(江苏专用)高三数学一轮总复习第五章平面向量与复数课时跟踪检测文-人教版高三全册数学试题

1、零向量名称a(1)| a| | | a|；的方向与 a 的方向(2) 当 0 时， aword第五章 平面向量与复数第一节平面向量的概念及其线性运算1向量的有关概念定义既有大小又有方向的量； 向量的大小叫向量做向量的长度 (或称模 )长度为 0 的向量；其方向是任意的单位向量平行向量共线向量相等向量相反向量长度等于 1 个单位的向量方向相同或相反的非零向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相反的向量备注平面向量是自由向量记作 0非零向量 a 的单位向量为| a|0 与任一向量平行或共线两向量只有相等或不等， 不能比较大小0 的相反向量为 02. 向量的

2、线性运算向量运算加法减法数乘定义求两个向量和的运算求 a 与 b 的相反向量b 的和的运算叫做 a 与 b 的差某某数 与向量 a 的积的运算法则 (或几何意义 )三角形法则平行四边形法则运算律(1) 交换律： a b b a；(2) 结合律：( ab) c a( b c)a ba( b)三角形法则( a ) ( ) a；( )a aa； ( ab) a b相同；当 0 时，1 / 51213worda 的方向与 a 的方向相反；当 0时， a 03. 共线向量定理向量 a( a0 )与 b共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使得 b a . 小题体验 1 ( 教材习题改编 )化简：(1)( AB

3、 MB ) BO OM _；(2) NQ QP MN MP _.答案： (1) AB (2)02已知 a与 b是两个不共线的向量， 且向量 a b 与 ( b3a) 共线， 则 _.1答案：3.( 教材习题改编 ) 如图，设 ABC三条边的中线 AD， BE， CF 相交于点 G，则下列三个向量： AB CB CA， GA GB CG， BF CD EA 中，等于零向量的是 _( 填序号 ) 解析：中，原式 AB BC CA 0.中，原式中，原式GA GB GC GC GC 0.BF DC AE ( BA AC BC ) BC 0.所以三个向量中等于零向量的是 .答案：1在利用向量减法时，易弄

4、错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误2在向量共线的重要条件中易忽视“ a0”，否则 可能不存在，也可能有无数个3要注意向量共线与三点共线的区别与联系 小题纠偏 1已知 a， b 是任意向量，下列条件中可推得 a b， | a| | b| ，a 与 b 方向相反，解析：由向量共线的定义知填 .答案：2 / 51a 与 b共线的有 _( 填序号 )a 0 或 b0， a， b都是单位向量word2对于向量 a与 b，下列说法正确的是 _( 填序号 )如果 a 与 b 共线，则 a b 或 a b；如果 a 与 b 共线，则 a与 b 平行；如果 a 与 b 共线，则存在实数 ，使得

5、 a b .解析： a 与 b 共线不能确定其长度关系，故错误；当 a0 而 b0 时，这样的 不存在，故错误；向量平行和共线是相同的概念，故正确答案：3若菱形 ABCD的边长为 2，则 | AB CB CD | _. 解析： | AB CB CD | | AB BC CD | | AD | 2. 答案： 2考点一 平面向量的有关概念 基础送分型考点自主练透 题组练透 1下列说法正确的是 _平行向量的方向一定相同；与任意向量都平行的向量一定是零向量；相等的向量一定是平行向量；共线向量一定在同一条直线上 .解析：平行向量的方向也可能相反，所以错误；只有零向量与任意向量都平行，所以正确；显然正确；

6、共线向量只要方向相同或相反即可，不一定在同一条直线上，所以错误答案：2下列命题中正确的是_若 ab，则 | a| | b|；若 | a| b| ，则 a0) ，使 ka b ( a kb)，即 ka b a kb.( k ) a ( k 1) b.a， b 是不共线的两个非零向量，1k 0 ， k 1 0，k 1， 解得又 0，kk 1，或 1，1.(1) 证明向量共线：对于向量(2) 证明三点共线：若存在实数 由题悟法 共线向量定理的 3 个应用a， b，若存在实数 ，使 a b，则 a 与 b 共线，使 AB AC ，则 A， B， C三点共线(3) 求参数的值：利用共线向量定理及向量相等

7、的条件列方程 提醒 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点(组)求参数的值 即时应用 2如图， 在 ABC中， D， F 分别是 BC，AC的中点， AE AD ，AB a， AC b.(1) 用 a， b 表示向量 AD ， AE ， AF ， BE ， BF ；(2) 求证： B， E， F 三点共线 解： (1) 延长 AD到 G，1使 AD AG ，连结 BG， CG，得到 ?ABGC，所以 AG a b，AD 2 AG 2( a b)，AE 3 AD 3( ab)，AF AC b，BE AE AB ( ab) a ( b 2a)，6 / 511 121wordBF AF AB b

