三角函数向量复数

1、 WORD 40/40三角函数向量复数齐民友(大学数学与统计学院430072)1 三角函数新课标中有关三角函数的容分在数学4 ( 两个项目:三角函数,三角恒等变换) 和数学5 (解三角形) 中,共给了32 个学时. 其起点是初中已学过的锐角三角函数, 讲法上强调了利用向量方法, 发挥单位圆的作用,而且强调要淡化三角恒等变换的技巧性容. 这些都是很好的, 但我以为如果突出三角函数的最本质容, 不但用不了这么多时间, 而且更有利于学生现在和以后的学习. 这个最本质的容就是三角函数是匀速旋转这个最简单的圆周运动的本质表现.但是为了讲清楚它, 教学次序要调整一下:先讲平面向量(包括余弦定理, 这种讲法

2、的数学上的根据,我已在“前文”:“中学数学教学中的向量”(以下引用此文处较多, 均简称“前文”) 中作了详细讨论.匀速旋转运动与其数学研究自古以来就是重大问题, 三角学源自天文学,因为天体运动的轨道在人类认识的早期就是圆, 天体则是球, 天体的运行必是匀速旋转. 这些命题被亚里斯多德当成了形而上学的根本原则, 却是有人类认识的经验基础的. 由此,首先要回答什么是角. 初中水平的几何和三角学里讲的角是两条边“夹”出来的. 因此无所谓始边终边,角的大小也是非负的,其围在0 ,因此有锐角钝角之分. 比更大的角有时称为“优角”,比0更小的角就谈不上了. 到了高中,第一个最重要的概念是:角是“转”出来的

3、:具有固定起点的平面有向线段(即平面向量, 向量起点如前文所述,一定在原点. 以下我们时常混用有向线段与向量二词,应该不会有困难,) 绕此起点(原点) 在此平面旋转就得到一个角. 有始边, 终边之分, 顺时针方向转的称为负角, 逆时针方向转的称为正角. 所以刻划一个平面向量a ,先要给定一个平面向量(例如i)作为参照( 即始边) , 然后, 让这个参照向量绕原点在此平面旋转直到与a“重合”( 其实只需部分重合, 因为i与a 不一定同长) ,记旋转角为,再令a 之长为r =| a | ,它对角的性质无影响,所以我们以后总设r = 1 , 即只讨论单位向量旋转所成的角. 这个向量起点是(0 ,0)

4、 ,终点是, 于是我们就说角就是单位圆上的点在其圆周上旋转所成的. 这种角习惯上称为任意角. 学生们时常以为任意角就是可取任意值的角. 这些当然是对的,但又不止于此,还有以上的丰富容, 主要是有方向.既然如此, 要研究匀速旋转, 一方面可以研究角的变化,例如设角速度为,则有.是角的初始位置. 这一点不仅有数学意义, 更重要的是有物理意义. 课标上要求重视三角学与其它学科的联系与结合是非常重要的. 而且依我之见, 最重要的是它与振动和波动的联系, 因为这可以说是几乎全部高科技的基础(或再加上“之一”二字, 以免有绝对化之嫌?) 而其出发点就在于此. 但这又是当前数学教学(不只是中学) 的薄弱环节

5、. 这一点以下再说. 我们下面常取=0,这纯粹是为了数学上的方便.研究匀速旋转最重要的是研究的变化,即是研究x和y作为的函数. 于是我们给出定义当然如果不是单位向量，则令我们会越来越多地看到, 最好是不把正弦余弦看作两个函数, 它们是密切相关的. 所以最好是把二者合起来看成一个向量值函数这个概念虽然不难,但是中学生能不能接受,我没有把握. 至少,好一点的学生是可以的, 而一旦接受了,会有很大方便.前文中我建议把这一部分(但一段暂时不讲) 放在向量一章里讲. 一方面, 可以对向量的方向有一个比较可操作的刻画方法, 即用辐角刻画. 这种刻画方法即使在中学阶段也十分重要.利用这种把正余弦定义为角的终

