东南大学计算力学习题及答案汇总

1、第三章1如图所示一三角形钢板，两个结点固定，对第三个结点施以单位水平位移，测出所施加的力，从而得出相应的刚度系数。其他点依此类推，这样测得的刚度系数所组成的刚度矩阵，是否与按照常规三角形单元刚度矩阵计算公式所得结果一样？用这样实测所得的刚度矩阵能否进行有限元分析？为什么？解：不一样。单元刚度矩阵中每个元素的物理意义：氏表示单元第j个自由度产生单位位移，其它自由度固定时, 第i个自由度产生的节点力。单元刚度矩阵是在单元处于平衡状态的前提下得出的，单元作为分离体看待，作用在 它上面的外力（单元力）必是平衡力系，然而研究单元平衡时没有引入约束承受平衡力系作用的无约束单元，其变 形是确定，但位移是不能

2、确定的，即单元可发生任意的刚体位移。不能。因为与有限元中单元与单元之间的约束情况不一样，不能进行有限元分析。2以位移为基本未知量的有限元法其解具有下限性质，试证明之。解：系统总位能的离散形式n 1 a T K a a T Pp将求解的方程K a P带入可得1 TTp a K a a p 2在平衡情况下，系统总位能等于负的应变能。在有限元解中,1 T K a -a Ka U2由于假定的近似位移模式一般来说总与精确解有差别的。设近似解为 一p、U、K、 a、 K a p ,真实解为p、u、K、 a、 k a p且根据最小势能原理，得到的系统的总位能总会比真正的总位能要大，故 一口 D则U U p

3、p-T T T Ta K a a K a a P a P则近似解的位移总体上小于精确解的位移 解释如下：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度，在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以结点位移表示的有限自由度，引入了更多的约束和限制，使得单元刚度较实际连续体加强了，连续体的整体刚度随之增加，所以有限元解整体上较真实解偏小。3请分别阐述单元刚度矩阵和整体刚度矩阵中任一元素的物理意义。e解：在单刚 K 中，kj表示单元第j个位移产生一单位位移，其它位移为零时，第i个位移方向上引起的节点力。在整体刚度中，Kj表示第j个自由度产生一单位位移，其它自由度为零时，第i个自由度上引起的节点力。4简述

4、虚功原理，且使用虚功原理导出外荷载与节点荷载的等效关系式。解：虚功原理：变形体中任意满足平衡的力系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功等于零，即体系外力的虚 功与内力的虚功之和等于零。、. eeee设q为外荷载（此处为体力），p为节点荷载，w为单元内位移场，为结点位移场e T ee T e根据虚功原理p w q dVV.e_ee Tee Ttee TTe由于 w N故 wq dVN q dVN q dVVVVe Tee TTeeTe则pNT q dVpNT q dVVV5试述弹性力学中按位移求解与有限单元法中按位移求解之间的异同点。解：弹性力学有限单元法物理模型连续体离散化结构基本方程几何方

5、程物理方程平衡微分方程几何方程物理方程结点平衡方程解法解微分方程解代数方程解答形式用函数表示用数值表示解答精度精确解近似解6如果二节点三角形单兀绕其中某一个节点作小的刚体转动，其转角为，证明单兀内所有的应力均为零。解：在三角形单元中D Bbi 0 bj 0 bm 0yj ym0ym yi0y Yj011B0 q 0 5 0cm0 xj xm0 xm xi0 xi xj2Aj2AjjCibiCjbjCmbmxjxmyjymxmxi ym yxi xj yyj由于三角形单元绕其中某一个节点作小的刚体转动，各节点的位移可表示为：0 Yv v0 x TT则可知节点位移向量0,0, yj, xj, ym

6、, xm00Yi Ym0Ym Yi0Yi Yj00_1_Yi1_故应变B0 xj xm0 xm x0 xi xj02Ajjxj2AxjxmYiYmxmXjYmYi为Xjy Yj0ymxm由于弹性矩阵 D为常量矩阵，应变向量为零向量，故为零向量，即单元内所有的应力为零。7二维单元在x,y坐标内平面平移到不同位置，单元刚度矩阵相同吗？在平面内旋转时又怎样？试证明之。解：二维单元在 x,y坐标内平面移到不同位置时，刚度矩阵相同。在平面内旋转时，刚度矩阵也相同。刚度矩阵krsBr T D Bs hA 曰34(12)brbsCrCsbrCsCrbsbrcsCrCsbrbs单元平移或旋转时，b,C不变，故