8、a ( b 2a)2(2) 证明：由 (1) 可知 BE 3 BF ，又因为 BE ， BF 有公共点 B，所以 B， E， F 三点共线一抓基础，多练小题做到眼疾手快1 (2016 某某测试 )在 ABC中，已知 M是 BC中点，设 CB a， CA b，则 AM _.解析： AM AC CM CA 2CB b2a.答案： b a2 在四边形 ABCD中， AB a 2b， BC 4a b， CD 5a3b， 则四边形 ABCD 的形状是 _解析：由已知，得 AD AB BC CD 8a2b2( 4a b) 2 BC ，故 AD BC . 又因为 AB 与 CD 不平行，所以四边形 ABCD

9、是梯形答案：梯形3已知 O， A， B， C 为同一平面内的四个点，若 2 AC CB 0，则向量 OC _.( 用 OA， OB 表示 )解析： 因为 AC OC OA， CB OB OC， 所以 2 AC CB 2( OC OA )( OB OC ) OC 2 OA OB 0，所以 OC 2 OA OB .答案： 2 OA OB4. 如图， 在平行四边形 ABCD中，对角线 AC与 BD交于点 O，AB AD AO ，则 _.解析：因为 ABCD为平行四边形，所以 AB AD AC 2 AO ，已知 AB AD AO ，故 2.答案： 25设点 M是线段 BC的中点， 点 A在直线 BC外

10、， BC 2 16，| AB AC | | AB AC |，则| AM | _.7 / 511 1 11word解析：由 | AB AC | | AB AC | 可知， AB AC ，则 AM为 RtABC斜边 BC上的中线，因此， | AM | 2| BC | 2.答案： 2二保高考，全练题型做到高考达标1 (2016 某某中学月考 )设 O是 ABC的外心，则 AO ， BO， CO 是_ ( 填 序号 )相等向量；模相等的向量；平行向量；起点相同的向量解析：由题意，知点 O到三个顶点 A， B， C 的距离相等，所以 AO ， BO， CO 是模相等的向量显然 AO ， BO， CO 的

11、起点不同且方向均不相同，故填 .答案：2已知向量 a， b， c 中任意两个都不共线，但 a b 与 c 共线，且 bc 与 a 共线，则向量 a bc _.解析：依题意，设 a b mc， b c na，则有 ( ab) ( bc) mcna，即 a c mcna. 又 a与 c 不共线，于是有 m 1， n 1， a b c， a bc 0.答案： 03在?ABCD中， AB a， AD b， AN 3 NC ，M为 BC的中点， 则 MN _( 用 a， b 表示 )解析：由 AN 3 NC ，得b) a2b 4a4b.答案： a b1 14 44 AN 3 AC 3( a b)， AM

12、 a b，所以 MN (a4 (2016 启东中学月考 ) 在边长为 1 的正方形 ABCD中， 设 AB a， AD b， AC c，则 | a bc| _.解析：如图所示，a bc AB AD AC AB AD AB AD2 AB 2a，| a bc| 2.答案： 28 / 51MD |1 1 3 32 22 | BM | | 3 MD | 3 .3 | MD | | MD | 112 4SABC1 1SAOCword5设 O在 ABC的内部， D 为 AB的中点，且 OA OB 2 OC 0，则 ABC的面积 与 AOC的面积的比值为 _解析： D为 AB的中点， 则 OD 2( OA

13、OB )， 又 OA OB2 OC 0， OD OC ， O为 CD的中点，又 D为 AB中点，SAOC SADC SABC，则 4.答案： 46设 M是 ABC所在平面上的一点，且3 3MB 2 MA 2 MC 0， D 是 AC的中点，则| |的值为 _BM |解析： D是 AC的中点，延长四边形 MAEC为平行四边形，MD至 E，使得 DE MD， MD MD ( MA MC ) MB 2 MA 2MC 0， MB ( MA MC ) 3 MD ， 1答案：37若点 O是 ABC所在平面内的一点，且满足 | OB OC | | OB OC 2 OA | ，则 ABC的形状为 _解析： O

14、B OC 2OA OB OA OC OA AB AC ， OB OC CB AB AC ，| AB AC | | AB AC |.故 AB AC ， ABC为直角三角形答案：直角三角形8已知 D， E， F 分别为 ABC的边 BC， CA， AB的中点，且 BC a， CA b，给出下 列命题： AD a b； BE a b； CF a b； AD BE CF 0.其中正确命题的个数为 _9 / 5121 111211 1 1 12 11 1 12 13 31 1word解析：BE BC a， CA b， AD CBBC 2CA a2b，故正确； AC 2a b，故错；CF ( CB AD

15、BE CA ) ( ab) a b，故正确； CF b 2aa 2b2b 2a0.正确命题为 .答案： 39. 在 ABC中， D， E分别为 BC， AC边上的中点， G为 BE上一点，且 GB2GE，设 AB a， AC b，试用 a， b 表示 AD ， AG .解： AD 2( AB AC ) 2a2b.AG AB BG AB 3 BE AB 3( BA BC )3 AB 3( AC AB )1 13 AB 3 AC a b.10设 e1， e2 是两个不共线的向量，已知 AB 2e1 8e2， CB e13e2， CD 2e1e2 .(1) 求证： A， B， D三点共线；(2) 若

