(江苏专版)高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第3讲平面向量试题理-人教版高三全册数

1、m2n 8，25，2，nmword第 3 讲 平面向量高考定位 平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为 B 级， 只有平面向量的应用为 A级要求， 平面向量的数量积为 C 级要求 . 主要考查： (1) 平面向量的基本定理及基本运算， 多以熟知的平面图形为背景进行考查，填空题难度中档；(2) 平面向量的数量积，以填空题为主，难度低；角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现(3) 向量作为工具，还常与三角函数、解三.真 题 感 悟1.(2015 某某卷 ) 已知向量 a(2， 1)， b (1 ， 2) ，若 ma nb (9 ， 8)( m， nR)，则 mn 的值为 _.2mn9，

2、解析 a(2， 1)， b(1， 2)， manb (2 mn，m2n) (9， 8)， 即解得 故 mn2 5 3.答案 32.(2017 某某卷 ) 如图， 在同一个平面内， 向量 OA，OB， OC的模分别为 1， 1， 2， OA与OC的夹角为 ，且 tan 7， B与C的夹角为 45 . 若 C AnB( m， nR) ，则 mn_.解析 如图， 设DmA，CnB，则在 ODC中有 ODm， DCn，OC 2，OCD45，由 tan 7，得 cos 10，又由余弦定理知1 / 142 7 74 3，6 63 31 11 13 3 3 31 1 1 21 1 2 13 3 3 39 9

3、 92 12 2 2 2 5292 5当 n 时， 10 5 0( 不合题意，舍去7 7 5 7 7 51 1 125 74 4word2m n2（ 2） 22n2 m2（ 2） 22 m2 n22 2n，即 n2 m22 m，2ncos 4 5， 2mcos ，得 4 2n m0，即 m10 5n，代入得12n 49n49 0，解得 n 或 n3 m 3 3 ) ，当 n4时， m 10 544，故 mn 3.答案 33.(2016 某某卷 ) 如图， 在 ABC中， D是 BC的中点， E， F 是 AD上的两个三等分点， BA CA4， F F 1，则 E E的值是 _.解析 设Ba，

4、Cb，则 AA( a) ( b) a b 4.又 D为 BC中点， E， F 为 AD的两个三等分点，则AD ( BC) 2a2b， 2AF AD 3 1AE AD 3a b，a b， BF BAAF a CFCAAF ba b a b，a b a b，则 F 3a 3b a b a b可得 a2 b2 2 . a b 1 23 39( a2 b2) 94 1. a a b a b，又BEBAAE2 / 1436 365 26 45 29 26 73 233 25 60 x， 6 x 6 6 ， x 6 ， x 6 .6 6 6 6， x 2 wordE AE b 1a1b 1a 5b，5 1

5、 6a 6b则BE CE ( a2 b2) a 答案78 a b1 56 6b 36 2 36 8 .4.(2017 某某卷 ) 已知向量 a(cos x， sin x)， b (3 ， 3)， x0 ， .(1) 若 ab，求 x 的值；(2) 记 f ( x) a b，求 f ( x) 的最大值和最小值以及对应的 x 的值 .解 (1) ab， 3sin x 3sin x 3cos x 0，即 sin 73cos x，x 0. 5 (2) f ( x) a b 3cos x 3sin x 2 3sin x .x 0 ， 3 3， 3 ， sin当 x 当 x x 1， 2 3 f ( x)

6、 3，3 ，即 x0 时， f ( x )取得最大值 3；，即 x 时， f ( x)取得最小值 2 3.考 点 整 合1. 平面向量的两个重要定理(1) 向量共线定理：向量 a( a0) 与 b 共线当且仅当存在唯一实数 ，使 b a.(2) 平面向量基本定理：如果 e 1， e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数2. 平面向量的两个充要条件若两个非零向量 a( x1， y 1)， 1， 2，使 a 1e1 2e2 ，其中 e1， e2 是一组基底 .b( x2， y2) ，则(1) a b? a b? x 1y2x2y1 0.(2) a b?