6、边的坐标的方法,我们突破了初中讲,时限于锐角的限制,说明这已是一个推广,而为下面更进一步的展开作一铺垫. 这样定义正余弦更直接地是为介绍余弦定理作准备. 对余弦定理则要从如何计算向量或有向线段之长入手, 看出它是匀股定理的推广, 而不是把它简单地看成解三角形的工具. 解三角形只是余弦定理一个小小的应用:屠龙宝刀也可以用来杀鸡! 以下就可以进入三角函数理论本身了. 但在这以前请读者注意,我们多次强调了现在我们讲的是平面向量. 因为三维空间的旋转是一个非常困难的问题,对中学生是不宜去讲的. 但是从左图可以看到:如果把正方形先绕z轴转得,再绕x 轴转得. 但是若首先绕x轴转得, 再绕z轴得到的(右)

7、 与前一个不同. 学生们自己用一本书在桌子边上实验一下即知. 这说明三维空间中旋转的乘法( 连续施行两次旋转称为它们的乘积) 是不服从交换律的.大概多数中学老师会告诉学生有不可交换的乘法这回事. 给一两个例子即可使学生看到这一点, 不必等到系列3的选修课对称与群再讲了. 类似的例子在中学数学里多的是. 课标也把形成一定的数学视野作为高中阶段学习数学的总目标的一部分. 不能一提到一个问题就一定要开一门课, 列一个章节, 而可以随时注意提醒一些重要概念,“随风潜入夜, 润物细无声”可能是更易收效的.整个三角函数理论,其实可以归结为4 点:(1)沙尔定理. 设角的始边为,终边为,如果再以为始边旋转到

8、终边,则由旋转到的角是我们在前文中已经讲到沙尔定理, 这里又是一个. 那么, 沙尔是谁?这个定理是怎么说的?沙尔 (Michel Chasles , 1793 - 1880) 是一位重要的法国数学家. 在19 世纪之始, 当笛卡儿的解析几何已经 “占据了统治地位”时, 有一批几何学家出来说, 解析几何代数味太重, 不算几何, 因此主复兴综合几何. 这批几何学家以蒙日为首, 沙尔也是一员大将. 言词之争是小事, 射影几何学却由此发展起来了,以至于大数学家凯莱甚至说: 几何学就是射影几何学. 沙尔在1852 年出版的高等几何学一书中提出了以下的定理.沙尔定理: 设A ,B ,C 为直线上三点, 则

9、这就是“正宗”的沙尔定理. 不过因为它太简单,只能当作一个练习题, 人们似乎也不太重视. 但是沙尔本人是充分了解其意义的, 其实质意义就是,应该让几何量有正负号, 这样许多定理的证明就不必分成许多特例来分别证明了. 因此, 沙尔把他的这个定理称为几何学的基本定理. 后来人们把沙尔定理也推广到面积, 体积上去. 大数学家克莱因( Felix Klein , 爱尔朗根纲领的提出者, 而不是我们比较熟悉的写了数学史巨著的作家克莱因:M. Kline ,名字拼法也不同) 写过一本从高观点看初等数学,全书分三卷,第二卷几何学对这个观点与其发展作了非常精彩的论述. 附带提一句, 有向线段与有向角的概念也是

10、沙尔引入的. 这样读者可以理解,本文和前文都把一个定理冠以沙尔之名是有道理的.(2) 勾股定理.它的证明确实就是勾股定理: .初中生也知道这个公式, 但是现在讲的是它的一个推广:不限于锐角, 而是任意角. 它的几何意义也很简单:如果一个点(x ,y) 在单位圆上转,则转来转去还在单位圆上.这两个定理都简单得不能再简单了. 把它们当作基本的东西未免可笑. 但是, 它们确实起了基本作用. 说到底,三角函数就应该那么简单. 过去把它搞得那么复杂是由于没有认识到它的本质. 因此另两个定理就是讲的圆的基本性质对称性(3) 对称定理.圆的最重要的性质就是其对称性. 圆有丰富的对称性. 我们不必拘泥于中心对