16、 BF 3e1 ke2，且 B， D， F 三点共线，求 k 的值解： (1) 证明：由已知得 BD CD CB (2 e1e2) ( e1 3e2) e14e2 ， AB 2e1 8e2， AB 2 BD .又 AB 与 BD 有公共点 B，A， B， D三点共线(2) 由(1) 可知 BD e14e2， BF 3e1 ke2，且 B， D， F三点共线， BF BD ( R)，即 3e1 ke2 e 14 e2，10 / 512 12 .2 得2word3，k 4 .解得 k 12.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1 在直角梯形 ABCD中， A90， B30， AB2 3， BC2， 点

17、E 在线段 CD上，若 AE AD AB ，则 的取值 X 围是_解析：由题意可求得 AD1， CD 3，所以 AB 2 DC .点 E在线段 CD上， DE DC (0 1) AE AD DE ， 又 AE AD AB AD 2 DC AD DE ， 1，即 即 的取值2 . 0 1， 0 2 .1X 围是 0，1答案： 0，2. 如图，在 ABC中，延长 CB到 D，使 BDBC，当点 E 在线段 AD上移动时，若 AE AB AC ， t ，则 t 的最大值是 _解析： 设 AE k AD (0 k1)， 则 AE k( AC 2 CB ) k AC2( AB AC ) 2k AB k

18、AC . AE AB AC ， 2k， k， t 3k, 0k1，当 k 1 时， t 取得最大值 3.答案： 33已知 O， A， B是不共线的三点，且 OP mOA nOB ( m， nR)(1) 若 mn 1，求证： A， P， B 三点共线；(2) 若 A， P， B三点共线，求证： mn 1. 证明： (1) 若 mn 1，则 OP mOA (1 m) OB OB m( OA OB )， OP OB m( OA OB )，即 BP mBA ， BP 与 BA 共线又 BP 与 BA 有公共点 B，11 / 51n 1 0，m 0，wordA， P， B 三点共线(2) 若 A， P，

19、 B三点共线，存在实数 ，使 BP BA ， OP OB ( OA OB )又 OP mOA nOB .故有 mOA ( n 1) OB OA OB ，即( m ) OA ( n 1) OB 0.O， A， B 不共线， OA， OB 不共线， mn 1.第二节平面向量的基本定理及坐标运算1平面向量基本定理如果 e1， e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1， 2 ，使 a 1e1 2e2 .其中，不共线的向量 e1， e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1) 向量加法、减法、数乘向量及向量的模： 设 a( x 1

20、， y 1)， b( x2， y2) ，则a b( x1 x2， y1 y2 )， a b( x 1x2， y 1y2)，a ( x 1， y 1)， | a| xy .(2) 向量坐标的求法：若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设 A( x 1， y 1)， B( x2， y2) ，则 AB ( x2 x1， y2 y 1)， | AB | x2 x 1 2 y2 y1 2 .3平面向量共线的坐标表示设 a( x 1， y 1)， b( x2， y2) ，其中 b0.a b? x 1y2 x2y1 0. 小题体验 1已知向量 a(1， m)， b ( m,2) ，若 ab，则实数

21、 m_.12 / 51所以x1 y 1word解析：由 ab，得 12 m2 0，所以 m22，即 m 2.答案： 22 ( 教材习题改编 ) 已知 a (2,1) ，答案： ( 6,19) 3设 e1， e2 是平面内一组基向量，且b( 3,4) ，则 3a4b_.a e1 2e2， b e1e2，则向量 e1e2 可以表示为另一组基向量 a， b 的线性组合，即 e1 e2 _a_b.解析：由题意，设 e1 e2 manb因为 ae12e2， b e1 e2 ，所以 e1e2 m( e12e2) n( e1e2) ( mn) e1(2 mn)e2 . 由平面向量基本定理，得mn 1，2mn

22、 1，m ， n .答案：2 13 31若 a， b为非零向量，当 ab 时， 中一种情形而导致出错；2 要区分点的坐标与向量坐标的不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息；a， b 的夹角为 0或 180，求解时容易忽视其尽管在形式上它们完全一样， 但意义完全不同，3若 a( x1， y 1)， b( x2， y2) ，则 a b 的充要条件不能表示成可能等于 0，应表示为 x1y2 x2y1 0. 小题纠偏 1已知 A(1,2) ， B(4,2) ，则把向量 AB 按向量 a ( 1,3)x2 y2，因为 x2， y2 有平移后得到的向量是_解析： 当向量平移 (起点和终点同时平移 ) 时，

