江苏省南京市、盐城市2016届高三上学期第一次模拟考试数学试题

1、江苏省南京市、盐城市 2016 届高三上学期第一次模拟考试数学试题W南京市、盐城市 20XX 年届高三年级第一次模拟考试数学试题（总分160 分，考试时间 120 分钟 ）参考公式锥体的体积公式： V1Sh,其中S为底面积，h为高.3一、填空题（本大题共14 小题，每小题5 分，计 70 分 . 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）已知集合A xx 1 0 ， B 1,2,5 ，则 A B.已知复数zi（ i 是虚数单位） ，则 |z| . 1 i书架上有3 本数学书， 2 本物理书，从中任意取出 2 本， 则取出的两本书都是数学书的概率为 . 4 运行如图所示的伪代码，其结果为

2、 . 5 某校高一年级有学生 400 人，高二年级有学生360 人， 现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出 55 人，其中 从高一年级学生中抽出 20人，则从高三年级学生中抽 取的人数为 .S1For I From 1 To 7 step 2 S-S + I End For Print S第 4 题图在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦 TOC o 1-5 h z 点在 x 轴上，若曲线C 经过点P(1,3),则其焦点到准线的距离为.x y 5 0,.已知实数x,y满足2x y 2 0,则目标函数z x y的最小值为 .y 0,设一个正方体与底面边长为长为 .在 A

3、BC中，设a,b,c分别为角A,B,C的对边，若a 5,则该正方体的棱设 Sn 是等比数列 an 的前 n 项和，an 0 ，若S6 2S3 5，则S9 S6 的最小值为 .1.如图，在 ABC 中，AB AC 3, cos BAC , DC 2BD,则 AD BC 的值为3 .过点P( 4,0)的直线l与圆C:(x 1)2 y2 5相交于A,B两点，若点A恰好是线段PB的中点，则直线l 的方程为 .x13.设f(x)是定义在 R上的奇函数，且f(x) 2f(x),x 1,m，设 g(x) 若函 2xf( x),x 1,数 y g(x) t 有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是 .x3 x

4、2,x e,14.设函数y的图象上存在两点 P,Q,使得POQ是以。为直角顶点x e alnx,的直角三角形(其中 O 为坐标原点) ，且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数 a 的取值范围是 .二、解答题(本大题共6 小题，计 90 分 .解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内) 15 (本小题满分14 分)设函数f(x) Asin( x )(A 0, 0, (1)求函数y f(x)的解析式；(2)当x 22,x R)的部分图象如图所示.,时，求f(x)的取值范围22第 15 题图如图，已知直三棱柱ABC A1B1C1 的侧面 ACC1A1 是正方形，点 O

5、是侧面 ACC1A1 的中心， ACB2， M 是棱 BC 的中点 .A11C1（ 1）求证：OM/ 平面 ABB1A1；（2）求证：平面ABC1 平面A1BC.17 （本小题满分14 分）如图所示，A,B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB 的南面为居民生活区 . 为了妥善处理生活垃圾，政府决定在 AB 的北面建一个垃圾发电厂 P.垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求（A,B,P可看成三个点） ： 垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同； 垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点 P 到直线 AB 的距离要尽可能大） . 现估测得

6、A,B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为 30 吨和 50 吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？北AB第 16 题图CA 居民生活区第 17 题图B18 (本小题满分16 分)x2y2 1 上一点，从原点如图，在平面直角坐标系 xOy 中，设点 M(x0,y0)是椭圆 C:4O 向圆 M:(x x0)2 (y y0)2 r2 作两条切线分别与椭圆 C 交于点P,Q,直线OP,OQ 的斜率分别记为 k1,k2.( 1)若圆 M 与 x 轴相切于椭圆 C 的右焦点，求圆 M 的方程； ( 2)若 r. 1； 4求证： k1k2求 OP OQ 的最大值 . (本小题满分16 分)已

7、知函数 f(x)第 18 题图ax在 x 0 处的切线方程为 y x. ex1成立，求 k 的取值范围；2k 2x x（ 1）求 a 的值； TOC o 1-5 h z （ 2）若对任意的x （0,2），都有f（x）（3）若函数g（x） lnf（x） b的两个零点为x1,x2,试判断g （理由 . （本小题满分16 分）x1 x2）的正负，并说明2设数列 an 共有 m（m 3）项，记该数列前i 项 a1,a2, ,ai 中的最大项为Ai ，该数列后m i 项 ai 1,ai 2, ,am 中的最小项为 Bi， ri Ai Bi（i 1,2,3, ,m 1）.1）若数列 an 的通项公式为 a