7、a b 0? x1x2y1y2 0.3 / 1423 3 3 3 3 3 3 11.a b x 1x2y 1y2word3. 平面向量的三个性质(1) 若 a ( x， y) ，则 | a| a a x2y2 .(2) 若 A( x1， y1 )， B( x2， y2) ，则| AB| （x2 x1） 2（ y2y 1） 2 .(3) 若 a ( x1， y1)， b ( x2， y2)， 为 a 与 b 的夹角，则 cos | a| b| x y x y .4. 平面向量的三个锦囊(1) 向量共线的充要条件： O为平面上一点，则 A， B， P 三点共线的充要条件是 OP 1A2B( 其中

8、1 2 1).(2) 三角形中线向量公式：若1 ( OAOB).(3) 三角形重心坐标的求法：P为 OAB的边 AB的中点，则向量 P与向量 A， B的关系是 P xAxBxC yAyByCG为 ABC的重心 ? GAGBGC0? G 3 ， 3 .热点一 平面向量的有关运算 命题角度 1 平面向量的线性运算【例 1 1】 (1)(2017 某某卷 ) 在 ABC中， A60， AB3， AC2，若D2C， EB( R) ，且 D E 4，则 的值为 _.(2) 已知菱形 ABCD的边长为 2， BAD120，点 E， F 分别在边 BC， DC上， BC3BE， DC 的值为 _. DF.

9、若AE AF1，则1 2 1 2解析 (1) AB C32cos 60 3， D3B3C，则DE 3AB3AC ( CB) 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 11 3 ABAC AB AC 3 3 2 5 4，解得 (2) 法一 如图， E B EB C， F D D C C 4 / 14AB BC BC AB 1BA BC 3 332 3 4 1 1 ， 3 13 4 12 23 12 2| A| | C| 22 3 1 1 13 ， 3word AB，所以 AE AF22cos 120 1 1 13 3 4 4 1，解得 2. 1 2 1 2 1AB BC AB BC 13 法二 建

10、立如图所示平面直角坐标系 . 由题意知：A(0， 1)， C(0 ， 1)， B( 3， 0)，D( 3， 0).由 BC3BE， DC DF，可求点 E， F 的坐标分别为E ， F 3 1 ， ， F1 2 1 3答案 (1) 113 3 ， 1 1 1，解得 2.(2)2探究提高 用平面向量基本定理解决此类问题的关键是先选择一组基底，基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，再通过对比已知等式求解并运用平面向量的. 命题角度 2 平面向量的坐标运算【例 1 2】 (1)(2017 某某冲刺卷 ) 已知向量 a (2， 1)， b(0 ， 1). 若( a b) a，则实数 _.(2)(2

11、016 全国卷改编 ) 已知向量 A 1， 3 ， C， ，则 ABC_.解析 (1) 由题意可得 a b(2， 1 ) ，则 ( a b) a(2， 1 ) (2， 1) 5 0，解得 5. (2)| A| 1， | C| 1， cos ABC ，则 ABC30.答案 (1)5 (2)30 探究提高 若向量以坐标形式呈现时， 则用向量的坐标形式运算；现，则可建系将之转化为坐标形式，再用向量的坐标运算求解更简捷若向量不是以坐标形式呈.5 / 1422 2 9 2 ，1 1 1 3 17 2 1 173 1 1 3 9 231 1 2 1760 2 1 2 17 29 2 2 29 219 9

12、1 1 1word 命题角度 3 平面向量的数量积【例 1 3】 (1)(2017 全国卷 ) 已知向量 a， b 的夹角为 60， | a| 2， | b| 1，则 | a 2b| _.(2)(2017 某某二模 )在等腰梯形 ABCD中，已知 ABDC， AB2， BC1， ABC60，动且BE BC， DF DC，则AE 点 E 和 F 分别在线段 BC和 DC上， 9 AF的最小值为 _.解析 (1)| a 2b| 2 | a| 22| a| |2 b| cos 60 (2| b|) 2222 22 2244 4 12，| a 2b| 12 2 3. (2) 法一 在梯形 ABCD中，

13、 AB2， BC1， ABC60， 可得 DC1， AEAB C， F 1 AD DC，E F(B C) (D9 C) B D B 9 C CD C 9 C21cos 9 1cos 60 9 cos 120 9 2 182 9 2 18 18，当且仅当 9 2 ，即 3时，取得最小值为 18 .法二 以点 A 为坐标原点， AB所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则 B(2， 0)， C D 1 又BE BC， DF DC，1则 E 2 ，2 所以 AEAF ， F ， 0，2 2 9 4 189 2 18 22 1 299 2 18， 0， 当且仅当故AE 2 1 ，即F的最小值为2 时