7、单元刚度矩阵不变。8判断有限元网格离散合理性a）对图1（a）所示的有限元网格，评论网格的优劣性，指出模型中的错误，并加以改正。b）评论图1（b）的网格划分合理吗？为什么？请加以改正。（口）(b)图1解：（a）网格划分不合理。1 ）无过渡单元2 ）无边界条件3）夹角区应力集中，应适当加密风格4）对称结构网格应对称划分（b）不合理。1）左部网格应适当加密2）由于三角形单元会造成局部精度不够，过渡区可采用其它单元划分3）右部单元的长宽比较大，就进行适当调整。9如图2所示，平面三角形构件以 x-y坐标系表示的刚度矩阵方程如下102.51.832.5ux1Px14 1.832.55.02.5vy1Py1

8、1042.54.52.52.5Ux2Px22.52.52.52.5Vy2Py2试建立以u , 1Uy1 , ux2：（与图中px2同向的位移）及叱来表示的刚度矩阵方程。Ux1Ux1解：用坐标变换Tvy1则Vy1Ux2ux2 cosvy2.ux2 sin TOC o 1-5 h z 10000 1000 0 cos00 0 sin 0由K PKTP102.51.832.51.832.55.02.5KT2.54.52.52.52.52.52.52.5102.52.964Ux1Px11041.832.52.5Vy1Py1020Ux2Px210000100102.5 2.964 041.832.52.

9、50000-502.5 4.50.503c2.52.50.5000053所示。试求结点2的等效荷载列阵R2O荷载作用于解：单元,N21 2边上，故等效节点力只与 1、2号节点有关形函数N1(11边上，机1其1N1N202l,ld10某平面结构采用四节点矩形单元和三节点三角形单元建立有限元计算模型，其如图线性分布面力则RyMqydsl1ql2d0ql 3单元,形函数N1rN在1-2边上,TN0qs dss dsq7qi2故节点2的等效荷载列阵0R2ql 2311试求如图4所示的有限元网格的整体刚度矩阵，假设每个节点的自由度数为1 ,且设K e表木第e个单元的单元刚度矩阵（注意：结果应该用kj表示

10、）。解：单元刚度矩阵整体刚度矩阵：Kk2)kf?k(5)卜.2)卜 女(2)22232625町k22)k24)k25)/ 卜卜 卜 卜32333635KK K Kk42)k44)k4?kkkk(2)k52k63k66k65k51)k52)k54)k55)(AJ2)/)/)22)k62k53k56k55(A(A(3)k55(3)k57)(3)k58),(3)k55.(4), (4)(4) (4)k56k58,(4), (4)Kk媛k?k!3)k7； 燎，Kk65Y)k66k68kkrRRrRRkS0k*媲)000蜴k22)k22)蝎蜴k2?蜷蜷000舄2)k33)0k32k36)00k41)k4

11、1)0k44)k42000k51)k52)M）k53)k(1) k(1)女 545555* k(4) i k(4)*X3)女555556565758580履2)噌0k65)kk k0k656666680000k7(30k77)k78)0000戚）k(4)k(4)*小3).(4)858687888812图5中两个三角形单元组成平行四边形，已知单元按局部编码i,j,m的单元刚度矩阵K和应力矩阵S是K（1）1661213.59对13.500-3030040-30-1201.5-1.5-0.51.5解：由图可知mi，i(2) mKHKijKimKjjKjmKij则由KjjKjmKmmKmi得至1J K

12、KmmKii9.53267.535.56431.58066对1661213.59称13.5-3-1-313如图-0.51.5-1.5-1.56所示8结点矩形单元（每边中点为结点）,3点为坐标原点,a=b=2,元厚为t。求该单元的位移函数和形函数和并检验其是否满足收敛性条件。求在2-6-3边作用均布水平荷载解：（1）位移函数：q时的等效结点荷载。u 12X 3yv 910X 11y24X2 12X5xy13xy26y2 14y27X y215X y28xy216xyy单 TOC o 1-5 h z 806626647.5331.59.535.5按图5示单元的局部编码写出K?, S。 TOC o