23、 不改变向量的大小和方向， 所以所求的向量就是 AB (4,2) (1,2) (3,0) 答案： (3,0)2已知直角坐标平面内的两个向量 a(1,2) ， b( m1， m3) ，使得平面内的任意一个向量 c 都可以唯一分解成 c a b，则实数 m的取值 X 围为_解析：依题意可知 a， b 为直角坐标平面内的一对基底，所以 a， b 不共线当 a， b 共线时， 1(m3) 2(m1) 0，解得 m5，所以 a， b 不共线时，只需 m5. 故实数 m 的取值 X 围为( ， 5) (5 ， )13 / 51323111 1 11 1 1 1 16 61 1212 13 3word答案：

24、 ( ， 5) (5 ，)3. 如图，在平行四边形 ABCD中， AC与 BD相交于点的中点， AE的延长线与 CD交于点 F，若 AC a， BD 示)O， E是线段 ODb，则 AF _( 用 a， b 表解析： AC a， BD b， AD AO OD 2 AC 2 BD 2( ab)E 是 OD的中点，EB3 DE. 由 DEF BEA，1得 DF AB，31于是 DF AB1 1 BD 3 2 ( OB OA )1 AC AC BD 6a 6b6( ab)， AF AD DF ( ab) ( ab) a b.答案： a b考点一 平面向量基本定理及其应用 基础送分型考点自主练透 题组

25、练透 1 在矩形 ABCD中， O是其对角线的交点， 若 BC e1， DC e2， 则用 e1， e2 表示 OC为_解析： 因为 O是矩形 ABCD对角线的交点， BC e1， DC e2，所以 OC 2( AD AB ) ( BC DC ) 2( e1e2)答案： 2( e1 e2)2.( 易错题 )如图，以向量 OA a， OB b 为邻边作 ?OADB，14 / 5132 2 2 OD3 3 6 6 2 62 2 1 5 1 1 OD6 61 556 6 3 3 2 6 a b，3 31 156 6 61 1 1wordBM BC ， CN CD ，用 a， b 表示 OM ， ON

26、 ， MN .解： BA OA OB a b，BM BA a b， OM OB BM OD a b，1 ON OC CD3 3a3b， MN ON OM a b.1 12 6OD a b a b a b.综上， OM 1 5 ON 2a2b， MN 1a 1b. 谨记通法 用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1) 先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决(2) 在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理，如“题组练透”第 2 题考点二 平面向量的坐标运算 基础送分型考点自主练透 题组练透 1 (2016

27、某某二模 ) 若向量 a(2,1) ， b( 1,2) ， c 0， 2 ，则 c 可用向量 a， b表示为 _解析：设 c xayb，则 0， 2 (2x y， x 2y)，2x y 0，所以 x 2y ， 解得x ，y 1，1则 c a b.2答案： c a b2已知点 M(5 ，6) 和向量 a (1 ， 2) ，若 MN 3a，则点 N的坐标为 _15 / 51 解得y 6 6，即xyword解析： MN 3a 3(1 ， 2) ( 3,6) ，设 N(x， y) ，则 MN ( x5， y6) ( 3,6) ，x 5 3， 所以2，0.答案： (2,0)3已知 A( 2,4) ， B

28、(3 ， 1)， C( 3， 4) 设 AB a， BC b， CA c，且 CM3c， CN 2b，(1) 求 3a b 3c；(2) 求满足 a mbnc 的实数 m， n；(3) 求 M， N的坐标及向量 MN 的坐标解：由已知得 a(5 ， 5)， b ( 6， 3)， c (1,8) (1)3 a b3c 3(5 ， 5)( 6， 3) 3(1,8) (15 6 3， 15 324) (6 ， 42)(2) mbnc ( 6mn， 3m8n)，6mn5， m 1，3m8n 5， n 1.(3) 设 O为坐标原点， CM OM OC 3c， OM 3c OC (3,24) ( 3， 4

29、) (0,20) M(0,20) 又 CN ON OC 2b， ON 2b OC (12,6) ( 3， 4) (9,2) ，N(9,2) ， MN (9 ， 18) 谨记通法 平面向量坐标运算的技巧(1) 向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2) 解题过程中， 常利用向量相等则其坐标相同这一原则， 通过列方程 ( 组)来进行求解考点三 平面向量共线的坐标表示已知 a(1,0) ， b (2,1) 重点保分型考点师生共研 典例引领 (1) 当 k 为何值时， ka b 与 a 2b 共线；(2) 若 AB 2a3b，

30、BC a mb， 且 A， B， C三点共线，求 m的值16 / 513word解： (1) a (1,0) ， b(2,1) ，ka b k(1,0) (2,1) ( k 2， 1)，a2b(1,0) 2(2,1) (5,2) ，ka b 与 a 2b共线，2( k 2) ( 1) 5 0，k .(2) AB 2(1,0) 3(2,1) (8,3) ， BC (1,0) m(2,1) (2 m 1， m) A， B， C三点共线， AB BC ，8m3(2 m 1) 0，m2 . 由题悟法 向量共线充要条件的 2 种形式(1) ab? a b( b0)；(2) ab? x1y2 x2y1 0

