福建福州一中2014届高三5月校质检理数版含答案

1、福建省福州一中数学（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分（满分150分 考试时间120分钟）第I卷（选择题共50分）、选择题（本大题共 10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的, 把答案填在答题卡的相应位置.xA. Vx2 R , 2 1xC.方正 R , 2 012.设集合 M =-1,1,CW1.已知命题p ： 5xe R ,一 xB. Vx = R , 2 1xD. -x R , 2 :1=匕2,则 “ a =1 ” 是 M U N = M ”的3.A .充分不必要条件C.充分必要条件 执行如图所示的程序框图,B.必要不充分

2、条件D.既不充分又不必要条件若输入A的值为2,则输出的P值为A. 2C. 44.设变量x, y满足约束条件y-0 x-y+120 ,则z = 2x + y的最大值为 x y -3 _05.A. -2B. 3C. 4D. 6/输入“在等差数列必定满足的关系式为/F1PF2 =120”，则该椭圆离心率 0与双曲线离心率 e e2 = 1 TOC o 1-5 h z 4431 dC. -22=14e1 4域3 212d-e1 -62=1443 dD. 2 2 = 14e14e210.设A,AJII,An为集合S =(1,2,1”, n的n个不同子集(nJ 4 ),为了表示这些子集,0，i - Aj,

3、作n行n列的数阵，规定第i行与第j列的数为aj =4则下列说法正确的个数是j 1,i Aj,数阵中第1列的数全是0当且仅当 A =0 ；数阵中第n列的数全是1当且仅当An=S；数阵中第j行的数字和表明元素j属于A, AJM, A中的几个子集；数阵中所有的数阵中所有的A. 2n2个数字之和不小于n;n2个数字之和不大于n2 -n+1.B.3C. 4D. 5第瞳（非选择题共100分）二、填空题：本大题共 5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.i11,若复数 z=,则z的共轲复数 z =.1 - i12 .已知多项式（1 +x ）+（1 +x)2 +111 + (1 +x)n =

4、bO + “x +b?x2+bnxn ,且满足bi b2 JH bn=26 ,则正整数n的一个可能值为13.已知圆 C:x2 +y2 4x4y =0,直线 l : J3x + y+6 2J3 = 0,在圆 C上任取一点A ,则点A到 直线l的距离小于2的概率为e.已知(xln x ) = ln x +1,则 | ln xdx =.已知两个非零向量a和b所成的角为8（0W8 Wn）,规定向量c = aMb,满足:(1)模:c = a b sin 8 ；（2）方向：向量c的方向垂直于向量 a和b （向量a和b构成的平面），且符合“右手定则”：用右手的四指表示向量 a的方向，然后手指朝着手心的方向摆

5、动角度o到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向.这样的运算就叫向量的叉乘，又叫外积、向量积对于向量的叉乘运算，下列说法正确的是 awa=0;axb = 0等价于a和b共线；C壬一芦升口、口.444叉乘运算满足交换律，即 a b=b a;叉乘运算满足数乘结合律，即九（a m b ）=（九a ）父b = a m （九b ）.三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（本小题满分13分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟） ，并将所得数据绘制成频率分 布直方图（如图），其中上学所需时间的范围是 0,100,样本数据

6、分组 为 0,20 ）, 20,40 ）, 40,60 ）, 60,80 ）, 80,100，学校规定上学所需 时间不小于1小时的学生可以申请在学校住宿 .（I）求频率分布直方图中 x的值；（n）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；（出）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，从可以 住宿的学生当中随机抽取 3人，记）为其中上学所需时间不低于80分钟的人数，求巴的分布列及其数学期望.（本小题满分13分）已知几何体 A-BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形.（I ）求二面角E - AD -B的余弦值；（n ）试探究在棱DE上是否

7、存在点 Q ,使得 AQ _L BQ ,若存在,求出DQ的长；若不存在，请说明说明理由 .（本小题满分13分）如图，直角三角形 ABC中，/B=900, AB=1,BC=J3.点M,N分别在边 AB和AC上（M点和B点不重合），将&AVN 沿MN翻折，AAMN变为AAMN , 使顶点A落在边BC上（A点和B点不重合）.设/AMN =8 .（I ）用日表示线段AM的长度，并写出6的取值范围；（n）求线段AN长度的最小值.（本小题满分13分）已知抛物线C的顶点为坐标原点，其焦点F（G0X G。到直线3 2l x - y + 2 = 0的距离为.2（I ）求抛物线C的方程;(n )若M是抛物线C上异

