分数阶微积分

1、分数阶微积分:描述记忆特性与中间过程的数学工王在华（中国人民解放军理工大学理学院，211101南京）在我们熟悉的经典微积分里，导数都是整数阶的，我们在经典微积分里，我们可以定义求导运算和求积运算 ，如下说函数的一阶导数、二阶导数、十阶导数，而不会说函数的1/2阶导数或者、三阶导数；同样，对于积分，我们有一重积 分、二重积分、或者五重积分等，但没有2/3重积分或者一重 积分等概念。其实，早在1695年9月30日，法国数学家LHospital在给德国数学家Leibniz的信件中就提出这样一个问 题：如果采用通常使用的导数记号一， IilTn 那么当.-时，这个表达式的结果是什么？ Leibniz的

2、回复是“an apparent paradox from which，one day，useful consequences will be drawn。这大概就是分数阶导数概念最 早的源头。经过数学家与其它领域的专家300多年不懈的努 力，分数阶微积分终于受到科技工作者越来越多的注意，并 逐渐认识到，分数阶微积分可能是描述一些复杂运动、不规 则现象、记忆特征、中间过程等方面恰当的数学工具1-5。 本文将对分数阶微积分作一简要介绍，主要回答什么是分数 阶导数？为什么要引入分数阶导数与分数阶积分？它们有什 么特点和应用？-分数阶导数的定义与计算分数阶导数是一个泛称，表示阶数取非整数（不仅仅为分

3、数）的导数，它既表示阶数大于零时对应的分数阶导数,在不需 要强调积分特有性质时也可表示阶数小于零时对应的分数阶 积分。分数阶导数的定义有多种最常用有Riemann-Liouville 导数和Caputo导数。Mf）=八飙它们满足如下关系式这表明，求导运算,是求积运算的左逆运算，且这两种运算一般说来不具有交换性。进一步，对任何自然数，.有 即求导运算*是求积运算.7的左逆运算。现在，对连续函 数 ，反复应用分部积分法可得因此，对非正整数，我们可以定义分数阶积分= -1- L U* f J ii进一步，对实数八 ，记为不超过的最大整数， 取一 - - 1，利用导数与积分的运算公式 ，非整数，阶的

4、Riemann-Liouville 导数定义为如果利用-,则得到非整数，阶导数的 Caputo 定义：由定义可知，分数阶导数值与起始点，的取值有关。另 外，两种导数在数值上可能有差异，因为一般地有 n-lm-n） pm 士 口一一E。下面我们给出几个最简单的常用函数的Riemann-Liouville 分数阶导数1= AtteAt, (A 0：TTIk D；1 $i)iXi = X sin(Af + a 或(A 0. .：eg)； X = A* cos(Af + ：)， (A 0. tv 1 ；hl。仔 (十十L)广f fo. ()if| F j“ + / 2 4Caputo导数成立类似的导数

5、公式1,2。上述公式是整 数阶导数公式的直接推广，但在一般情况下，分数阶导数公 式都很复杂，对乘积、商与复合运算没有简单的求导公式， 计算复杂性大大增加。对周期函数，可先按Fourier级数展开， 然后利用上述公式对级数逐项求导即可。同样，如果函数能 够展开为幂级数，则也可以通过逐项求导得到函数的分数阶 导数。需要注意的是：在经典微积分里，常数的导数等于零， 但在上面最后一个公式中如果取-：，那么常数1的Riemann-Liouville分数阶导数不为零。另外，由定义知，常 数的Caputo分数阶导数(不是分数阶积分)等于零。二分数阶导数与分数阶积分的由来从纯数学的角度讲，引入分数阶导数与分数

6、阶积分是非 常自然的事情，就像是由整数到分数、由分数到实数等由简 单到复杂的必然结果。从力学与控制理论的发展需要看，也 有必要引入分数阶导数与积分。力学中，理想弹性材料的弹性力与弹性变形服从Hook 定律，即而理想Newton流体的应力与应变则满足如下本构方程.dsH)叩)=f真实的材料既不是理想固体，也不是理想流体，而是介于理 想固体与理想流体之间。，可看作是自身对，的0阶导数， 因此，将非理想材料的线性本构关系可表示为打一叶日？川：，.(0 a i是很自然的，这里用到了分数阶导数。粘弹性材料具有记忆特性。大量实验表明，用积分方程 比微分方程表示其本构关系更准确，而分数阶导数定义是一 种定积