31、( 其中 a(x1， y1)， b (x2， y2) 当涉及向量或点的坐标问题时一般利用 (2) 比较方便 即时应用 1已知向量 OA ( k, 12)， OB (4,5) ， OC ( k, 10) ，且 A， B， C三点共线，则 k_.解析： AB OB OA (4 k， 7)， AC OC OA ( 2k， 2) A， B， C三点共线， AB ， AC 共线， 2(4 k) 7( 2k) ，解得 k .2答案：32 (2016 某某调研 ) 已知向量 a (2,3) ， b ( 1,2) ，若 ma4b 与 a 2b 共线，则 m 的值为 _解析： ma4b(2 m4,3 m8)，

32、a 2b(4 ， 1) ，由于 ma4b 与 a2b 共线， (2m4) 4(3 m8) ，解得 m 2.答案： 217 / 512 21 1解得54word一抓基础，多练小题做到眼疾手快1. 如图， 在平行四边形 ABCD中， E 为 DC边的中点， 且 AB a， ADb，则 BE _.( 用 a， 解析： BE BA AD DE答案： b ab 表示) a b a b a.2 (2016 某某调研 ) 若 AC为平行四边形 ABCD的一条对角线， AB (2,4) ， AC (1,3) ，则 AD _.解析：由题意可得 AD BC AC AB (1,3) (2,4) ( 1， 1)答案：

33、 ( 1， 1)3 (2015 某某四校联考 ) 已知向量 a(5,2) ， b( 4，3)， c( x， y) ，若 3a 2b c 0，则 c _.解析：由题意可得 3a 2b c (23 x, 12 y) (0,0) ，所以x 23， y 12，所以 c ( 23， 12)23x 0，12y 0，答案： ( 23， 12)4 (2015 苏北四市调研 ) 已知向量 a(1,3) ， b( 2,1)量 kab 共线，则实数 k _.解析： kab k(1,3) ( 2,1) ( k 2,3 k 1)， 因为向量 2( k 2) 3(3 k1) 0，解得 k 1.， c (3,2) 若向量

34、c 与向c 与向量 kab共线， 所以答案： 15若三点 A(1 ， 5)， B(a， 2)， C( 2， 1) 共线，则实数 a 的值为 _ 解析： AB ( a 1,3) ， AC ( 3,4) ，据题意知 AB AC ，4( a 1) 3( 3) ，即 4a 5，a 4.5答案：二保高考，全练题型做到高考达标1 已知在 ?ABCD中， AD (2,8) ， AB ( 3,4) ，对角线 AC与 BD相交于点 M，则 AM_.18 / 511 2 0，12解得 . AD ，AM AC ，所以2 22 2 .word解析： 因为在 ?ABCD中， 有 AC AB 2 AM 2( AB AD

35、)1 11 1 ( 1,12) ， 6 .21答案： ，62 (2016 某某一中月考 ) 已知向量 0，则 m_.解 析： a ( m,1)， b ( m2,2) ，m m2 0， 解得 2，m0或2.a( m,1)， b ( m2, 2) 若存在 R，使得 a ba b 0， ( m m2, 1 2 ) (0,0) ， 即答案： 0 或 23 已知平行四边形 ABCD中， AD (3,7) ， AB ( 2,3) ， 对角线 AC与 BD交于点 O，则 CO 的坐标为 _解析： AC AB AD ( 2,3) (3,7) (1,10) 1 1 OC AC ， 5 CO答案：1 ， 5 .1

36、2， 54设向量 a (1 ， 3)， b( 2,4) ， c ( 1， 2) ，若表示向量 4a, 4b 2c, 2( ac)， d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量 d_.解析：设 d( x， y) ，由题意知 4a (4 ， 12)， 4b2c ( 6， 20)， 2( a c) (4，2) ，又 4a4b 2c2( ac )d0，所以 (4 ， 12) ( 6,20) (4 ， 2) ( x， y ) (0,0) ，解得 x 2， y 6，所以 d( 2， 6)答案： ( 2， 6)5. (2016 某某调研 ) 如图，点 A， B， C是圆 O上三点，线段 OC与线段 AB交于

37、圆内一点 P. 若 OC mOA 2mOB， AP AB ，则 _.解析：由题意，设 OP nOC . 又 AP OP OA ( OB OA )，故 nOC OA ( OB OA )， n( mOA 2mOB ) OA ( OB OA ) ，即 ( mn 1) OA (2 mn ) OB 0. 而 OA 与 OB 不共线，故有mn 1 0， 22mn 0， 319 / 51则 得 ( AB 3word2答案：6在 ABC中， 点 P在 BC上， 且 BP 2 PC，点 Q是 AC的中点， 若 PA (4,3) ， PQ(1,5) ，则 BC _.解析： AQ PQ PA ( 3,2) ， AC