8、于原点的任意一点，圆 M与y轴相切.(i )试证：存在一定圆 N与圆M相外切，并求出圆 N的方程；(ii )若点P是直线l上任意一点， A,B是圆N上两点，且足二九bN ，求pA Pb的取值范围.(本小题满分14分)已知函数f(x)=ax+xln x的图象在点x = e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.(I )求实数a的值；(n)若kwZ ,且f(x)kx k对任意x 1恒成立，求k的最大值；n1(III)右 ak =2ln 2+3ln 3+|+kln k(k 之 3,k w N )，证明：工 k, n=N ). k =3 ak21.本题有(1)、(2)、(3)三个选答题，每题 7分，请

9、考生任选 2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题记分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.(1)(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换已知矩阵m =f2 4 n =仔0卜 1 3 10(I)求二阶矩阵 X ,使MX = N ；22(n)求圆x + y = 1在矩阵X变换下的曲线方程(2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C : Psin26 = 2acose (a 0 ),已知过点P(2 , 4的直线l的参数方程为：x = 2 +t22_ (t是参数)，直线l与

10、曲线C分别交于M, N .2y = Y t2(I)写出曲线C和直线l的普通方程；(n)若PM , MN , PN成等比数列，求a的值.(3)(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲 已知a, b为正实数.2 h2(i)求证 a_+tia+h;h a（n）利用（i）的结论求函数2x0 ： x1 一 x1 ）的最小值.福州一中高考模拟数学试卷（2014年5月）参考答案（理科）一.选择题BACDB BADCC二.填空题11 11 ; 12.4; 13. 1; 14.1; 15.24三.解答题16.解：（I）由直方图可得：20 x 0.025 20 0.0065 20 0.003 2 20 =1.所以

11、x= 0.0125.3分（II）设中位数为y,则20 m 0.0125 + (y -20 炉 0.025 = 0.5，解得y =30所以中位数估计为30分钟.（III）依题意得 B_ B 3,1 I,6分、的所有可能取值为0,1,2,3,.7分芦 1 1pK =o A,；PJ)=C1(L 8P、=2) = C； |311 分所以的分布列为所以的数学期望是18E =3 1213分17.解：（I）由三视图知，CA,CB,CE两两两垂直，以C为原点,以 CA,CB,CE所在直线为x, y, z轴建立空间直角坐标系.1,分则 A (4, 0, 0), B (0, 4, 0), D (0, 4, 1),

12、 E (0, 0, 4) DE =(0, -4,3), AB=(Y,4,0),DA=(4, -4,-1 ),BD =(0,0,1 )设面ADE的法向量为n=(x, y,z),面 ABD 的法向量为 m = (x：y,z)n DE =0则有升一 ，即n DA =01-4 y 3z = 04x -4y - z = 0什小耳3.,取 2=1得 n = H-,1 ,I 4 )AB =0m BD u0-4x 4y =0即 1恒成立，即x -13 ,分k 1恒成立.x - 1x xln xx -1贝Ugx)=x_1nx 2 2，4分x-1令 h(x)=x-lnx-2(x1),1 x -1则 h x = 1

13、=。.0, x x TOC o 1-5 h z 所以函数h(x )在(1,y )上单调递增. 5分因为 h 3 =1-ln3 ：0,h 4 =2-2ln2 0,所以方程h(x) = 0在(1,收)上存在唯一实根x,且满足x0w(3,4).当 1 x x0时,h(x) 0 ,即 g (x) 0,即 g(x) 0, 6分 x x ln x ,所以函数g(x)=在(1, x0 )上单调递减，在(,收)单调递增.x0 1 ln x0 x0 1 x0 - 2所以.g(x)|=g(% )=-x1_J =_0_=%=(3,4).-7 分-Xo -1Xo -1所以 k 2x3(x1 ),取 x = k(k 22,k= N )，则有2ln 2 2 2-3,3ln32 3 -3,l|l,kln k 2 k-3将上面各式相加得221n 2 31n 3 |l| klnk 2 2 3 | k -3 k -1 i；-k2 -2k 1 =：k -11k-1 (k-2)(k 3),所以 TOC o 1-5 h z 一 .211即 ak A(k 1 ),故一 2akk -111+ IH+a3an0,