11、称, 轴对称等等名词. 总之,圆在许许多多的变换下仍变为圆. 这就是对称性. 我们不妨从单位圆上的一个向量, (即一个角或一个点) 开始, 而且让它旋转. 首先是每次转90(向左转) 或90(向右转) ,而且是连续不断地施行这一变换(当然转了360以后一定还原) :从变到.这里看起来有无穷多个旋转,其实都可以由向左转90(即) 生成:向后转即连续两次向左转,向右转则可以先作3次向左转再反向转360: .但是另一个重要变换- (对x 轴反射) 不能这样生成. 所以我们把这个变换也列为基本的. 有了这两个基本的变换以后,例如对y 轴的反射- 也可由- 再继之以两次向左转.总之,所有的都可以由和生成

12、. 这里我们用大写字母T表示变换.变换是整个数学的核心概念之一. 在讲三角函数时把它溶化进去是有好处的, 当然这不等于要对中学生用上一大堆记号. 而可以用两个引理来概括我们所需的变换.引理1若单位圆上一点经变为(则证明太简单了, 画一个图就明白. 但是用向量来表述这个证明更加简单. 点就是向量, 但是在旋转后i变成为j , j 则变成- i. 所以变成. 此即所求证的结果.可能有读者喜欢画图, 但是, 画图只能给出一个特例,通常会把画在第一象限. 岂非还要对在二、三、四象限的情况分别再给以证明?应用了向量以与基底在旋转后的情况, 这些麻烦就全消失了.在讲复数后还可以给出另一个统一的十分简单的证

13、明. 总之, 我们又一次看到, 抓住绕原点的旋转,总能得到优美简单的证明.引理2若单位圆上一点经变为, 则仍在单位圆上,而且引理2与引理1大异其趣. 引理1 利用了圆在旋转下的不变性(对称性) , 引理2 则用到它对于轴反射的对称性. 读者会问, 圆还有对于其它直径如轴的对称性, 那里又会有什么新鲜事呢?看来不会再有本质上不同的结果了. 所以, 引理1 ,2 也就够用了. 所谓“诱导定理”其实就是反复应用这两个引理. (也许还要加上一个周期性引理, 它虽然也可以从引理1 ,2 得出,但是周期性是一个重大问题,所以还是把它列出引理0 正余弦函数均以2为周期. )“诱导定理”至此就讲完了. 可以由

14、它们得出许多公式,例如等等. 有时同一个结果可以有多种证法. 应该告诉学生,哪一种证法都可以, 无所谓哪一个更好. 用惯了就行. 重要之处在于. 一定要使学生们懂得,现在不再只是锐角了. 麻烦在于, 这些公式中有一些非常常见,如而且有时还有特殊的名称, 如上式称为“余角公式”. 如果每一个公式都要起一个名字, 都要让学生自己推导, 那也太麻烦了. 所以课标里特别提到,的正余弦公式,我看就是要背!至于名称,当然可以免了. 讲上面这些引理的目的, 是请大家注意,它们都只是圆的对称性的表现. 必须抓住三角函数是为了刻画匀速圆周运动的, 这样就真正抓住了要领,就能以简驭繁. 我们应该要求于学生的,只是

15、真正懂得那两条引理, 并且逐步学着由它们推导出需用的公式, 最好背得几个. 绝对应该避免把三角函数的理论变成一大堆公式!关于“诱导公式”一词, 也想做一点翻案文章:究竟是什么公式“诱导”了什么公式?是“诱导”出更好的还是一般的?查一下外国文献, 似乎从无“诱导公式”一说, 倒是有很多文献说到了“reductionformula”(简化公式) 3 . 据我回忆,在上世纪50 年代前,国教材说“简化公式”的是有的, 意思也清楚.所以本文就大胆不用“诱导公式”这个词了. 但是说 “对称定理”肯定是不完美的,因为它远没有把圆的对称性表现充分. 因为这里要求每次转90, 转了四次就周而复始,那么为什么不