8、n 2n ，求数列 ri 的通项公式；（2）若数列 an 满足 a1 1 ， ri 2 ，求数列 an 的通项公式；3）试构造一个数列an ，满足 an bn cn ，其中 bn 是公差不为零的等差数列， cn 是等比数列，使得对于任意给定的正整数m ，数列 ri都是单调递增的，并说明理由 .南京市、盐城市 20XX 年届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40 分，考试时间 30 分钟）21 （在 A、 B、 C、 D 四小题中只能选做2 题 ,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内）A.（选修4-1 :几何证明选讲）如图，AB为00的直径，直线 CD与0

9、0相切于点D, AC CD, DEAB， C、B.（选修4-2 :矩阵与变换）设矩阵 Ma 0的一个特征值为2，若曲线C 在矩阵 M 变换下的方程为 2 1x2 y2 1 ，求曲线 C 的方程 .C.（选修44 :坐标系与参数方程）在极坐标系中，已知点 A 的极坐标为4），圆E 的极坐标方程为4cos 4sin ，试判断点 A 和圆 E 的位置关系 .D.（选彳4-5 :不等式选讲）已知正实数a,b,c,d 满足 a b c d 1.（第 22、 23 题 ,每小题10 分,计 20 分 .请把答案写在答题纸的指定区域内）（本小题满分10 分）AB 2 直三棱柱 ABC A1B1C1 中， A

10、B AC， ， AC 4， AA1 2， BD DC.（ 1）若 1，求直线 DB1 与平面 AC11D 所成角的正弦值；（ 2 ）若二面角 B1 AC11 D 的大小为 60 ，求实数 的值 .（本小题满分10 分）设集合M 1,2,3, ,n （n 3）,记M的含有三个元素的子集个数为Sn,同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中Tn. （ 1 ）求B第 22 题图A1B1DC1CT3TTT， 4， 5， 6 的值； S3S4S5S6Tn的表达式，并证明之. Sn（ 2）猜想南京市、盐城市 20XX 年届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14

11、小题，每小题5 分，计 70 分 .2. 8. 239 3. 4. 17 5. 17 6. 7. 39. 7 10. 20 11. 2 12. x 3y 4 0 13. 33, 14. 22（0,1 e 1二、解答题：本大题共6 小题，计 90 分 .解答应写出必要的文字说. 15解：（）由图象知，A 2 ,分又T5 46320，所以T 2，得1.分i所以 f(x) 2sin(x )，将点( 即3,2)代入，得，又322k (k Z) ，62k (k Z)22，所以6所f（8分（6x）.2）当x 22,时x62,分033以所sx2n，(即)f(x . )3分,24M是BC的中点，16.证明：(

12、1)在 A1BC中，因为。是AC1的中点 ，所以OM/A1B4 分OM/ 平面又 OM 平面 * 平面 ABB1， A1A1 ，所以ABB1A16分(2)因为ABC A1B1C1是直三棱柱，所以 CC1底面ABC,所以CC1BC，又 ACB 所2,即 BC AC,而 CC1,AC 面 ACC1A1,且 CC1 AC C,以BC面ACC1A18分而 AC1 面 ACC1A1 ，所以BC AC1，又ACC1A1是正方形，所以 AC AC1,而BC,AC面A1BC,且BC ACC， 111 所以AC1面A1BC12分又AC1面ABC1，所以面ABC1面A1BC14分17解由条件，得PA5052分 P

13、B303设PA 5x,PB 3x，2则2c所(x2PAB 2 x以点1xs 6分 ，6线x)x15离6P到直AB的距h sPi An)， 10分所以当x 34 ，即x h 取得最大值15 千米 .2即选址应满足PA 千米PB 千 TOC o 1-5 h z 米14分解法二：以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的中垂线为 y 轴，建立平面直角坐标系 2分则 A( 8,0),B(8,0). 由条件 ，得PA505 4PB303设 P(x,y)(y 0)，则 化简得(x 17)2 y2 152(y 0) ， 10 分即点P的轨迹是以点(17,0)为圆心、15为半径的圆位于x轴上方的半圆 . 则

14、当 x 17 时，点 P 到直线 AB 的距离最大，最大值为 15 千米 .所以点 P 的选址应满足在上述坐标系中其坐标为(17,15)即可1粉18.解：(1)因为椭圆C右焦点的坐标为，0,)所以圆心M 的坐标为, 从 1 ) 2分圆M的方程为11(x2 (y )2 .分 424(2) 因为圆 M 与直线 OP:y k1x 即,(4 5x02)k12 10 x0y0k1 4 5y02 0 , 6分同理，有 (4 5x0)k2 10 x0y0k2 4 5y0 0 ， 所 以222k1,k2是方程( 4x025k2 ) x1y 0k 的 0两 4y 50根，从而k1k2分4 5y024 5x024