13、1-5 h z 引入无量纲的局部坐标x,yabx1 x3y1y3则 n3,x2-一3,y2- HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 22w _1-1故10,22, 3 1, 10,22, 3 114 (1),P3 2 (-)1111i 2(12)(1),l24 (1),l3 2 (3), p12(万)(1)巾2则 n 2时，1 0, 2 1, 1 0, 2 1l1 1 ,l2, P11, P2则角节点的形函数为1111Ni 4 (12)(0N2 4 (-)(-)(1)1111N3 4()(1)(/1),N4 4 (-)(-)(1)边中节点的形函数为N

14、s 4(1),N64 (证明收敛性：位移函数中2U 12X 3y4X2v 910X11 y12X1)(1),N74 ( HYPERLINK l bookmark189 o Current Document 22sxy 6 y7X y2213Xy14y15X y1)(1), N84 (1)28Xy216Xy2, 3和9, 10表示常应变，故位移函数具有完备性设相邻单元公共边界上的直线方程是y b (或 xa）,代入位移函数中3b 6b2 (11b (105b13b)8b2)X ( 416b X ( 127b)x2 1sb)X2为X （或y）的2次函数，而边界上三点确定的位移函数为也为二次曲线，故

15、单元在公共边界连续,故位移函数收敛 （2）荷载作用在2，1、N23边上,2乂故等效节点力只与2,6,3号节点有关1)(1 ), M 4(1万)(1)(；）（1)0边上计算NiN2N61,6 4(1N32 ),3 40,N6b-Nds J(一)2 ()2d2dP3x1t Mqxds 2qt N3d3 P6X1N6q*ds 2qt N6ds04qtFLt3N2q*ds12qt N2d0qt3第四章1经典梁理论和Timoshenko梁理论有哪些相同点和哪些不同点？基于以上两种理论的梁单元各有何特性?解：经典梁理论Timoshenko 梁理论相同点Kirchhoff 假设不同点G型单元甯曲梁单兀截面转

16、动是挠度w的一阶导数，只有挠度w是独立的采用Hermite插值C。型单元考虑男切变形影响挠度w和截面转动各自独立插值采用拉格朗日插值特性梁的高度远小于跨度梁很薄时，会造成剪切锁死现象2写出杆件的应变能计算公式，并给出推导过程。优点缺点凝聚自由度法3在杆系系统中，除了采用凝聚自由度的方法实现较接端条件, 法的优缺点。解：解：将只考虑轴向变形的杆件划分成n个单元，节点坐标为x0,x1,L,xi,x 1,L , xn单元的位移函数u(x)12x ( xi 1用形函数近似位移函数得u(x)eNi i(x)ueNiUi ,其中ANi i(x)x xie-,Ni(x)xixi 1单元的应变dudx-xi

17、xi 11eUi! r r eB Ui单元的应力EB ue单元应变能其中Kiexi 1AdxeUi(BT EABdx)xieUie TUiKieeUi不1BT EABdxxiEA还有什么方法可以实现以上条件，并比较这几种方4利用最小势能原理，推导图1所示弹性基础上梁单元方程，其中该梁的势能为: TOC o 1-5 h z ,2 HYPERLINK l bookmark55 o Current Document L12 L kfvLEI (v) dxdx wvdx HYPERLINK l bookmark57 o Current Document 0 2020图1解：根据最小势能原理可知p 0p

18、lll故有(EIv) vdxkfv vdx w vdx 0lll对第一项分部积分(EIv)vdx (EIv) v；(EIv) v (EIv) v|； (EIv)山 (EIv) v000l则(EIv) kfv w vdx (EIv) v 0l _0 (EIv) v引入强制边界条件和臼然边界条件使（EIv）vl _l0 (EIv) v由于 v的任意性故控制微分方程为（EIv） kfv w 0此梁的位移函数vh(x) N：(x)Vi N；(x) 1 N；(x)V3 N：(x) 4 N由于物理关系可知v(x)B d 贝U vB dl由(EIv)vdx0lkfv0vdxvdx 0 得T xi 1e_ T