7、分，所以分数阶微积分特别适合发展粘弹性理论。考 察如下形式积分I W 表示的记忆效应，其中，:.一 “:称为记忆核函数。如果该过 程不具有记忆效应，核函数为Dirac函数，即则积累效应函数变为f。如果该过程具有理想(全)记忆，核 函数为Heaviside函数，即瑚)=顷)=* l邳则积累效应函数变为；山。直接计算无记忆和理想记 忆情形对应核函数的Laplace变换分别为(如=1 (=4). (H(*)(#) = 1(=牛)将其一般化。对介于无记忆和理想记忆之间的情形，假设其 核函数满足四)=二 (- 0；满足II .: T .。此时，积累效应函数为盅伯2侦用按分数阶导数的定义，积累效应函数可表

8、示为分数阶积分罗了=布 / (t-(o a 0；其中的位移、速度、加速度可分别视为位移的0阶导数、ih=一龙一(SU阶导数和2阶导数，因而在一般情况下，状态反馈控制可取 为分数阶状态反馈u =杖片血k 0, 0 ft 2)上述三个例子可以看作是整数阶导数与整数阶积分的 纯形式推广。实际上，的确有一些真实的运动需要用分数阶 导数来描述。例如，为描述与无质量的弹簧相连接的刚性薄 板竖直浸入到理想流体时的径向振动，Bagley和Torvik提出 了如下著名的分数阶微分方程1,4+ Cy(t = /(C)其中，,分数阶导数项表示阻尼。从能量耗散的角 度看，对任何,方程出+ B边为+。施)=阳) 中的分

9、数阶导数项都可以看作是阻尼6。三分数阶微积分的特点与应用几何上，曲线的光滑程度可以用导数来刻画。可求导数 的阶数越高，曲线越光滑。宏观上光滑的曲线，在微观上可能 不光滑。描述不光滑曲线的光滑程度就可以采用分数阶导数。 对满足-, 以及，-的实数，和奇数， 著名的Weiestrass函数X-师)二 00S(&*TTt)lr=n是处处连续且处处不可导的但它具有分数阶导数。一般说来 具有分形几何特征的函数存在分数阶导敝。大气湍流速度场 是不可微的，风的不规则运动不能用Navier-Stokes方程组来 刻画，此时，分数阶微积分可以发挥作用5。非线性动力学、混 沌理论以及分形理论的发展大大推动了分数阶

10、微积分的研究, 今后仍然是分数阶微积分的重要发展方向之一。粘弹性理论是分数阶微积分目前应用最广泛的方向之 -1,取得了大量的研究成果，各类粘弹性阻尼振动问题以 及非稳态波问题方面的应用可参考长篇综述论文8。用分数 阶导数描述的阻尼不仅改变系统的稳定性，也改变系统的振 动频率6。另外，基于经典微积分描述的力学“变分原理”不 能直接应用于具有摩擦或其它耗散过程的非保守系统，但如 果将分数阶导数引入到Lagrange函数，则可对非保守系统 直接建立变分原理9。分数阶微积分使得Lagrange力学、 Hamilton力学、Hamilton-Jacobi理论、量子波理论等在同一 框架下完整地得到描述9。

11、分数阶微积分在非Newton流体 力学、量子力学、生物力学、反常扩散与随机游走等理论中 有许多重要应用510。分数阶微积分的另一个重要应用方向是控制理论1-4. 人们将经典的PID控制推广为分数阶控制34,大 大扩充了控制器的设计范围，并且发现，分数阶状态反馈控 制比经典状态反馈控制更精确，而且具有诸多良好的控制性 能，如对增益变化有很好的鲁棒性、能抗高频噪声、易于消 去静态误差等等4。分数阶控制的应用包括：车辆主动悬架、 液压作动器、柔性机械臂、机器人等诸多运动控制问题411. 另外，分数阶Fourier变换是一种统一的时频变换，在信号分 析与处理中具有独特性与优越性，在信号检测与重构、滤波

12、、 图像处理等方面具有较广泛的应用12。相对于经典微积分，分数阶微积分更加复杂，一是分数 阶导数的数学运算复杂，二是含分数阶导数的系统具有复杂 的动力学。这种复杂性一方面限制了分数阶微积分的广泛应 用，另一方面又为复杂系统与结构的研究带来了新的机遇。 随着理论与应用研究的进一步深化，分数阶微积分必将在具 有记忆特征或中间过程等问题的研究中发挥更大的作用.也 许，分数阶微积分是二十一世纪的微积分2。致谢：本文得到国家杰出青年科学基金项目10825207的资 助。参考文献Podlubny I. Fractional Differential Equations, San Diego: Academ

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