14、取等号，29.1829答案 (1)2 3 (2) 18探究提高 (1) 数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐标运算、数量积的几何意义， 特别要注意向量坐标法的运用； 可以利用数量积求向量的模和夹角， 向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算；在用 | a| a2求向量的模时，一定要把求出的a2 进6 / 142word行开方 .(2) 求解几何图形中的数量积问题，通过对向量的分解转化成已知向量的数量积计算是基本方法， 但是如果建立合理的平面直角坐标系， 把数量积的计算转化成坐标运算也是一种较为简捷的方法 .【训练 1】 (1)(2017 全国卷改编 ) 已知 ABC是边长为 内一点，

15、则 PA(PBPC) 的最小值是 _.(2)(2017 某某、某某模拟 ) 如图，在矩形 ABCD中， AB2 的等边三角形， P 为平面 ABC2， BC2，点 E为 BC的中点，点 F 在边 CD上，若 F 2，则 E F的值是 _.解析 (1) 如图，以等边三角形 ABC的底边 BC所在直线为 x 轴，以 BC的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0， 3)， B( 1， 0)， C(1， 0).设 P( x， y ) ，则 A( x， 3 y )， B( 1x ，y)， C(1所以 ( C) ( x， 3 y) ( 2x， 2y) 2x2 2 yx，y ).3 32 2 .

16、当 x 0， y 23 3时， PA(PBPC) 取得最小值为 2.(2) 法一 以 A 为原点， AB所在直线为 x 轴， AD所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系 ( 以射线 AB， AD的方向分别为 x 轴、 y 轴的正方向 ) ，则 B( 2， 0)， E( 2， 1). 设 F( x， 2) ，则 AF( x， 2) ，又B( 2， 0) ， BF法二 BF | B| F|cos BAF即| F| 1， | F| 2 1，2x 2， x 1， F(1， 2) ， 2.AE BF2， | AB| 2， | F|cos BAF1，E F(BE) (C F) B CB F E C F B

17、F E C2 ( 2 1) ( 1) 121 2.7 / 14若 a b ， 029572tan 8412 1， 025 25491 245 251 1word答案 (1) (2) 2热点二 平面向量与三角的交汇【例 2】 (2017 某某模拟 ) 已知向量t 为实数 .a (2cos ，sin 2 )，b (2sin ，t )， 0， 2 ，(1) 5 ，求 t 的值；(2) 若 t 1，且 a b 1，求 tan 2 4解 (1) 因为向量 a (2cos ， sin 2 )，的值 .b(2sin ， t )，且 a b 5 ，所以 cos sin 5， t sin 2 .由 cos si

18、n ，得 (cos sin ) 2 ，即 12sin cos ，从而 2sin cos .所以 (cos sin ) 2 1 2sin cos 25 .因为 0， 2 ，所以 cos（ cos sin 所以 sin 所以 t sin 2 25 .(2) 因为 t 1，且 a b 1， sin ， ）（ cos sin ） 32 5，所以 4sin cos sin 2 1，即 4sin因为 0， 2 ，所以 cos 0，从而所以 tan 2 1 tan 2 15，cos cos 2 .tan ， tan 2 tan 1 23所以 1 185 7 .探究提高 三角函数和平面向量是高中数学的两个重要

19、分支， 内容繁杂， 且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇 . 不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题， 都会出现交汇问题中的难点， 对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中的“数量关系”， 再利用8 / 143所以 SABC acsin B12 234word三角函数的相关知识进行求解 .【训练 2】 (2017 苏北四市模拟 ) 已知在锐角三角形 ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a，b， c，向量 p (cos Bsin(1) 求 B 的大小；(2) 若 b 2， ABC的面积为 解 (1)

20、因为 pq，B， 2sin B2)， q(sin Bcos B， 1 sin B) ，且 pq.3，求 a， c .所以 p q(cos Bsin B)(sin Bcos B) (2sin B2) (1 sin B) 0，即 sin Bcos B2sin 2B2 0，即 sin 2B ，又角 B 是锐角三角形 ABC的内角，所以 sin B 2 ，所以 B60.(2) 由(1) 得 B60，又 ABC的面积为 3，2 3，即 ac 4. 由余弦定理得 b2 a2 c22accos B，又 b2，所以 a2 c2 8，联立，解得 ac 2.1. 平面向量的数量积的运算有两种形式：(1) 依据模和

21、夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；(2) 利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化 .2. 根据平行四边形法则，对于非零向量 a， b，当 |ab| |a b| 时，平行四边形的两条对 角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件 |ab| |a b|等价于向量 a， b 互相垂直 .9 / 14211 1 3word3. 两个向量夹角的 X 围是 0 ， ，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是 0 或 的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单