15、 5(1125x0) 1 x021 . 10224 5x04 5x04 设点P1(x1,y1)y 1k,P, (x联,y立)x22y 1 4x，解得4k1242,12 x ,y11 4k121 4k1221同理，4k2242x2 ,y2 21 4k21 4k222，所以4k124k2244OP OQ ( ) ( )1 4k121 4k121 4k221 4k22224(1 k12)4(1 k22)4 4k121 16k1222221 4k11 4k21 4k11 4k1145 20k122()125k. 所以 OP OQ 的最大值为 12(1 4k12)245分16219. 解： ( 1)由题

16、意得 f (x)所以a(1 x)，因函数在x 0 处的切线方程为 y x ， exaf ( 0)，1得1a 1.分 4( 2)由(1)知 f(x)2x1 对任意x (0,2)都成立，exk 2x x22所以k 2x x 0,即k x 2x对任意x (0,2者B成立，从而k 0. 分 6exex2x 2x ，令g(x) x2 2x ，所又不等式整理可得 k xx以ex(x 1)exg (x) 2(x 1) (x 1)(2 2) 02xx，得x 1,分当x (1,2)时，g (x) 0,函数g(x)在(1,2)上单调递增，同理，函数g(x)在(0,1)上单调递减，所以k g(x)min g(1)

17、e 1 ,综上所述，实数k的取值范围是0,e 1).分 10(3)结论g (x1 x2)0.分 12111 x证明：由题意知函数g(x) lnx x b ，所以 g (x) 1 ，xxx x21即易得函数g(x)在(0,1)单调递增，在(1,)上单调递减，所以只需证明12可.俊x1 b lnx1x因为x1,x2是函数g(x)的两个零点，所以，相减得x2 x1 ln2 ,x1 x2 b lnx2不妨令1tx2lnt ， x2 lnt ， t 1 ，则 x2 tx1 ，则 tx1 x1 lnt ，所以 x1 t 1t 1x1证即t 1lt t 12即证(t) lnt 2t 10,加t 114(t

18、1)2因为 0,所以 在(1,)上单调递增，所以22t(t 1)t(t 1)(t) (1) 0，综上所述，函数g(x)总满g (x1 x2立.分1620解： （1）因为 an 2 单调递增，所以 Ai 2i ， Bi 2i 1 ， n所以ri 2i12i，2ii m 1.分（2）根据题意可知，ai Ai ， Bi ai 1 ，因为 ri Ai Bi 2 0 ，所以 Ai Bi 可得 ai Ai B i3,m ,所以an单调递a即ai ai 1 ,又因为i 1,2,增，分则 Ai ai ， Bi ai 1 ，所以 ri ai ai 1 2 ，即 ai 1 ai 2 ， 1 i m 1 ， 所以

19、an是公差为 2的等差数列， an 1 2（n 1） 2n 1 ，1 i m 1.分 10（)构造1an n ()n2，其中bn n，1cn ()n.分 122下证数列 an 满足题意 .证明：因为 an n () ，所以数列 an 单调递增，n12所以1Ai ai i ()i2Bi ai 1 i 1 ()i 1 ,蒯21i 1所以 ri ai ai 1 1 () ， 1 i m 1 ，21i 21i 11i 2因为 ri 1 ri 1 () 1 () () 0 ，222所以数列ri单调递增，满足题意.分16(说明：等差数列 bn 的首项 b1 任意，公差 d 为正数，同时等比数列 cn 的首

20、项 c1 为负，公比 q (0,1) ，这样构造的数列an 都满足题意.)附加题答案21.因为CD与O相切于D，所以CD A ,分又因为 AB 为 O 的直径，所以 ADB 90 .又DE AB,所以 EDA DBA,所以 EDA DBA,所以EDA CDA.翁又 ACD AED 90 , AD AD,所以 ACD AED.所以A 4E, A 所C以AD 5 ,分又DEAEBDAD，所以BDDE15AD.分0AE4B、由题意，矩阵M的特征多项式f( ) ( a)( 1),因矩阵M有一个特征值为2，f(2) 0，所以a 2.分4x 2 0 x x x 2x 所以 M y y ，即 y 2x y

21、，y2 1代入方程 x2 y2 1 ，得 (2x)2 (2x y)2 1 ，即曲线 C 的方程为8x2 4xy y2 1.分 10CA的直角坐标为(2,分圆E的直角坐标方程为(x 2)2 (y 2)2 8 ,分则点 A 到圆心 E的距离 d 所以4 r点A在圆E外.分0D、解：因分2 cl , 62d又 a b c d1 ，所以 2 24 ，即. IO分22 解：分别以 AB,AC,AA1 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系则A(0,0,0)， B(2,0,0)， C(0,4,0)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，C1(0,4,2)分2(1)当 1 时，D 为 BC 的中点，所以 D(1,2,0), DB1 (1, 2,2), AC11(0,4,0)，A1D (1,