19、 _d ( BTEIBdx) dx1(BTEIBdxx1NTkfNdx)不T xi 1Te(NTkfNdx) dxix 1N T wdxT xi 1etd ( NT wdx)xixi则梁单元刚度方程为EI BTBdxxix 1kf NTNdx为x 1N T wdxxi5 图2所示刚架1)2)如何进行节点编号使整体刚度矩阵K的带宽最小？刚架的整体刚度矩阵中a节点的总刚度矩阵 Kaa和的总刚度矩阵 小各由哪些单元的哪些分块矩阵叠加组成3)（自行确定单元局部坐标方向）试按照二维等带宽存储和一维变带宽存储方式确定Kaa中对角元素的在相应存储数组中的位置。图2有钱点的刚架解：1）考虑每个节点有两个自由度

20、由于半带宽d=（相邻结点码的最大差值+1)故节点编号如图所示可使单元内节点编码相差*23,使得带宽d=8aKK K K K(5)KK(6)2KaaK22K22K11K11KbcK123)考虑单元节点1自由度的凝聚可知Kaa中对角线元素在原整体刚度矩阵中第6行第7列和第7行第8列则用二维等带宽存储后在矩阵中的第6行第2列和第7行第2列用一维变带宽存储后在K aa中对角线兀素在数组中的位置为9和10K(1)K01112(1)(1)KKK0212211(3)00K110k(2)k 21210000000000000000000000K00012K00012K K(3)2222k(4)0k(5)(5)

21、1212KK1111(4)(6)KKK0021221100KK(7)1112KK(5)(7)2222K0K2121*KK11110k(6)0k(8)21210000(9)000K ()000000000000K(6)0012000(8)K0012(6)(8)(10)KKK00222211(11)(11)0KK1112(11)(9)(11)(12)0KKKK0001根据以下形函数表达式210000第五章21222211(10)(12)K0K21210000000K(10)120k(12)12(10)(12)K K22221_3_2313_223N/ L 1 -3(2x 3x L L ) N2 -

22、3(x L 2x L xL )N3 ( 2x3 3x2L)N4 (x3L x2L2)画出形函数 N和N以及导数(dN2/dx)和(dNJdx),它们代表梁单元整个长度上形状变化2、对于图1中给出的四节点二次应变一维等参单元，试确定：a)形函数 N, N2,Ns, N;b)单元刚度矩阵k。 TOC o 1-5 h z .11-I1T117-1图1解：(a)由拉格朗日插值函数可知11(5) (2)(1)N311洌 1 2)( 111)(2)(1)1)N2(b)一维问题中，单元刚度矩阵N16(812k4E1N26(86(8kF* 3(3N3N4121)12X2X3X41)1)1)11)(万)，N41

23、(1)(万)(1)T1 _111)()( HYPERLINK l bookmark263 o Current Document 22 22 HYPERLINK l bookmark145 o Current Document 111)(?(2)1r(11)(1=)(11) HYPERLINK l bookmark149 o Current Document 221)1(BTDB Jd11E BTB Jd11)，N31)，N44)(1)i(8122 1)6(8121)31)3(3211)胪122 1) d3试利用变节点数法构造插值函数的，构造出图2所示的三次三角形单元的形函数及相应的位移函数。3

24、22解：位移函数:u 12Xv 1112X23y 4X213y 14Xsxy15xy6y2 16y7X317X28X y218X y9Xy19Xy310y320 y(1)构造不考虑边节点和内部节点的角节点的插值函数:N?1L1N2L2NL3构造不考虑内部节点的边节点的插值函数:N?427N?7272O 272-7L1L2(- L2)，N?5 L1L2(-232327272万 L2L3(3? 272L2), N8T L1L3 (23L1), N?9L2 L3(232727LiL3(3L3)L3)(3)内部节点插值函数：N1Li L2 L3111(0)( 0)(33327L1L2L3(4)修正边中

25、点的插值函数:0)N4N?42n1027227万乩(3 L2)万 LJ2L3|4231 1)19同理得N5N?5-N10-L1L2 (3L21),N619N7N?7”10L2L3(3L31),N819N9N?9/10产311)(4)修正角节点的插值函数：19N?6 2 N102 L2L3(3L2 1)19N?8 -N10 -L1L3(3L3 1)N1N?13(N4L1293 /LmL11)193 ”2(丸213 27L1L2L3N2N?2Ns11N6)3(N4 N7)3N10299L2 3 产(丸2“尸回2191)3 产(九113 27L1L2L312(3L2 1)(3L22)L2c 21N3