22、纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线 .一、填空题1.(2017 某某卷 ) 已知 e1，e2 是互相垂直的单位向量，则实数 的值是 _.1解析 cos 60 2，解之得 （ 3e1 e2 ）（ e1 e2）| 3e 1e2| e1 e2|33 .若 3e1 e2 与 e1 e2 的夹角为 60，3 3 1 1 23答案2.(2015 卷 )在 ABC中，点 M， N满足M2C， N C.若 NxByC，则 x_； y _. 1 1解析 MNMC 3AC2CB AC (ABAC)3 21 1 1 12AB6AC， x 2， y 6.答案12163. 已知 A， B， C为圆 O上的三点，若

23、 O (BC) ，则 B与C的夹角为 _. 1 解析 由AO2(ABAC) ，可得 O为 BC的中点，故 BC为圆 O的直径，所以90.答案 904. 已知 O是平面上的一定点， A， B， C是平面上不共线的三个动点，若动点 AB与AC的夹角为 P 满足 OPOA(BC)， (0 ， ) ，则点 P 的轨迹一定通过 ABC的_( 填重心、垂心、内10 / 141 3 1 3 341word心或外心 ).解析 由已知， 得 即P (BC)，根据平行四边形法则， 设 ABCOPOA ( ABAC)， 中 BC边的中点为 D，知 ABAC2AD，所以点 P的轨迹必过 ABC的重心 . 故填重心 .

24、答案 重心5.(2017 苏、 锡、 常、 镇调研 ) 在 ABC中， 已知 AB1， AC2， A60， 若点 P满足 P AB AC，且 BP CP1，则实数 的值为 _.解析 由 AB 1， AC2， A60，得 B2CAA2C 2AB ACcos A3，即 BC 3.2 2 BC2，所以 B 2 . 以点 A 为坐标原点， B， C的方向分别为 x 轴， y 轴的正方又 ACAB向建立平面直角坐标系，则 B(1， 0)， C(1， 3). 由P B AC，得 P(1 ， 3 )， 则BP CP( ， 3 ) ( ， 3 3) 2 3 ( 1) 1，即 4 2 3 1 0，解得 或 1.

25、答案 或 1146.(2014 某某卷 ) 如图，在平行四边形 ABCD中，已知 AB8， AD5， CP3PD， AP BP2，则 ABAD的值是 _.解析 由题图可得， APADDPAD AB，4BP BCCPBC CDAD AB.4 4 1 3 P AD4AB AD4AB 2 1 3 2AD ADAB AB 2，2 16故有 2 25 ADAB1664，解得 ADAB22.2答案 227. ABC是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a， b 满足 AB2a， AC2ab，则下列结论中正确的是 _( 写出所有正确结论的编号 ).a 为单位向量； b 为单位向量； ab； b； (4ab)

26、 C.11 / 14得 解得3 33xsin 2 ， b 2 .word解析 B2 4| a| 24， | a| 1，故正确； CB(2 a b) 2a b，又 ABC为等边三角形， | C| | b| 2，故错误；b b B(CB) 22cos 60 22 10， 故错误；ACAB， ab，故正确；( BC) (CB) C2 B24 4 0，(4 ab) C，故正确 .答案 8. 如图， 在 ABC中， C90， 且 ACBC3，点 M满足 BM2MA，则CM CB_.解析 法一 如图，建立平面直角坐标系 .由题意知： A(3， 0)， B(0， 3)，设 M( x， y) ，由 M2A，x

27、 2 （3 x）， x2，y 3 2y， y 1，即 M点坐标为 (2， 1)， (2， 1) (0， 3) 3.所以 CM CB法二 CMB( BM) B B1 2 CB 3.3答案 32 2 2 BA CB CB(CACB)二、解答题9. 已知向量 a cos 2，3x cos x2， sin x2 ，且 x 0， 12 / 143 12 2102 555.33x x 3x x8 2.5 122 3x x 23x x2 2word(1) 求 a b 及| a b|；(2) 若 f ( x) a b 2| ab| 的最小值是 2，求 的值 .解 (1) a b cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 x，| a b| cos cos sin 2 sin 2 2 2cos 2 x 2 cos 2x，因为 x 0， ，所以 cos x0，所以 | ab| 2cos x .(2) 由(1) ，可得 f ( x) a b 2 | ab| cos 2 x 4 cos x，即 f ( x) 2(cos x ) 2 1 2 2 .因为 x 0， 2 ，所以 0cos x1.当 0 时，当且仅当 cos x 0 时， f ( x)取得最小值 1，这与已知矛盾；当 0 1 时， 当且仅当 cos x ，解得 ；当 1 时，当