38、 2 AQ ( 6,4) PC PA AC ( 2,7) ， BC 3 PC ( 6,21) 答案： ( 6,21)7 (2015 某某模拟 )如图所示，在 ABC中，点 O是 BC的中点，过点 O的直线分别交直线 AB，AC于不同的两点 M，N，若 AB mAM ，AC n AN ，则 mn 的值为 _解析：连结 AO，则 AO 2 AC ) 2 AM 2 AN .1 m n又 M， O， N三点共线， 1，即 mn 2.m n2 2答案： 28 P a| a( 1,1) m(1,2) ， mR， Q b| b(1 ，2) n(2,3) ， nR是两个向 量集合，则 PQ等于_解析： P中，

39、 a( 1 m,1 2m)，Q中， b(1 2n， 2 3n)1 m12n， m 12，12m 2 3n. n 7.此时 a b ( 13， 23)答案： 13， 23 9平面内给定三个向量 a (3,2) ， b( 1,2) ， c(4,1) (1) 求满足 a mbnc 的实数 m， n；(2) 若( akc) (2 b a) ，某某数 k .解： (1) 由题意得 (3,2) m( 1,2) n(4,1) ，20 / 512mn2，5 1333.5word m4n3， 所以m，解得n .(2) akc (3 4k, 2 k)， 2b a( 5,2) ，由题意得 2(3 4k) ( 5)

40、(2 k) 0，解得 k 10 (2016 启东模拟 ) 在 ABC中，已知 A(3,1) ， B(1,0) ， C(2， 3)(1) 判断 ABC的形状；(2) 设 O为坐标原点， OD mOC ( mR)，且 ( AB mOC ) BC ，求 | OD |. 解： (1) 由两点间的距离公式，得 | AB| | AC| 5. AB ( 2， 1)， AC ( 1,2) ， AB AC 22 0，ABC为等腰直角三角形 .(2) 由题，可知 AB ( 2， 1)， OC (2,3) ， BC (1,3) ， 则 AB mOC ( 2 2m， 1 3m)又( AB mOC ) BC ，则有 3

41、( 22m)(1 3m) 0，故 m由两点间的距离公式，得 | OC| 13， | OC | 13， | OD | | m| OC | .三上台阶，自主选做志在冲刺名校1向量 a， b， c 在正方形网格中的位置如图所示，若_.c a b( ， R)，则 解析：以向量 a 和 b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系 ( 设每个小正方形边长为 1)，21 / 511 3 12 22 2 13 1 2232 3331 1B ， . 于是 OC2 2word则 A(1 ， 1)， B(6,2) ， C(5 ， 1)，a AO ( 1,1) ， b OB (6,2) ， c BC ( 1， 3)

42、c a b， ( 1， 3) ( 1,1) (6,2) ，即 6 1， 2 3，解得 2， 2， 4.答案： 42. 如图，半径为 1 的扇形 AOB的圆心角为且 COB30 . 若 OC OA OB ，则120，点 C 在 AB上， _.解析：由已知，可得 OAOC，以 O为坐标原点， OC， OA所在直线分别为 x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系， 则有 C(1,0) ， A(0,1) ， B(cos 30，sin 30 ) ，即 3 1 (1,0) ， OA (0,1) ， OB ， ， 由 OC OA OB， 得(1,0)1， ， ， 0， 3.答案： 33. 如图， G是 OAB的重

43、心， P，P， G， Q三点共线(1) 设 PG PQ ，将 OG 用Q分别是边， OP ， (0,1) ，3 12 2 3 ，解得 ，OA， OB上的动点，且OQ 表示；(2) 设 OP x OA， OQ y OB ，证明： x y是定值 解： (1) OG OP PG OP PQ OP ( OQ OP ) (1 ) OP OQ .(2) 证明：一方面，由 (1) ，得 OG (1 ) OP OQ22 / 513 3 22 2 11 11 OA1word(1 ) xOA yOB ；另一方面， G是 OAB的重心， OG OM ( OA OB )1 13 3OB . 而 OA， OB 不共线，

44、1 x3，由，得y .1x 3 3 ，解得y 3 .xy 3( 定值 )第三节平面向量的数量积与平面向量应用1平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为 积( 或内积 ) ，记作 a b . 即 a b |a|b| cos2向量数量积的运算律(1) a b b a .(2)( a) b ( a b) a ( b)(3)( ab) c a c b c .3平面向量数量积的有关结论，把数量 |a|b| cos 叫做 a 和 b 的数量，规定 0 a 0.已知非零向量结论模夹角a( x 1， y 1)， b( x2， y2)几何表示 坐标表示a b| a| a a