26、 N?3 -(N7 5)(N633N9)1029L3 - L2L3(3L33291) -L1L3(3L3 1)21991-L2L3(3L2 1) -L1L3(3L1 1) - 27L1L2L3322311(3L31)(3L32)L34试构造如图3所示的15结点三棱柱体单元的插值函数，并判断其构造的位移函数是否收敛。解：（1）不考虑边中点构造三角形角节点的插值函数:1 11 1N?1L1 - L1(1), N2L2 2(1)1121121111N?3L3 7T-L3(1), N?4L1-“(1)1 121 1 2?11?11N5 L2L2(1), N16L3L3(1)112112(2)构造三角形

27、边中点的插值函数：N10N11L1L2_1(10)(J0)11L2L311111(；。)(；o)112LL2(2L2L3(1)1)135N12N14L1L31(I 0)(1 0)1 1L2L311r7(2 0)(2 0)12乩(2L2L3。1)，N13)，N15L1L21C 0)(2 0) 1 12口(12L1L3(1(3)构造四边形边中点的插值函数:N7(1)(1)(0 1)(0 1)L2)，N8L21)(1)(0 1)(0 1)2L2(1)，N9L3(01)(1)1)(0 1)L3(12)(4)修正角节点的插值函数:N1N?111”0 N12)-N712L1(1)1产 1L2(1)2L1L

28、3(1)12L1(12)2L1(1)( 2L2 2L3)N2N211”0N11)2N81I1)1)2L2L3(1)I(12)12L2(1)(2L1 2L3)N3N?31/111N12)”912L3(1)1产2L3(1)2LL(1)12L3(12)2L3(1)(2L1 2L2)N4N?41 (N1321N15) -N721 -L1(1 21-2 L1L2。22L1L3。)1 -L1(1 22)12L1(1)(2L2 2L3)N5&1一(N2113N14)- N 8212l2(11产1L2(12L2L30)12L2(12)12L2(1)(2L1 2L3)1 (N2114N15) N 921 L3(

29、121 -2L2L3(12L1L3(1)1 L3(122)12L3(1)(2L1 2L2)第六章1等参元的收敛性证明。证明:(1)协调性：考察单元之间的公共边，为了保证协调性，相邻单元在这些公共边(或面)上应有完全相同的结点,同时每一单元沿这些边的坐标和未知函数应采用相同的插值函数加以确定。(2)完备性: TOC o 1-5 h z nnn三维等参元中x Mx , y Ny, z NiZ i 1i 1i 1n有限元中，将场函数离散为各个单元局部场函数的集合体Nii 1单元内场函数为 i a bxi cyi dziNi i i 1nnNi (a bxi cyi dzi) a Nii 1i 1nb

30、Nixii 1nc Niyii 1nd Nzi 1na N i bx cy dz i 1n当Ni 1时，表明单元能够表示线性变化的场函数，满足了完备性的要求。i 12等参元的优点是什么？解：1)等参单元为协调元，满足有限元解收敛的充要条件2)将不规则单元转换为规则母单元后，容易构造位移函数和形函数3)当单元边界呈二次以上的曲线时，容易用很少的单元去逼近曲线边界3什么是位移的零能模式，在什么条件下会发生？如何检验它是否存在和如何防止它的出现。解：(1)由于采用减缩积分方案导致其应变能为零，而自身有别于刚体运动的位移模式称为位移的零能模式。(2)通过检查K的非奇异性条件是否得到满足来验证是否存在零

31、能模式。(3)高斯积分点提供应变分量的数目M ng d大于系统独立自由度数目 N ,是保证系统刚度矩阵 K非奇异性的必要条件。系统不出现对应于除刚体运动以外位移模式的零特征值，是保证系统刚度矩阵 K非奇异性的充分条件。4请阐说减缩积分概念，并分析其优缺点.解：在数值积分中，能够保证不降低收敛速度的条件下求解各种条件有限元问题的最小阶次，比精确积分低阶的积分可称为减缩积分。一维问题刚度矩阵的积分中，如果插值函数N中的多项式阶数为 P,微分算子L中的导数的阶次是 m ,则有限元得到的被积函数是 2( p m)次多项式。为了保证原积分的精度，选择高斯积分的阶次n p m 1 ,可精确积分n p m

