 lim -x 02 x2!4 x4!2 x22 x24 x4 x84 x8o(x4)o(x4)一2x22， x4 0(x4)12例 271(P46)2x2(C0sx1.1 x22ex )sin利用泰勒展式，(11)21 4/ 4-x0( x )8x2 e4 x / 4 5 0(x)，2 sin x24、x 0(x ) , C0Sx2 x2!4 x4!4，、一 0(x。代入原式,2xlim 2 x 0 (C0S x1.1 x2一x22e )sin xlxmo(12 x2!2 x 万4

30、 x4!1 21 (1 x20(x4) (11 4x84x2!0(x4)o(x4)(x20(x4)lim x 0 / 3 2(2x1 4 x811 4 x240(x4)o(x4)(x2 0(x4)112综上所述,本文精选了十二种常用的求极限的方法，我们学生在解题时要根据具体的情形选用合适简洁的方法.另外，求极限的方法还有很多，比如求某种递推数列极限时要证明其存在用到的“压缩映像”原理和不动点方法，而这些方法又是比较难，在此就不一一列举了.适当的时候还可 用变量代换法把一些复杂的式子简单化，再选用上述的十二种方法中的一种来求数列或一元函数的 极限.2 一题多解有些求极限问题可以用多种方法来解决，

31、下面我选择了一些题目运用上述方法进行求解.1 n例1 求极限lim n(e (1)解法1首先求极限lim 1(ex 0 x(1x)x),即求 lim。1e (1 x)xlim %x 0 x(11x)x)1 x)x洛比达xim(11x)7)ln(1 x)e=)limx 0洛比达ln(1 x)xln(1 x)连续性limln1 ex 0 xlxm0ln(1x)x 3ln3 再由海涅定理limnn(e(1 1)n)n解法2首先求极限lim 1(ex 0 x(11x)6,即求e lim 一x 01(1 x尸1利用泰勒展式，(1 x)xln(1 x)xx22二 0(x)xo(x)所以，limx 01e (1 x)7x.e limx 0o(x)elim1再由海涅定理limnn(e解法3lim n(e n(1o(x)洛比达a e一,2(1limn令Yne (11)n nxn-)n) ne (1lim -yn n x xnYn 1xn 1limn(1n1n 11limnxnlimn)n(1limn(1 1)n(1n11、n (1 -) n1)n1 1 nn 11n 1e2-)n nyn 0,xnxnlimn(n1)n(n1)nn 1nn (n 1)2n 1 n2到这里式子已经很复杂，也许可以再用洛比达法则和海涅定理来求出极限或者用泰