45、cos |a|b| a|cos xyx 1x2y 1y2xy xy23 / 51212 2wordab 的充要条件| a b| 与 |a|b| 的关系a b 0| a b| |a|b| y1y2 | x 1x2y 1y2 0| x 1x2xy x y 小题体验 1 (2015 全国卷改编 ) 向量 a (1 ， 1)， b( 1,2) ，则 (2 a b) a_.解析：法一： a(1 ， 1)， b( 1,2) ，a2 2， a b 3，从而 (2ab) a2a2 a b 4 3 1.法二： a (1 ， 1)， b( 1,2) ，2ab (2 ， 2) ( 1,2) (1,0) ，从而 (2

46、ab) a(1,0) (1 ， 1) 1.答案： 12 ( 教材习题改编 ) 已知向量 a， b 满足 | a| | b| 2，且 a b2，则 a 与 b 的夹角为 _解析：因为 cos a， b ，所以 a， b .答案：33 ( 教材习题改编 ) 已知向量 a， b 满足 | a| 1， | b| 2， a 与 b 的夹角为 60，则 | a b| _.解析： | a b| a b 22 2 a b 2a b 1 2 212cos 60 3.答案： 34已知两个单位向量 e1， e2 的夹角为 ，若向量 b1 e1 2e2， b2 3e1 4e2，则 b1 b2_.解析： b1 e12e

47、2， b2 3e14e2，则 b1 b2 ( e1 2e2) (3 e14e2) 3e21 2e1 e2 8e .因为 e1， e2 为单位向量， e1， e2 ，所以 b1 b2 3 2 8 6.答案： 624 / 51293 23 word1 (1)0 与实数 0 的区别： 0a00， a( a) 00， a 000； (2)0 的方向是任意的，并非没有方向， 0 与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系2 a b 0 不能推出 a0 或 b0，因为 a b 0 时，有可能 ab.3在运用向量夹角时，注意其取值 X 围0 ， 4在用 |a| a2求向量的模时，一定要把求出的 小题纠偏

48、 1给出下列说法：a2 再进行开方若 a b0，则 a 和 b 的夹角为锐角，若 a b0，即 184t 0，解得 t .但当 t 8 时，两向量同向，应舍去，故实数 t 的取值9答案： 2，8X 围是 ， 8 (8 ， )(8 ，)3已知向量 a(2cos ， 2sin )，为_解析：以坐标原点 O为起点，可知向量的夹角为 . 2 ， ， b (0 ， 1) ，则 a 与 b 的夹角a和 b 如图所示，易知它们答案：2 考点一 平面向量的数量积的运算 基础送分型考点自主练透 题组练透 1 ( 易错题 ) 设向量 a ( 1,2) ， b ( m,1) ，如果向量 a2b 与 2a b平行，

49、那么 a b_.25 / 5112 33 1 211 532word解析： a2b ( 1 2m,4)， 2a b ( 2 m,3) ，由题意得 3( 12m) 4( 2 m) 0，则 m ，所以 a b 1 2 2.5答案：2设向量 a， b均为单位向量，且 | ab| 1，则 a与 b 的夹角为 _解析： | ab| 1，又 | a| | b| 1， cosa2 2a bb2 1.a， b 2 .又 a， b 0 ， ， a， b答案：3 (2016 某某中学检测 ) 如图，已知_.2 3 .e1， e2 为互相垂直的两个单位向量，则 | ab| 解析：由题设，知b 2e12e2，a e1

50、 e2，所以 a b 2e1 4e2，所以 | a b|2 2 16e1 e2 16e 2e1 4e2 4e1 20 2 5.答案： 2 54 (2015 某某高考 )在等腰梯形 ABCD中， 已知 ABDC，AB2， BC1，32点 E 和 F 分别在线段 BC和 DC上，且 BE BC ，61DF DC ，则 AE_ABC60. AF 的值为解析：取 BA ， BC 为一组基底，2则 AE BE BA BC BA ，26 / 512 .17 2 25 212 18 42918312word5 7AF AB BC CF BA BC 12 BA 12 BA BC ，2 AE AF BC BA7

51、 BA BC | BA | BA BC 3| BC | 27 25 1 212 1821 2 32918 .答案： 谨记通法 向量数量积的 2 种运算方法方法 运用提示 适用题型当已知向量的模和夹角 时， 可利用定 适用于平面图形中的向量数量积的有关定义法坐标法义法求解，即 a b | a| | b|cos 当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a ( x1， y1)， b ( x2， y2) ，则 a bx 1x2y 1y2计算问题适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题考点二 平面向量数量积的性质 常考常新型考点多角探明 命题分析平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题

52、常见的命题角度有：(1) 平面向量的模；(2) 平面向量的夹角；(3) 平面向量的垂直 题点全练角度一：平面向量的模1(2015 某某高考 ) 已知 e1，e2 是平面单位向量，b e2 1，则 | b| _.解析： e1 e2 ，题型多为填空题， 难度适中， 属中档且 e1 e2 若平面向量 b 满足 b e127 / 512 33 3 . 21 3 ，11 2 22 word | e1| e2 |cos e1， e2 2 e1， e2 60.又 b e1 b e2 1 0， b， e1 b， e2 30.由 b e1 1，得 | b| e1|cos 30 答案：32 (2016 某某一中检