32、1来确定积至2(p m) 1次多项式，可达到精确积分刚度矩阵的要求。在二维单元和三维单元中仍按分阶次，即高斯积分阶数低于被积函数所有项次精确积分所需要阶数的积分方案，称为减缩积分。优缺点：(1)精确积分是由插值函数中非完全项的最高方次所要求，而决定有限元精度的通常是完全多项式的方次。这些 非完全的最高方次项往往不能提高精度，反而带来不好影响。取较低阶的高斯积分，使积分精度正好保证完全多项 式方次的要求，而不包括更高次的非完全多项式的要求，在一定情况下改善了单元的精度。(2)在最小位能原理基础上建立的位移有限元，位移解具有下限性质。有限元的计算模型具有较实际结构偏大的 整体刚度。选取减缩积分方案

33、使有限元计算模型的刚度有所降低，有助于提高计算精度。(3)采用减缩积分可能使系统刚度矩阵K奇异，出现有别于刚体运动的位移零能模式。5如需要对二维三次 Serendipity单元进行精确积分，试讨论所需的Gauss积分的阶次(假定 J为常数)。解：插值函数 N中的多项式阶数为 4,微分算子L中的导数的阶次是被积函数是非完全次项的最高次为6次多项式，完全项的最高次为14次多项式若为精确积分，需要若为减缩积分，需要6 1局斯积分点n3.5故积分点数目为2高斯积分点n4 11 3故积分点数目为6求图1所示单元的节点等效荷载;解:Ni (1)(1),M(11也Ni500(15dqxdsqyPyNqyds

34、s12500 (10)2d25003P4yMqydss12500 (10)d250067如图2所示12节点正方形单元，求其Jacobi行列式J ;解：求形函数:(1)(2)构造角节点形函数：ii7(2)(2),N?2- (244构造边节点的形函数：N5(b)(2)(2)2a(a b)(a 2),N6(a)(2)(2)2b(b a)(b 2)，N9(b)(2)2a(a b)(a 2)(a)(2)2b(b a)(b 2)N7(A12),N82a(a b)(a 2)a)(2)2b(b a)(b 2)(b)(2)(22a(a b)(a,N122)a)(2)(2)2b(b a)(b 2)(3)修正角节点

35、形函数:NiNi 4(2 a)2(N51Nio) b)2(N6Nii)(1i2)(i)4(2 a)(b)(2)(2(a)(2)8试构造如图解:NiN42a(a b)(a 2)2b(b a)(b 2)3所示的6结点斜三棱柱体等参单元的插值函数,并证明其合理性。对图中6结点斜三棱柱体进行等参变换Liii iii ii2Li(i),N2i”1),N2L2彳L2J111 112L2(i),N3),N3L3i i彳*9i -L3(1i i 29空间八结点等参数单元各边与坐标轴e 111 TRN p J d d di i ix,y,z的精确值,平行，在y方向作用有线性变化体力，若用高斯积分法分析结点荷载试

36、求所需要的最少积分点数。解：空间八结点等参单元中形函数的阶次为 1,且y方向作用有阶次为1的线性变化体力，由于单元各边与坐标轴x,y,z平行，故J为常数，故被积函数的阶次为一人一 ，一 P 1精确积分所需要高斯积分点n匚一121- 1.5,积分点数为2 2 2第七章1采用矩形薄板单元计算薄壳问题时，其单刚方程有何特点？解：采用矩形薄板单元计算薄壳时，为了简单计算，平板的面内变形与弯曲变形可认为是互不影响的，即板内变形和受力可看成是平面应力和平板弯曲两状态的迭加，结点未知数为u,v,w, x, y, z单刚方程 FFpFb其中特点:(2)（克希霍夫假设）Fp,Fb中面无伸缩假设，可知由于平行于中

37、面的各层相互不挤压，不拉伸，沿u,v 与 w,x , y , z无关。z方向不会引起翘曲，故 U ,V与W,M x,M y,M z无关(3)(4)z和M z对应的刚度系数设定为零。2设薄板矩形单元，节点的位移未知数为:xiyixyiz对结点力不起作用，但为了计算不共面的相邻单元的弯扭应力，必须考虑。若位移模式取w(x, y) 12 3。y2乂3 21sx y3y3 16x24乂3ysxy26y37乂28xy29x y10y311x y312xy试判断该位移模式是否收敛?解：位移函数:w(x,y)2 3。y2乂3 2。y3y3。y24x326y37x28xy29x y3 10y3nx y312xy13xxysx8xy9x210 y3 11x212 xy2 13x214xy2231sx y3 216x