16、能每次转60呢?按道理说是可以的, 也可以得到一些公式,只不过公式太繁,用处不大. 等到讲了复数以后,就一切都明白了.(4)加法定理它就是我们常说的“和角公式”与“差角公式”.把它们合称为加法定理是否有点故弄玄虚?这一方面是由于加法定理一词在数学中是很常用的. 许多重要的函数都有自己的加法定理, 就是把与,联结起来的公式. 三角函数的加法定理只是其一例. 更重要的是, 它虽然包含了许多公式, 其处理方式都是一样的, 而且其结果在引入复数以后又都与一个最重要的“加法定理”统一.所以我们主就只使用一个名词逐渐地取代现在通用的许多名词.加法定理仍然本质地反映了圆的对称性. 如果说,对称定理回答了旋转

17、90的问题,现在则要回答旋转任意角度的问题. 为此, 取一个单位向量,为简单计就把它放在x 轴上成为x 轴正方向的单位向量. 以为始边转一个角, 设终边为, 当然,所以B 点仍在单位圆上. 现在以为始边再转一个角成为, C点当然仍在单位圆上. 单位圆转来转去仍是单位圆, 这是它的不变性也就是它的对称性. 不妨把这个说法与欧几里德的说法作一点比较:欧几里德的几何原本就是以此性质来刻画圆的(圆上任一点到圆心距离一样) ,我们只不过加上两个新名词: 不变性和对称性. 这又是不是故弄玄虚?当然不是. 不变性与对称性密切相关. 中学教材中讲过不少对称性:点对称、轴对称、球对称等等. 但是要问对称性的定义

18、, 则只能这样说:若有一图形G以与一类变换,使得G经这一类中的任一变换后仍保持不变, 就说G关于这类变换具有对称性. 所以圆对于绕圆心的旋转具有旋转对称性.“不变性”、“对称性”和“变换”一样,都是整个数学科学的核心概念. 欧几里德讲圆只是接触到对称性的一个特例. 课标选修系列3 中的“对称与群”这一专题则是为的初步介绍一般的对称性概念的数学理论. 在讲三角函数时当然不能去讲群论, 但是我们使用变换, 不变, 对称这些“词”而不加任何进一步说明,正是为了使学生能或多或少“得其意”,为他们今后的发展作一点铺垫. 下面回到正题.单位向量绕旋转一个角而成, 再经过旋转一个角终于成了.对此有两种看法:

19、 一是经旋转角+达到 (沙尔定理) ,所以的辐角是+,而有另一种看法是是经旋转而得, 如果把看成新的x 轴,则记其上的单位向量为i, 并记新的y 轴上的单位向量为j,有但是i是旋转了角而得的终边,故j则是i再转而得,也就是由OA 转而得 (沙尔定理) ,故这里用了一次引理1. 以i, j之式代入(4) 即有比较(3) 与(5) 利用平面向量的基本定理,即有正余弦函数的加法定理. 对任意角+有这就是和角公式. 把换或- 并利用引理2 又可得到差角公式.这个证法优于一般教材上的证法主要不在于它比较简单而且一下子给出了4 个公式, 而在于它来自一个基本的思想,即三角函数的加法定理反映了圆的对称性这一

20、基本性质,而且通过沙尔定理可以完全不受,在不同象限需要不同处理方法的影响. 我们在讲沙尔定理时引述了沙尔本人对几何量应该允许取不同符号的话. 实际上, 这个证明并不需要图2 ,证明的文字中从来没有“见图2”的字样.读者不妨试一下,完全不看图, 只看文字, 应该不太困难地看懂它,最多是有一些生疏.关于三角函数的论述基本已完成. 在教学过程中不费力气就可以得到倍角公式, 和差化积, 等等. 下面对三角恒等变换的教学讲一点看法. 主要的看法是, 目前的中学教学对此仍然看得过重, 我则主进一步淡化处理. 这一部分和证明几何题一样是很有吸引力的,对学生(特别是好学生) 的数学能力的培养有好处. 为什么还