53、测 ) 若 a， b，1， | b| 1 2 3c 均为单位向量， 且 a b 0， ( a c) (bc) 0，则| abc| 的最大值为 _解析： 由题意， 知 a2 1，b2 1，c2 1. 由 a b0 及( ac) (bc) 0，知( ab) c1. 因为 | a b c| 2 a2 b2 c2 2a b 2a c 2b c ，所以 | a b c| 2 3 2( a cb c) 1，故 | a bc| max1.答案： 1角度二：平面向量的夹角3 (2015 某某高考改编 ) 已知非零向量 a， b满足 | b| 4| a| ，且 a(2 ab) ，则 a 与 b 的夹角为 _解析

54、： a(2 a b) ， a (2 ab) 0， 2| a| 2a b 0，即 2| a| 2| a| b|cos a， b 0. | b| 4| a| ， 2| a| 24| a| 2cos a， b 0，cos a， b 2， a， b 3 .答案：34 (2016 某某名校联考 ) 在 ABC中， AB ( 2， 3)， AC (1， 2) ，则 ABC的面积为 _解析：由题意得， (| AB | | AC |) 2 (| AB | | AC | cos AB ， AC ) 2(| AB | | AC | sin AB ， AC ) 2，即(| AB | | AC |) 2 ( AB A

55、C ) 2(| AB | | AC | sin AB ， AC ) 2， | AB | | AC | sin AB ， AC 2 3，SABC2| AB | | AC | sin AB ， AC 1 2 .3答案： 128 / 51a b1 712word角度三：平面向量的垂直5 (2014 某某高考改编 ) 已知向量 a( k, 3)， b(1,4) ， c (2,1) ，且 (2 a 3b) c， 则实数 k _.解析：因为 2a3b (2 k 3， 6)， (2 a 3b) c，所以 (2a 3b) c 2(2 k 3) 6 0，解得 k 3.答案： 36 已知向量 AB 与 AC 的夹

56、角为 120， 且| AB | 3， | AC | 2. 若 AP AB AC ，且 AP BC ，则实数 的值为 _解析： BC AC AB ，由于 AP BC ，所以 AP BC 0，即( AB AC ) ( AC AB ) AB 2 AC 2 ( 1) AB AC 9 4( 1) 32 2 0，解得 12 .7答案： 方法归纳 平面向量数量积求解问题的策略(1) 求两向量的夹角： cos | a| | b| ，要注意 0 ， (2) 两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是： ab? a b 0? | a b| | ab|.(3) 求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：a2

57、 a a | a| 2 或 | a| a a.| ab| ab 2 a2 2 a b b2 .若 a(x， y ) ，则 | a| x2y2 .考点三 平面向量与三角函数的综合 重点保分型考点师生共研 典例引领 (2016 苏北四市调研 ) 已知函数 f ( x) a b，其中 a(2cos x， 3sin x, 1)， x R.(1) 求函数 y f ( x) 的单调递减区间；(2) 在 ABC中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， f ( A) 1， a (3， sin B) 与 n(2， sin C) 共线，求边长 b 和 c 的值解： (1) f ( x) a b 2

58、cos x 3sin 2 x 29 / 5122x)， b(cos7，且向量 m66又 k ， k 3 3 . 1.word1 cos 2 x 3sin 2 x 1 2cos 2x ，令 2k2 x 2 k( kZ)，解得 k xk ( kZ)，所以 f ( x) 的单调递减区间为6 3 ( kZ)(2) f ( A) 12cos 2A 1，cos 2A 33 2A 2A ，即 Aa 7，由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccos A( bc) 2 3bc7. 向量 m(3， sin B) 与 n (2， sin C) 共线，所以 2sin B3sin C.由正弦定理得 2b 3c，由，可得

59、 b3， c 2. 由题悟法 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1) 题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2) 给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等 即时应用 已知 a (cos x, 2cos x)， b (2cos x， sin x)， f ( x) a b.(1) 把 f ( x) 图象向右平移 个单位长度得到 g( x) 的图象，求 g( x) 的单调递增区间；(2) 当 a0， a 与 b 共线时，求 f

60、( x) 的值解： (1) f ( x) a b 2cos x 2sin xcos x sin 2 x cos 2 x 1 2sin 2x 2 430 / 51 2 11113261 1 1 3 k，5 7 5 7 word1.g( x) 2sin 2 x 1 2sin 2x 1.由 2k 2 x 2k ， kZ 得， 24 k x 24 k ， k Z，g( x) 的单调递增区间为 24 24 k ， kZ.(2) a0， a 与 b 共线， cos x0， sin xcos x 4cos 2x 0， tan x 4.f ( x) 2 cos 2x 2sin xcos x xs2osx 2