21、要淡化,看一下历史发展就明白了. 最简单恒等变换如和角公式, 差角公式以与某些和差化积公式, 托勒密就已证明了.但是大家不把它们看作恒等变换, 因为托勒密是用的初等几何方法( 主要依靠所谓托勒密定理: 圆接四边形两对边乘积之和等于对角线乘积) , 而没有用三角函数之间的关系式,直到16 - 17 世纪, 由于天文学和测量学计算的需要, 常遇到各种三角函数的关系问题. 一个著名的例子: 积化和差公式就被用来计算两数乘积:设有A0 ,B0.首先找一个适当整数n(可正可负) 使. 对B 也一样处理.因此可设0 A , B 0 的情况. 如果 0 这一条件的绝对重要性, 也就是超越了算术根来应用指数定

22、律(15) . 现在仔细分析上例.第二步( ) 由- 1/ 1 = 1/ - 1 双方开方,涉与到在根号下出现负数,因此超出了算术根概念. 当a= b 0 时才能得到,因为都是指算术根. 中- 1/ 1 不是正数,想要开方就必须超越算术根的限制而进入复域. 注意到| - 1/ 1 | = 1 ,而有同理,没有理由认为k 与l 一样,因此开方后,只会得到只有当k 和l 具有一样奇偶性时,二者才能等,否则二者符号相反. 因此, 第二步( ) 应改为= ,这里的错误在于只看了k , l 奇偶性一样的情况.第三步( ) 应用了指数定律中的于是又违反了a, b均为正的要求, 所以又应该进入复域, 而把分

23、子分母分别写为- 1 = ,1 = ,但不能保证有一样奇偶性. 所以 =它可以有两个值以与 ,视k为奇或偶而定. 同理右方也应该有两个值与- .问题在于左右两方的值如何配对. 这里有4 个配对方式: 左 ,右- ; 左- ,右; 左 ,右; 左- , 右- . 显然若取配对,则左右双方不能相等, 而取, 时, 总是得到i = i 或- i = - i. 总之不能一概地说= . 因此只能在, 两种配对下得出i = i , i2 = i2即- 1 = - 1 而不会有问题. 若取配对则= 不能成立. 进入复域后,我们会发现,有时同一个记号可能代表多个值, 这时两个记号相等是什么意思?直截了当地说,

24、“等号= ”是什么意思?是指对于一切配对方式都相等还是只对于某些配对方式才相等?连如此简单的事情都会出毛病!欧拉的错误也可以这样解释.还有一个例子. 我们都习惯说许多中学教材也都这样说. 可是, 在数学中有一条“公理”:如果两个数A = B ,则凡遇到A 时一定可以用B 代替A ,因此,而有- 2 = 2. 读者可以说, 您是在中先按分子作平方,再按分母开6 次方. 如果把次序倒过来: 情况又如何?分数幂的定义中没有说是先开方再乘方或相反. 所以还是要进入复域而有它实际上只有三个值,即令k = 0 ,1 ,2 而有第二个恰好是- 2 ,它对应于k =1. 如果我们看就会有k=0时得算术根2 , k = 1 ,2 时则得到2,22 ,这里这时倒是可以说算术根是“最自然的”, 它对应于k = 0. 至于, 尽管我们以为是“习惯成自然”, 其实是很“不自然”的; 有什么理由特别钟情于k = 1呢?至于为什么由会得出两个不同结果读者可以自己试着解释.现在的中学教材中讲到指数与幂时已经规定了“底”应该为正. 当底a 为一般的复数时, 必须进入复域,而研究当a 为正数时,则因arga = 0 ,再取